準(zhǔn)九暑假數(shù)學(xué)探索三角形相似的條件及射影定理

28/28第十七課：探索三角形相似的條件及射影定理一．選擇題（共11小題）1．（2000?嘉興）在Rt△ABC中，AD是斜邊BC上的高線，若BD=2，BC=6，則AB=（）A．B．C．D．2．（2006?南充）如圖，矩形ABCD中，BE⊥AC于F，E恰是CD的中點(diǎn)，下列式子成立的是（）A．BF2=AF2B．BF2=AF2C．BF2＞AF2D．BF2＜AF23．如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，D為BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，則AE2﹣BE2等于（）A．AC2B．BD2C．BC2D．DE24．如圖，已知∠ABC=90°，BD⊥AC于D，AB=4，AC=10，則AD=（）A．B．2C．D．15．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，下列結(jié)論不正確的是（）A．∠ACD=∠BB．CD?AB=AC?BDC．CD2=BD?ADD．CB2=BD?AB6．Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，DE⊥AC于E，AC：CB=5：4，則AE：EC=（）A．25：16B．5：4C．5：2D．以上都不對(duì)7．（2013?自貢）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于E，交DC的延長(zhǎng)線于F，BG⊥AE于G，BG=，則△EFC的周長(zhǎng)為（）A．11B．10C．9D．88．（2013?新疆）如圖，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，則BC的長(zhǎng)是（）A．B．C．D．9．（2013?新疆）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D為BC的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿著A→B→A的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t＜6），連接DE，當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，t的值為（）A．2B．2.5或3.5C．3.5或4.5D．2或3.5或4.510．（2013?牡丹江）如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM，PN，則下列結(jié)論：①PM=PN；②；③△PMN為等邊三角形；④當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，BN=PC．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)11．（2013?瀘州）如圖，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在直角邊AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于點(diǎn)P．則下列結(jié)論：（1）圖形中全等的三角形只有兩對(duì)；（2）△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍；（3）CD+CE=OA；（4）AD2+BE2=2OP?OC．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)二．填空題（共6小題）12．（2014?閘北區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若AD=9，BD=4，則AC=_________．13．在Rt△ABC中，C為直角頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，若D為垂足，若AC、BC為方程x2﹣6x+2=0的兩根，則AD?BD的值等于_________．14．（2011?徐匯區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，點(diǎn)D為腰BC中點(diǎn)，點(diǎn)E在底邊AB上，且DE⊥AD，則BE的長(zhǎng)為_________．15．（2013?天津）如圖，在邊長(zhǎng)為9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，則AE的長(zhǎng)為_________．16．（2013?蘇州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形，頂點(diǎn)A、C分別在x，y軸的正半軸上．點(diǎn)Q在對(duì)角線OB上，且QO=OC，連接CQ并延長(zhǎng)CQ交邊AB于點(diǎn)P．則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_________．17．兩個(gè)任意大小的正方形，都可以適當(dāng)剪開，拼成一個(gè)較大的正方形，如用兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b的正方形拼成一個(gè)大正方形．圖中Rt△ABC的斜邊AB的長(zhǎng)等于_________（用a，b的代數(shù)式表示）．三．解答題（共8小題）18．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB與D．求：（1）AC的長(zhǎng)；（2）△ABC的面積；（3）CD的長(zhǎng)．19．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（﹣4，0），B（0，3）．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB，交軸于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如果P、Q分別是AB和AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，設(shè)AP=CQ=x，問(wèn)是否存在這樣的使得△APQ與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出的x值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（2013?徐州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處，折痕為EF（點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC上）．（1）若以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似．①當(dāng)AC=BC=2時(shí)，AD的長(zhǎng)為_________；②當(dāng)AC=3，BC=4時(shí)，AD的長(zhǎng)為_________；（2）當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，△CEF與△CBA相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（2013?揚(yáng)州）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至CE位置，連接AE．（1）求證：AB⊥AE；（2）若BC2=AD?AB，求證：四邊形ADCE為正方形．22．（2013?巴中）如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．