專題09-直線與圓錐曲線教案-學(xué)生版

方法技巧專題9直線與圓錐曲線一、知識框架相交二、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系:.代數(shù)法：把圓錐曲線方程C與直線方程/聯(lián)立，消去y(也可以消去x),整理得到關(guān)于x(或者y)的一元方程ox?+bx+c=O.(1)當awO時：計算A=/-4ac.若△>(),則C與/相交：若△=(),則C與/相切；若△<(),則C與/相離；(2)當a=0且6x0時：即得到一個一次方程，則C與/相交，且只有一個交點。若c為雙曲線，則直線/與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；若c為拋物線，則直線,與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行或重合..幾何法：在同一直角坐標系中畫出圓錐曲線和直線的圖像，利用圖象和性質(zhì)可判斷C與I的位置關(guān)1.例題TOC\o"1-5"\h\z【例1】已知橢圓?+匕=1,直線/：x+my-m=\(meR),直線/與橢圓的位置關(guān)系是( )A.相離 B.相交 C.相切 D.不確定1 1,【例2】已知點A,B為曲線y=—上兩個不同的點，4,8的橫坐標凡、々是函數(shù)/(%)=—奴?一翻一Inx的兩個x 2極值點，則直線A8與橢圓二+產(chǎn)=1的位置關(guān)系是( )4A.相離B.相切C.A.相離B.相切C.相交D.位置關(guān)系不確定TOC\o"1-5"\h\z2 2【例3】已知耳,K是橢圓C:5+匕=1的左右焦點，P是直線/：y=x+m(nzeR)上一點，若歸用+歸國的最小值是4,則實數(shù)切=.【例4】直線y=x+3與曲線上一型=1( )9 4A.沒有交點 B.只有一個交點 C.有兩個交點 D.有三個交點【例5】已知直線丁=履+2與雙曲線/一丁=4的右支相交于不同的兩點，則A的取值范圍是( )A.(-1,1) B.(-72,V2) C.(1,V2) D.(-72,-1)【例6】已知雙曲線C：=-2r=1(?！?力〉0)的左右焦點分別為￡,F2,過6的直線/與圓2 2 2X+?=。一相切于點丁，且直線/與雙曲線C的右支交于點p,若群=4可，則雙曲線c的離心率為.【例7】若直線2%一①+i=°是拋物線v=y的一條切線，則c=?1【例8】已知拋物線。的方程為過點A(0,—1)和點B(r,3)的直線與拋物線。沒有公共點，則實數(shù)r的取值范圍是()(-oo,-l)u(l,+oo) B.(-00,-)0(—―,+oo)C.(—00,—2-^2)kJ(2V2,+00) D.(—00,—\/2)kJ(>/2,+00)【例9】過點P(0,2)且與拋物線y2=2px(p>0)只有一個公共點的直線有()A.A.1條 B.2條 C.3條D.4條匕鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知曲線￡：以一工二2與曲線。2：之一+產(chǎn)=4怡好有兩個不同的公共點，則實數(shù)丸的取值范圍是r（-1,—1] C.[-1,1）D.[—l,0]U（h_Hx＞）【練習(xí)2】對不同的實數(shù)值打，討論直線丁=%+加與橢圓三+產(chǎn)=1的位置關(guān)系.4TOC\o"1-5"\h\z【練習(xí)3】過點(3,0)和雙曲線幺一毆2=](。＞0)僅有一交點的直線有( )A.1條 B.2條 C.4條 D.不確定2 2【練習(xí)4】已，知雙曲線3—/=1(。＞0,6＞0)的右焦點為F,過點F且傾斜角為45。的直線與雙曲線的右支一定有兩個交點，則此雙曲線的離心率的取值范圍是( )A.(1,V2] B.(1,2) C.(1,72) D.(V2,+oo)【練習(xí)5】已知拋物線V=4x,直線/過定點(-1,0),直線/與拋物線只有一個公共點時,直線/的斜率是.【練習(xí)6】已知拋物線(；：尸=2后的焦點/與橢圓工+工=1的右焦點重合，拋物線G的準線與x軸的交8 4點為K，過K作直線/與拋物線q相切，切點為A，則△AFK的面積為( )A.32 B.16 C.8 D.4三、直線與圓錐曲線中的弦長與面積問題弦長公式：(1)題設(shè)：若斜率為人的直線/與圓錐曲線方程C有兩個不同的交點M(x,,y,)、N(x2,y2)則|MN|="(1+/)G+%2)2-4中21或|MV|=^(14--)[(y,+%)2-4yly21；2拄(2)通徑：①±橢圓的一個焦點且與焦點所在軸垂直的弦，長度為：—：2b2②t雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦，長度為：—；(3)題設(shè)：若斜率為左的直線/經(jīng)過拋物線C：y2=±2P彳的焦點F,且與C交于兩點M(玉，y)、N(x2,y2),其中左二tan。