高中數(shù)學(xué)高考 2021屆高考二輪精品專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（理） 教師版

專題2專題2××函數(shù)與導(dǎo)數(shù)命題趨勢(shì)命題趨勢(shì)1．函數(shù)的考查主要為函數(shù)性質(zhì)，基本初等函數(shù)，函數(shù)的應(yīng)用為主．函數(shù)性質(zhì)主要為函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和值域（最值）的考查，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；基本初等函數(shù)的考查一般單獨(dú)或與不等式結(jié)合命題考查，考查的形式主要為填空題和選擇題；函數(shù)的應(yīng)用主要為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的考查，難度相對(duì)較難．2．導(dǎo)數(shù)的考查一般是一道大題一道小題的形式出現(xiàn)，小題即為選擇題、填空題，主要對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問(wèn)題中的直接運(yùn)用；大題即解答題一般以壓軸題的形式出現(xiàn)，主要考查導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等方面的綜合運(yùn)用，難度較大．考點(diǎn)清單考點(diǎn)清單一、函數(shù)1．函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性是函數(shù)下定義域上的局部性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性?？嫉牡葍r(jià)形式有：若x1≠xfx在a，b上單調(diào)遞增xfx在a，b上單調(diào)遞減x2．函數(shù)的奇偶性①若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)=f(-x)；②若f(x)是奇函數(shù)，則f-x=-fx，0在其定義域內(nèi)，③奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性．3．函數(shù)的周期性①若y=f(x)對(duì)x∈R，f(x+a)=f(x-a)或f(x+2a)=f(x)(a>0)恒成立則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；②若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖象又關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(x)是周期為2|a|的周期函數(shù)；③若y=f(x)是奇函數(shù)，其圖象又關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(x)是周期為4|a|的周期函數(shù)；④若f(x+a)=-f(x)或，則y=f(x)是周期為2|a|的周期函數(shù)．4．函數(shù)的對(duì)稱性①若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)，即f(x)=f(2a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；②若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=-f(a-x)，即f(x)=-f(2a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)③若函數(shù)y=f(x)滿足fa+x=fb-x，則函數(shù)fx的=4\*GB3④若函數(shù)y=f(x)滿足fa+x=-fb-x，則函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．5．函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題（1）函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=g(x)的根，即函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．（2）確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法：①直接解方程法；②利用零點(diǎn)存在性定理；③數(shù)形結(jié)合，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解．二、導(dǎo)數(shù)1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=fx在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f'x0就是曲線（1）曲線y=fx在點(diǎn)x0，（2）過(guò)點(diǎn)x0，y0作曲線y=fx切點(diǎn)不確定時(shí)，一般先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)得到切線斜率，寫出切線方程后，再利用條件來(lái)確定切點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到切線的方程．2．單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系設(shè)函數(shù)y=fx在區(qū)間a（1）如果在a，b內(nèi)，恒有f'（2）如果在a，b內(nèi)，恒有f'（3）如果在a，b內(nèi)，恒有f'3．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟（1）確定定義域（易錯(cuò)點(diǎn)：漏寫定義域）；（2）求導(dǎo)函數(shù)f'（3）解f'x>0（4）在定義域范圍內(nèi)取補(bǔ)集，得到減（增）區(qū)間．4．極值的定義（1）函數(shù)y=fx在點(diǎn)x=a的函數(shù)值比它在點(diǎn)x=a附近的函數(shù)值都小，則把a(bǔ)叫做fx的極小值點(diǎn)，fa叫做fx的極小值．