（1）求證：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長(zhǎng)．23．（2013?懷化）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的頂點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E、F在邊AB上，點(diǎn)G在邊BC上．（1）求證：△ADE≌△BGF；（2）若正方形DEFG的面積為16cm2，求AC的長(zhǎng)．24．（2013?南充）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P為BC邊上一點(diǎn)（不與B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作∠APE=∠B，PE交CD于E．（1）求證：△APB∽△PEC；（2）若CE=3，求BP的長(zhǎng)．25．（2009?白下區(qū)一模）如圖①，已知平面內(nèi)一點(diǎn)P與一直線l，如果過(guò)點(diǎn)P作直線l′⊥l，垂足為P′，那么垂足P′叫做點(diǎn)P在直線l上的射影；如果線段PQ的兩個(gè)端點(diǎn)P和Q在直線l上的射影分別為點(diǎn)P′和Q′，那么線段P′Q′叫做線段PQ在直線l上的射影．（1）如圖②，E、F為線段AD外兩點(diǎn)，EB⊥AD，F(xiàn)C⊥AD，垂足分別為B、C．則E點(diǎn)在AD上的射影是_________點(diǎn)，A點(diǎn)在AD上的射影是_________點(diǎn)，線段EF在AD上的射影是_________，線段AE在AD上的射影是_________；（2）根據(jù)射影的概念，說(shuō)明：直角三角形斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)．（要求：畫出圖形，寫出說(shuō)理過(guò)程．）

2014年06月23日25865971的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．選擇題（共11小題）1．（2000?嘉興）在Rt△ABC中，AD是斜邊BC上的高線，若BD=2，BC=6，則AB=（）A．B．C．D．考點(diǎn)：射影定理．分析：利用射影定理可直接求解．解答：解：根據(jù)射影定理，AB2=BC?BD，∵BD=2，BC=6，∴AB=2．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直角三角形斜邊上的高把三角形分成的兩個(gè)三角形與原三角形相似，或射影定理的應(yīng)用．2．（2006?南充）如圖，矩形ABCD中，BE⊥AC于F，E恰是CD的中點(diǎn)，下列式子成立的是（）A．BF2=AF2B．BF2=AF2C．BF2＞AF2D．BF2＜AF2考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；射影定理．分析：此題即是探求BF2與AF2之間的關(guān)系．利用△ABF∽△CEF所得比例線段探究求解．解答：解：根據(jù)射影定理可得BF2=AF×CF；∵△ABF∽△CEF，∴CF：AF=CE：AB=1：2∴BF2=AF×AF=AF2．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了射影定理及三角形的相似的性質(zhì)．3．如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，D為BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，則AE2﹣BE2等于（）A．AC2B．BD2C．BC2D．DE2考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；因式分解-運(yùn)用公式法；三角形中位線定理；射影定理．分析：取AB的中點(diǎn)F，連接DF．觀察要求的式子，首先利用平方差公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，可得AE2﹣BE2=（AE+BE）（AE﹣BE）=AB?2EF=4EF?BF，只需求解BF?EF的值；根據(jù)射影定理，易證△DEF∽△BDF，得到EF?BF=DF2．再進(jìn)一步觀察選擇題的答案，結(jié)合三角形的中位線定理即可求解．解答：解：作AB的中點(diǎn)F，連接DF，則DF∥AC，DF=AC．在Rt△BDF中，又DE⊥AB，得△DEF∽△BDF．∴．即EF?BF=DF2=AC2．∴AE2﹣BE2=（AE+BE）（AE﹣BE）=AB?2EF=4EF?BF=AC2．故選A．點(diǎn)評(píng)：巧妙構(gòu)造輔助線，運(yùn)用因式分解的方法把要求的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)換，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)以及三角形的中位線定理進(jìn)行解答．4．如圖，已知∠ABC=90°，BD⊥AC于D，AB=4，AC=10，則AD=（）A．B．2C．D．1考點(diǎn)：射影定理．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：根據(jù)射影定理每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)即可得出BC的長(zhǎng)．解答：解：根據(jù)射影定理得：AB2=AD?AC，∴AD==．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查射影定理的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．5．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，下列結(jié)論不正確的是（）A．∠ACD=∠BB．CD?AB=AC?BDC．CD2=BD?ADD．CB2=BD?AB考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；射影定理．分析：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，因而△ACD∽△CBD∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以證明各個(gè)選項(xiàng)．解答：解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D∴△ACD∽△CBD∽△ABC∴A、∠ACD=∠B，正確；B、應(yīng)為CD?AB=AC?BC，錯(cuò)誤；C、D是射影定理，正確；故選B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的高，把這個(gè)三角形分成的兩個(gè)三角形與原三角形相似．6．Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，DE⊥AC于E，AC：CB=5：4，則AE：EC=（）A．25：16B．5：4C．5：2D．以上都不對(duì)考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；射影定理．分析：利用已知的直角和公共角，可證圖中所有三角形都相似，再利用比例線段，即可求出AE：EC．解答：解：在Rt△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，∴△ADE∽△DCE∽△ACD∽△CBD∽△ABC，∴AE：EC=AD：DB，AC2=AD?AB，BC2=DB?AB，∴AE：EC=AD：DB=AC2：BC2=25：16．