，則①|(zhì)A/yV|=㈤+昆I+〃=.?C； ②77777+7777m= 1 =—；1 ??“?-I'sin26^\MF\|/VF|匕pp1-cos。1+cos。(4)題設(shè)：若斜率為左的直線/經(jīng)過拋物線C：x1=±2py的焦點F,且與C交于兩點M(Xpjj)、N(x2,y2),其中左二tan。，則①地小|+|卬〃=意工=懸；②而+向￡21.例題【例1】斜率為1的直線/與橢圓曰+?=1相交于A,B兩點,則以用的最大值為(A7 R域 r^/T0/*?乙 tj?5 52 2 /7【例2】已知橢圓加了+方=l(a>6>0)的離心率為生，焦距為2m.斜率為4的直線/與橢圓M有兩個不同的交點、A,B.(D求橢圓"的方程；(2)若A=l,求14引的最大值.【例3】橢圓氏，+方=l(a>b>0)的左焦點為Q,右焦點為F?，離心率e=；,過尸i的直線交橢圓于A,B兩點，且△A8F2的周長為&(1)求橢圓E的方程；(2)若直線AB的斜率為小，求的面積.【例4】已知產(chǎn)是拋物線V=4x的焦點，則過尸作傾斜角為60°的直線分別交拋物線于A5(a在x軸上方)IA/I兩點，則「二的值為()Ibf\A.V3 B.2 C.3 D.4【例5】設(shè)拋物線C：4=4x的焦點為E過尸且斜率為才(〃>0)的直線/與C交于46兩點，16|=8.(1)求/的方程；(2)求過點48且與C的準線相切的圓的方，程.【例6】已知拋物線產(chǎn)=13:的焦點為凡過尸作一條直線交拋物線于A,8兩點，若八用=6,則|8Q=.Y2【例7】已知斜率為1的直線/與雙曲線^--y2=l的右支交于4B兩點，若|A8|=8,則直線/的方程為( )4A.y=x+yf2\B.y=X-V21C.y=x D.y=x+ 2 2【例8】過雙曲線、■-?=1的左焦點作弦AB，使|AB|=4,則這樣的直線A3的條數(shù)為.【例9】已知雙曲線/一￡=12(1)求直線y=x+i被雙曲線截得的弦長；(2)過點尸(1,1)能否作一條直線/與雙曲線交于A,B兩點，且點p是線段AB的中點？2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1］已知橢圓C的兩個焦點為Q(—1,0),F2(l,o),且經(jīng)過點《小，田)(1)求橢圓C的方程；(2)過Fl的直線/與橢圓C交于A,B兩點(點A位于x軸上方)，若漏=2月或求直線/的斜率&的值.【練習(xí)2］已知橢圓E:=+與=1(。＞方＞0)的半焦距為C,原點0到經(jīng)過兩點(c,o),(0力)的直線的距才b?離為一C.2(I)求橢圓E的離心率；(H)如圖，AB是圓M:(x+2)2+(y-l)2=g的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點，求橢圓E的方程.【練習(xí)3】己知拋物線C：V=3x的焦點為尸，斜率為1?的直線/與。的交點為48,與x軸的交點為P.2(1)若|A月+忸耳=4,求/的方程；(2)若AP=3PB,求|A耳.【練習(xí)4】如圖，過拋物線V=2px（p>0）的焦點/的直線/交拋物線于點AB,交>tTOC\o"1-5"\h\z其準線于點c,若忸C=4忸可，且a日=6,則「為（） [9 9A.i B.- C.9 D-18 /【練習(xí)5】已知復(fù)數(shù)2=尤+獷（工,丁eR）滿足：[z+石卜卜一石卜2a（0<2a<26），且z在復(fù)平面上的對（1）求。的軌跡;（2）若過點A（4,0）,傾斜角為（的直線/交軌跡C于M、N兩點，求AOMN的面積S.【練習(xí)6】已知雙曲線C：二一與=i（a>o,b>o）與雙曲線三一二=1有相同的漸近線，且雙曲線C過點a-b- 164心,6).⑴若雙曲線C的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,雙曲線C上有一點P,使得/耳「?=60。，求團耳尸鳥的面積;（2）過雙曲線C的右焦點用作直線/與雙曲線右支交于48兩點，若團片A8的周長是可，求直線/的方程.【二】面積問題面積問題：涉及面積的計算問題，常用到三角形面積公式、焦點三角形面積公式、點到直線的距離公式，或把待求面積分解成兩個易于求和的三角形面積之和.a⑴橢圓焦點三角形面積：Sup/、=〃tan一(點尸在橢圓上，0=Z.FiPF2)|<?2 14A2殘隹占_石#，而.S*=-5(點尸在雙曲線上，e=NF\PF，(2)雙曲線焦點二角形面積：的匹20 1 2tan—2(3)拋物線：①^設(shè)：若斜率為降的直線/經(jīng)過拋物線網(wǎng)小1+國+。=%的焦點1疝，且與C交于兩點.^/(1+^2)[(x,+x2)2—4x,x2],其中k=tan9,則：SMON=-x—x|M?^|?sin^=——