若y=fx在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，f'x是其導(dǎo)數(shù)，就可以用導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)在極小值點(diǎn)附近的特征：f（2）函數(shù)y=fx在點(diǎn)x=b的函數(shù)值比它在點(diǎn)x=b附近的函數(shù)值都大，則把b叫做fx的極大值點(diǎn)，fb叫做fx的極大值．若y=fx在點(diǎn)x=b處可導(dǎo)，f'x是其導(dǎo)數(shù)，就可以用導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)在極大值點(diǎn)附近的特征：f注意：極值點(diǎn)指x的取值，極值指相應(yīng)的fx的取5．求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟（1）求函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）畫表判斷函數(shù)的極值．6．求函數(shù)fx在區(qū)間a（1）求函數(shù)y=fx在a（2）比較函數(shù)y=fx的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．7．定積分的性質(zhì)（1）；（2）；（3）．8．常用定積分公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．9．的幾何意義（1）當(dāng)fx在區(qū)間a，b上大于0時(shí)，表示直線x=a，a≠b，y=0和曲線y=f（2）當(dāng)fx在區(qū)間a，b上小于0時(shí)，表示直線x=a，a≠b，y=0和曲線y=f（3）當(dāng)fx在區(qū)間a，b上有正有負(fù)時(shí)，等于位于x軸上方的曲邊梯形的面積減去位于x軸下方曲邊梯形的面積．

精題集訓(xùn)精題集訓(xùn)（70分鐘）經(jīng)典訓(xùn)練題經(jīng)典訓(xùn)練題一、選擇題．1．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)?∞，設(shè)，∴，即函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除B、C選項(xiàng)，當(dāng)x→+∞時(shí)，有，故排除A選項(xiàng)，（取x1則，，，因?yàn)閤1=e2綜上所得D選項(xiàng)符合題意，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象，由函數(shù)的性質(zhì)入手是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2．函數(shù)，若fa≤5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（A． B．C． D．【答案】A【解析】fa≤5可化為或，解得a≤-1或，故選A．【點(diǎn)評(píng)】常見解不等式的類型：（1）解一元二次不等式用圖象法或因式分解法；（2）分式不等式化為標(biāo)準(zhǔn)型后利用商的符號(hào)法則；（3）指對(duì)數(shù)型不等式化為同底的結(jié)構(gòu)，利用單調(diào)性解不等式；（4）含參數(shù)的不等式需要分類討論．3．已知fx是定義在R上的函數(shù)，f1+x=f(1-x)，且當(dāng)時(shí)，，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)閒1+x=f1-x，所以函數(shù)fx的又，，，所以，，．因?yàn)?，，所以，又?dāng)x≥1時(shí)，為減函數(shù)，所以，即b>a>c，故選C．【點(diǎn)評(píng)】比較函數(shù)值的大小，利用函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)自變量的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大?。?．已知函數(shù)，其中f'x為函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)，則（）A．0 B．2 C．2020 D．2021【答案】B【解析】，所以，，，所以，所以f'2021所以，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性和求導(dǎo)函數(shù)以及求導(dǎo)函數(shù)的奇偶性，解答本題的關(guān)鍵是由解析式求得fx+f-x=2，從而得到，求出，得到，得到f5．已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A．(2，+∞) B． C． D．(-∞【答案】D【解析】因?yàn)椋院瘮?shù)在R上單調(diào)遞減，由于，所以4x-1<3，得x<1，故選D【點(diǎn)評(píng)】判斷函數(shù)fx6．已知定義在0，+∞上的函數(shù)fx滿足xf'若fm-2021>m-2021f1A．0，2021 B．0，2022 C．【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中x>0，則，所以，函數(shù)為0，+∞由fm-2021>m-2021f1，所以，0<m-2021<1，解得2021<m<2022．因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是2021，2022，故選【點(diǎn)評(píng)】四種常用的導(dǎo)數(shù)構(gòu)造法：（1）對(duì)于不等式f'x+g'（2）對(duì)于不等式f'x-g'（3）對(duì)于不等式xf'x+cfx>0（或）（其中c（4）對(duì)于不等式f'x+cfx>0（或c<07．a(chǎn)克糖水中含有b克糖，糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為，這個(gè)質(zhì)量比決定了糖水的甜度，如果再添加m克糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會(huì)變甜，對(duì)應(yīng)的不等式為(a>b>0，m>0)．若x1=log32，x2A．x1<x2<x3 B．