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題主要了直角三角形斜邊上的高線，把這個(gè)直角三角形分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似以及射影定理的內(nèi)容．7．（2013?自貢）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于E，交DC的延長(zhǎng)線于F，BG⊥AE于G，BG=，則△EFC的周長(zhǎng)為（）A．11B．10C．9D．8考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)．分析：判斷出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的長(zhǎng)度，繼而得到EC的長(zhǎng)度，在Rt△BGE中求出GE，繼而得到AE，求出△ABE的周長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比，可得出△EFC的周長(zhǎng)．解答：解：∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且CF=CE，∴EC=FC=DF﹣DC=9﹣6=3，=，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周長(zhǎng)等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比為1：2，∴△CEF的周長(zhǎng)為8．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)，注意掌握相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比，此題難度較大．8．（2013?新疆）如圖，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，則BC的長(zhǎng)是（）A．B．C．D．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)．分析：根據(jù)DE∥BC，證明△ADE∽△ABC，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求得BC的長(zhǎng)度．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，則=，∵DE=1，AD=2，DB=3，∴AB=AD+DB=5，∴BC==．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行證明△ADE∽△ABC．9．（2013?新疆）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D為BC的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿著A→B→A的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t＜6），連接DE，當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，t的值為（）A．2B．2.5或3.5C．3.5或4.5D．2或3.5或4.5考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形．專題：壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型．分析：由Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，可求得AB的長(zhǎng)，由D為BC的中點(diǎn)，可求得BD的長(zhǎng)，然后分別從若∠DEB=90°與若∠EDB=90°時(shí)，去分析求解即可求得答案．解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，∴AB=2BC=4（cm），∵BC=2cm，D為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），若∠BED=90°，當(dāng)A→B時(shí)，∵∠ABC=60°，∴∠BDE=30°，∴BE=BD=（cm），∴t=3.5，當(dāng)B→A時(shí)，t=4+0.5=4.5．若∠BDE=90°時(shí)，當(dāng)A→B時(shí)，∵∠ABC=60°，∴∠BED=30°，∴BE=2BD=2（cm），∴t=4﹣2=2，當(dāng)B→A時(shí)，t=4+2=6（舍去）．綜上可得：t的值為2或3.5或4.5．故選D．點(diǎn)評(píng)：此題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題屬于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，難度適中，注意掌握分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10．（2013?牡丹江）如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM，PN，則下列結(jié)論：①PM=PN；②；③△PMN為等邊三角形；④當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，BN=PC．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線．專題：壓軸題．分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①正確；先證明△ABM∽△ACN，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可判斷②正確；先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出∠ABM=∠ACN=30°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，從而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷③正確；當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，∠BCN=45°，由P為BC邊的中點(diǎn)，得出BN=PB=PC，判斷④正確．解答：解：①∵BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，∴PM=BC，PN=BC，∴PM=PN，正確；②在△ABM與△ACN中，∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，∴△ABM∽△ACN，∴，正確；③∵∠A=60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，∴∠ABM=∠ACN=30°，在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC，∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等邊三角形，正確；④當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，∵CN⊥AB于點(diǎn)N，∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，∴BN=CN，∵P為BC邊的中點(diǎn)，∴PN⊥BC，△BPN為等腰直角三角形∴BN=PB=PC，正確．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，相似三角形、等邊三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，仔細(xì)分析圖形并熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2013?