^ON22' 12sin6.物設(shè)：若斜率為i的直線/經(jīng)過拋物線C：f=±2py的焦點⑶，且與c交于兩點J(i+a2)[(4+受尸一4*/2]，其中*=tanO,則：^o^=|x7xM*sin(^+7)= =22 2 2sin(8+與2cos^21.例題【例1】過拋物線y2=4x的焦點F的直線交拋物線于AB兩點，點0是原點，若|AF|=3；則MOB的面積為()A.— B.V2 C.逑 D.2722 2【例2】已知點尸是拋物線C：產(chǎn)二以的焦點，直線/與拋物線。相切于點產(chǎn)小,%)(%>0)，連接尸尸交拋物線于另一點A，過點尸作/的垂線交拋物線。于另一點8.(1)若%=1,求直線/的方程；(2)求三角形Q48面積S的最小值【例3】已知點"，K是橢圓c：］+方=1(。>5>0)的兩個焦點，P為橢圓。上一點，且N-P6='.若團尸6K的面積為9，則匕=【例4】已知點A(0,-2),橢圓E：W+￡=l(°>b>0)的離心率為巫，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜

a2b2 2率為2叵，。為坐標原點.3⑴求E的方程；(2)設(shè)過點A的動直線/與E相交于P,Q兩點.當回。PQ的面積最大時，求/的方程.".鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1］拋物線y2=4元的焦點為F,準線為/,經(jīng)過F且斜率為由的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A,AK_L/,垂足為K,則AAA尸的面積是()A.4 B.3拒 C.4G D.8x24v2【練習(xí)2】已知P為橢圓矣+言=1上一點，6，鳥是橢圓的焦點，““=60。,則△耳Pg的面積為【練習(xí)3]如圖所示，直線y=H+6與橢圈二+y2=1交于a、8兩點，記A4O8面積為S;4'⑴求在A=0,0＜。＜1的條件下S的最大值；⑵當IAB|=2,s=1M＞0時,求直線AB的方程；【練習(xí)4】已知橢圓「：[+方=1（?！?〉0）的離心率為叱，橢圓的四個頂點圍成四邊形的面積為4.（0）求橢圓「的標準方程；（團）直線/與橢圓「交于A，B兩■點,的中點Af在圓V+y2=1上，求AAO8（0為坐標原點）面積的最大值.、課后自我檢測TOC\o"1-5"\h\z.已知直線y=x-l與拋物線x= 交于a，8兩點，則|A8|等于( )A.4也 B.6 C.7 D.8.已知直線y=-x+l與橢圓方=l(a>6>0)相交于A,8兩點，若橢圓的離心率為學(xué)焦距為2,則線段A8的長是()A述 B逑 C/ D2.已知焦點在x軸上的橢圓C：芯+y2=l(a>0),過右焦點作垂直于x軸的直線交橢圓于A,B兩點，且但用=1,則該橢圓的離心率為..已知拋物線C：V=4x的焦點為尸，過點尸的直線交拋物線C于A,B兩點,0為坐標原點，若A4QB的面積為邁，則線段A8的長是( )2八 9A.9 B.4 C.- D.822 2 115.若直線/交雙曲線土一匕=1的左，右兩支于A,B兩點，。為坐標原點，若麗.礪=0,則二/+i^ir=2 6 \OA\\OB\()1 .....TOC\o"1-5"\h\zA.— B.- C.2 D.32 36.已知拋物線C：V=》，直線/：y=H+l,貝『乂。0"是"直線/與拋物線C有兩個不同交點”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2 2.已知雙曲線=-4=1的右焦點為F,過F做斜率為2的直線/,直線/與雙曲線的右支有且只有一個公共點，a'b~則雙曲線的離心率范圍.已知雙曲線C:Y一y2=2,過右焦點的直線交雙曲線于AB兩點，若A,B中點的橫坐標為4,則弦長為()C.6.已知雙曲線二-斗=1(4>0,6>0)的虛軸長為2后，且離心率為JJ.a'h"⑴求雙曲線的方程；(2)經(jīng)過雙曲線右焦點工作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點AB,求|AB|.x2V2, . x/i 1 1.已知橢圓C