【答案】B【解析】因?yàn)閤1=log3所以，，，根據(jù)題意當(dāng)a>b>0，m>0時(shí)，成立，又lg3>lg2>0即x2又，所以x2>x3，所以【點(diǎn)評(píng)】對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路：（1）拆：首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并；（2）合：將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算．8．已知，，，若函數(shù)gx有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以a=0，所以，令，則．令，得-2<x<2；令，得x<-2或x>2，所以f'x在-2，2上單調(diào)遞增，在所以f'x的極大值為，極小值為．因?yàn)楹瘮?shù)gx有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，所以方程有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即方程和共有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．又，所以或或，解得或，故選A．【點(diǎn)評(píng)】在考查函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判定及應(yīng)用時(shí)，把函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，正確作出函數(shù)的圖象是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．9．已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)=xex+2，若關(guān)于x的函數(shù)F(x)=[f(x)]2+(a-2)f(x)-2a恰有A． B．C． D．【答案】C【解析】F(x)=f(x)-2f(x)+a=0時(shí)，f(x)=xex+2<2，x<-1時(shí)，f'(x)<0，f(x)遞減；-1<x<0時(shí)，f'∴f(x)的極小值為，又f(x)<2，因此f(x)=2無(wú)解．此時(shí)要有兩解，則，又f(x)是奇函數(shù)，∴x>0時(shí)，f(x)=2仍然無(wú)解，要有兩解，則．綜上有，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的零點(diǎn)，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．首先方程化為f(x)=2或，然后用導(dǎo)數(shù)研究時(shí)，f(x)的性質(zhì)，同理，由奇函數(shù)性質(zhì)得出x>0時(shí)，f(x)的性質(zhì)，從而得出f(x)=2無(wú)解，有兩解時(shí)a的取值范圍．10．曲線fx=2xlnx在x=e處的切線A． B． C． D．【答案】D【解析】由fx=2xlnx，得，則f所以曲線fx在x=e處的切線l的方程為y-2e=4x-e，即令x=0，得y=-2e；令y=0，得．所以直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，所以切線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題的考點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．11．已知函數(shù)fx=ex-asinxA． B． C． D．【答案】D【解析】f'(x)=ex-a即在上有解，記，，當(dāng)時(shí)，g'(x)>0，g(x)g(0)=1，，所以，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值．函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上有極值，則在這個(gè)區(qū)間上有零點(diǎn)，f'(x)=0有解，又可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象12．設(shè)函數(shù)f(x)=ex-x，直線是曲線y=f(x)的切線，則a+b的最大值是（A． B．1 C． D．【答案】C【解析】由題得f'(x)=ex-1，設(shè)切點(diǎn)(t，f(t))，則f(t)=則切線方程為：y-(et-t)=(又因?yàn)椋?，b=et(1-t)則a+b=-1+2e令g(t)=-1+2et-t則有t>1，g'(t)<0；t<1，g'(t)>0，即g(t)在-∞，1上遞增，在所以t=1時(shí)，g(t)取最大值，即a+b的最大值為e-1，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程和研究函數(shù)的最值，屬于中檔題．二、填空題．13．已知函數(shù)fx=sinx?sin2x，①不等式fx>0的解集為或；②fx在區(qū)間0③fx的圖象關(guān)于直線x=π④fx的最大值為；⑤fx的最小值為．【答案】③④【解析】由，①fx>0，即又x∈0，2π，則或，故①②fx=0，則sinx又x∈0，2π，所以，，，，，共有5個(gè)零點(diǎn)，故②不正確；③所以，則fx的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱，故③正確；④，設(shè)cosx=t∈-1，由，解得；由，解得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)t=1時(shí)，y=0；當(dāng)t=-1時(shí)，y=0，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，所以④正確，⑤不正確，故答案為③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的對(duì)稱性、零點(diǎn)、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是將，由條件可得，sinx=0或cosx=0，以及，得出函數(shù)在-1，14．已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，且對(duì)任意，都有f(2-x)=f(x)成立，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，，則a=_______．