瀘州）如圖，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在直角邊AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于點(diǎn)P．則下列結(jié)論：（1）圖形中全等的三角形只有兩對(duì)；（2）△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍；（3）CD+CE=OA；（4）AD2+BE2=2OP?OC．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)考點(diǎn)：等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：結(jié)論（1）錯(cuò)誤．因?yàn)閳D中全等的三角形有3對(duì)；結(jié)論（2）正確．由全等三角形的性質(zhì)可以判斷；結(jié)論（3）正確．利用全等三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)可以判斷．結(jié)論（4）正確．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理進(jìn)行判斷．解答：解：結(jié)論（1）錯(cuò)誤．理由如下：圖中全等的三角形有3對(duì)，分別為△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．由等腰直角三角形的性質(zhì)，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．在△AOD與△COE中，∴△AOD≌△COE（ASA）．同理可證：△COD≌△BOE．結(jié)論（2）正確．理由如下：∵△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△COE，∴S四邊形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，即△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍．結(jié)論（3）正確，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，∴CD+CE=CD+AD=AC=OA．結(jié)論（4）正確，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，又∵OD⊥OE，∴△DOE為等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°．∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，∴△OEP∽△OCE，∴，即OP?OC=OE2．∴DE2=2OE2=2OP?OC，∴AD2+BE2=2OP?OC．綜上所述，正確的結(jié)論有3個(gè)，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題是幾何綜合題，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要幾何知識(shí)點(diǎn)．難點(diǎn)在于結(jié)論（4）的判斷，其中對(duì)于“OP?OC”線段乘積的形式，可以尋求相似三角形解決問(wèn)題．二．填空題（共6小題）12．（2014?閘北區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若AD=9，BD=4，則AC=．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；射影定理．分析：根據(jù)題意畫出圖形，先根據(jù)相似三角形的判定定理得出△ACD∽△CBD，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出CD的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可得出AC的長(zhǎng)．解答：解：如圖所示：∵Rt△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴=，即CD2=AD?BD=9×4=36，解得CD=6，在Rt△ACD中，∵AD=9，CD=6，∴AC===．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．13．在Rt△ABC中，C為直角頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，若D為垂足，若AC、BC為方程x2﹣6x+2=0的兩根，則AD?BD的值等于．考點(diǎn)：射影定理；根與系數(shù)的關(guān)系；勾股定理．專題：計(jì)算題．分析：由AC、BC是方程x2﹣6x+2=0的兩根，則可得x1=，x2=，所以，可得斜邊AB及其高CD的長(zhǎng)，根據(jù)射影定理即可得出AD?BD的值；解答：解：∵AC、BC為方程x2﹣6x+2=0的兩根，∴x1=，x2=，令A(yù)C=，BC=，∴AB==4，又AB×CD=AC×BC，∴CD===，∴AD?BD=CD2==．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了學(xué)生對(duì)于射影定理、勾股定理及三角形面積公式的理解及運(yùn)用．14．（2011?徐匯區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，點(diǎn)D為腰BC中點(diǎn)，點(diǎn)E在底邊AB上，且DE⊥AD，則BE的長(zhǎng)為．考點(diǎn)：勾股定理；射影定理．專題：計(jì)算題．分析：先根據(jù)已知條件，利用勾股定理分別求出AB、AD的長(zhǎng)，再根據(jù)射影定理求出AE的長(zhǎng)，然后用AB減去AE即可得EB．解答：解：過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AB，垂足為H，∵在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，∴AB==2．∵點(diǎn)D為腰BC中點(diǎn)，∴AD==，∵DE⊥AD，∠B=45°，∴DH=HB=，∴AD2=AH?AE，∴AE===，EB=AB﹣AE=2﹣=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理的理解和掌握，解答關(guān)鍵是過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AB，求出AE的長(zhǎng)，這是此題的突破點(diǎn)，此題有點(diǎn)難度，屬于中檔題．15．（2013?天津）如圖，在邊長(zhǎng)為9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，則AE的長(zhǎng)為7．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：先根據(jù)邊長(zhǎng)為9，BD=3，求出CD的長(zhǎng)度，然后根據(jù)∠ADE=60°和等邊三角形的性質(zhì)，證明△ABD∽△DCE，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得CE的長(zhǎng)度，即可求出AE的長(zhǎng)度．解答：解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC；∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6；∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE，則=，即=，解得：CE=2，故AE=AC﹣CE=9﹣2=7．故答案為：7．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得△ABD∽△DCE是解答此題的關(guān)鍵．16．（2013?蘇州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形，頂點(diǎn)A、C分別在x，y軸的正半軸上．點(diǎn)Q在對(duì)角線OB上，且QO=OC，連接CQ并延長(zhǎng)CQ交邊AB于點(diǎn)P．則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4﹣2）．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：根據(jù)正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出BP的長(zhǎng)，再求出AP，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．解答：解：∵四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形，∴OA=OC=2，OB=2，∵QO=OC，∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2，∵正方形OABC的邊AB∥OC，∴△BPQ∽△OCQ，∴=，即=，解得BP=2﹣2，∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4﹣2）．故答案為：（2，4﹣2）．點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的倍的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出BP的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．17．兩個(gè)任意大小的正方形，都可以適當(dāng)剪開，拼成一個(gè)較大的正方形，如用兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b的正方形拼成一個(gè)大正方形．圖中Rt△ABC的斜邊AB的長(zhǎng)等于（用a，b的代數(shù)式表示）．考點(diǎn)：射影定理．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：Rt△ABC的邊BC在斜邊AB上的射影為a，利用勾股定理直接解答即可．解答：解：Rt△ABC的邊BC在斜邊AB上的射影為a，由BC2=a?AB可得，AB=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查射影定理的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．三．解答題（共8小題）18．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB與D．求：（1）AC的長(zhǎng)；（2）△ABC的面積；（3）CD的長(zhǎng)．考點(diǎn)：勾股定理；三角形的面積；射影定理．分析：（1）根據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng)，（2）利用三角形的面積公式可求出△ABC的面積；（3）再根據(jù)三角形的面積公式是一定值求得CD即可．解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，AC==4cm（2）S△ABC=AC?BC=6cm2；（3）∵CD⊥AB∴S△ABC=AC?BC=AB?CD∴CD=2.4cm．點(diǎn)評(píng)：此題考查了直角三角形面積的不同表示方法及勾股定理的綜合應(yīng)用．19．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（﹣4，0），B（0，3）．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB，交軸于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如果P、Q分別是AB和AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，設(shè)AP=CQ=x，問(wèn)是否存在這樣的使得△APQ與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出的x值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理；射影定理．專題：計(jì)算題．分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（﹣4，0），B（0，3）可知OB=3，AO=4，利用勾股定理即可求出AB．（2）根據(jù)BC⊥AB，BO⊥AC，利用射影定理即可求出OC，然后可知C點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）假設(shè)△APQ與∽△ABC，利用其對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出x的值．解答：解：（1）∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（﹣4，0），B（0，3），∴OB=3，AO=4，∴AB==5；（2）∵BC⊥AB，BO⊥AC，∴BO2=AO?OC，即OC===2.25，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是（2.25，0）；（3）當(dāng)△APQ與∽△ABC時(shí)，PQ∥BC，∴=，∵AP=CQ=x，∴=，解得x=．當(dāng)△APQ與∽△ACB時(shí)，，即，解得：x=答：（1）AB的長(zhǎng)為5；（2）C的坐標(biāo)為（2.25，0）；（3）存在，x的值為或．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，射影定理等知識(shí)點(diǎn)，此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．20．（2013?徐州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處，折痕為EF（點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC上）．（1）若以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似．①當(dāng)AC=BC=2時(shí)，AD的長(zhǎng)為；②當(dāng)AC=3，BC=4時(shí)，AD的長(zhǎng)為1.8或2.5；（2）當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，△CEF與△CBA相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）．分析：（1）若△CEF與△ABC相似．①當(dāng)AC=BC=2時(shí)，△ABC為等腰直角三角形；②當(dāng)AC=3，BC=4時(shí)，分兩種情況：a．若CE：CF=3：4，如答圖2所示，此時(shí)EF∥AB，CD為AB邊上的高；b．若CF：CE=3：4，如答圖3所示．由相似三角形角之間的關(guān)系，可以推出∠A=∠ECD與∠B=∠FCD，從而得到CD=AD=BD，即D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)；（2）當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，△CEF與△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，從而可以證明兩個(gè)三角形相似．解答：解：（1）若△CEF與△ABC相似．①當(dāng)AC=BC=2時(shí)，△ABC為等腰直角三角形，如答圖1所示．此時(shí)D為AB邊中點(diǎn)，AD=AC=；②當(dāng)AC=3，BC=4時(shí)，有兩種情況：a．若CE：CF=3：4，如答圖2所示．∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥AB．由折疊性質(zhì)可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此時(shí)CD為AB邊上的高．在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB=5，∴cosA=．AD=AC?cosA=3×=1.8；b．若CF：CE=3：4，如答圖3所示．∵△CEF∽△CBA，∴∠CEF=∠B．由折疊性質(zhì)可知，∠CEF+∠ECD=90°，又∵∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，∴此時(shí)AD=AB=×5=2.5．綜上所述，當(dāng)AC=3，BC=4時(shí)，AD的長(zhǎng)為1.8或2.5．（2）當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，△CEF與△CBA相似．理由如下：如答圖3所示，連接CD，與EF交于點(diǎn)Q．∵CD是Rt△ABC的中線，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B．由折疊性質(zhì)可知，∠CQF=∠DQF=90°，∴∠DCB+∠CFE=90°，∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A，又∵∠C=∠C，∴△CEF∽△CBA．點(diǎn)評(píng)：本題是幾何綜合題，考查了幾何圖形折疊問(wèn)題和相似三角形的判定與性質(zhì)．第（1）②問(wèn)需要分兩種情況分別計(jì)算，此處容易漏解，需要引起注意．21．（2013?揚(yáng)州）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至CE位置，連接AE．（1）求證：AB⊥AE；（2）若BC2=AD?AB，求證：四邊形ADCE為正方形．考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根據(jù)“SAS”可判斷△BCD≌△ACE，則∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到結(jié)論；（2）由于BC=AC，則AC2=AD?AB，根據(jù)相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，則∠CDA=∠BCA=90°，可判斷四邊形ADCE為矩形，利用CD=CE可判斷四邊形ADCE為正方形．解答：證明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°，∵線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至CE位置，∴∠DCE=90°，CD=CE，∵∠ACB=90°，∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，即∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，∴△BCD≌△ACE，∴∠B=∠CAE=45°，∴∠BAE=45°+45°=90°，∴AB⊥AE；（2）∵BC2=AD?AB，而BC=AC，∴AC2=AD?AB，∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴∠CDA=∠BCA=90°，而∠DAE=90°，∠DCE=90°，∴四邊形ADCE為矩形，∵CD=CE，∴四邊形ADCE為正方形．點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等、相似的判定與性質(zhì)以及正方形的判定．22．（2013?巴中）如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．（1）求證：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長(zhǎng)．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：（1）利用對(duì)應(yīng)兩角相等，證明兩個(gè)三角形相似△ADF∽△DEC；（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出線段DE的長(zhǎng)度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出線段AE的長(zhǎng)度．解答：（1）證明：∵?ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF與△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵?ABCD，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE===12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理三個(gè)知識(shí)點(diǎn)．題目難度不大，注意仔細(xì)分析題意，認(rèn)真計(jì)算，避免出錯(cuò)．23．（2013?懷化）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的頂點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E、F在邊AB上，點(diǎn)G在邊BC上．（1）求證：△ADE≌△BGF；（2）若正方形DEFG的面積為16cm2，求AC的長(zhǎng)．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．分析：（1）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠B=∠A=45°，再根據(jù)四邊形DEFG是正方形可得出∠BFG=∠AED，故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED，由全等三角形的判定定理即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，由正方形DEFG的面積為16cm2可求出其邊長(zhǎng)，故可得出AB的長(zhǎng)，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理可求出AD的長(zhǎng)，再由相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ACG，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出AC的長(zhǎng)．解答：（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠B=∠A=45°，∵四邊形DEFG是正方形，∴∠BFG=∠AED=90°，故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED，∵在△ADE與△BGF中，，∴△ADE≌△BGF（ASA）；（2）解：過(guò)點(diǎn)C作