當(dāng)x∈[1【答案】，【解析】（1）∵f(x)是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，，∴a=1．（2）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，故答案為，．【點(diǎn)評(píng)】利用給定性質(zhì)求函數(shù)在某一段的解析式，此類問(wèn)題的一般做法是：①“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”，即在哪個(gè)區(qū)間求解析式，x就設(shè)定在哪個(gè)區(qū)間．②利用給定的性質(zhì)，將要求的區(qū)間轉(zhuǎn)化到給定解析式的區(qū)間上．③利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入，解出f(x)．15．設(shè)b、c均為實(shí)數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則b2+c2的取值范圍是【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，所以方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解，即x2+cx+b=0在區(qū)間設(shè)g(x)=x2+cx+b，要想x當(dāng)x2+cx+b=0在區(qū)間只需，而，當(dāng)x2+cx+b=0在區(qū)間上有二個(gè)不相等實(shí)數(shù)根時(shí)，設(shè)為x則有，由，而c<-2，所以不等式(c+2)2因此有b2綜上所述：，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為方程的根的問(wèn)題，通過(guò)方程實(shí)數(shù)根的分布進(jìn)行求解．三、解答題．16．已知函數(shù)．（1）若，求fx的極值；（2）若fx>0恒成立，求實(shí)數(shù)【答案】（1）極小值0，無(wú)極大值；（2）．【解析】（1）∵當(dāng)時(shí)，，∴，令x>0，，由于x>0，所以t'所以t(x)在x>0上單調(diào)遞增，且x=1時(shí)，f∴當(dāng)x∈0，1，f'x故fx在上單調(diào)遞減，在1，∴x=1時(shí)，fx取極小值，（2）∵，∴，令，，令，∵，在x>0上是單調(diào)遞減函數(shù)，且，所以當(dāng)0<x<1時(shí)，，即g'(x)>0，g(x)的單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng)x>1時(shí)，，即g'(x)<0，g(x)所以，可得a>1，即a∈【點(diǎn)評(píng)】恒（能）成立問(wèn)題的解法：若f(x)在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：?x∈D，fx（2）能成立：?x∈D若能分離常數(shù)，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：a>fx（或a<f（1）恒成立：a>fx?a>f（2）能成立：a>fx?a>f17．已知函數(shù)f(x)=ae（1）當(dāng)a∈R時(shí)，討論函數(shù)（2）當(dāng)a>0時(shí)，若g(x)=lnx-x-lna，且f(x)≥g(x)在【答案】（1）答案見解析；（2）a≥1．【解析】（1）f'①當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)<0恒成立，即函數(shù)f(x)在②當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)>0，解得x>1-lna；令即函數(shù)f(x)在(1-lna，綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(-∞，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在(1-lna，（2）由題意，即當(dāng)a>0時(shí)，f(x)-g(x)≥0在x>0時(shí)恒成立，即aex-1-ln記，則，記φ(a)=a+lna-1，在又，當(dāng)時(shí)，得a≥1．下面證明：當(dāng)a≥1時(shí)，在x>0時(shí)恒成立．因?yàn)椋灾恍枳C在x>0時(shí)恒成立．記，所以，又，所以T'(x)在(0又，所以x∈(0，1)，x∈(1，所以，∴T(x)≥0在(0，+∞)即在x>0時(shí)恒成立．綜上可知，當(dāng)f(x)≥g(x)在x>0時(shí)恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥1．【點(diǎn)評(píng)】由不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)時(shí)，一般可對(duì)不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果；有時(shí)也可根據(jù)不等式，直接構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果．18．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)fx（2）若函數(shù)gx=fx【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）．【解析】（1）因?yàn)椋詘>0，且．令f'x>0，得；令f'x所以函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由題意，，因?yàn)楹瘮?shù)gx所以方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．兩邊同時(shí)除以，得．令，則，即，設(shè)，則G1=0，由題意，函數(shù)Gt有且只有t=1令，t∈0（i）當(dāng)Δ=a+2即時(shí)，ht≥0，，此時(shí)Gt（ii）當(dāng)a>22-2時(shí)，方程ht則，，所以，所以當(dāng)時(shí)，G't>0；當(dāng)時(shí)，G't<0；當(dāng)所以Gt在0，t1上單調(diào)遞增，在①當(dāng)a>1時(shí)，，所以，即．又因?yàn)閠→+∞時(shí)，，所以Gt在t2，②當(dāng)22因?yàn)?，，所以，所以，由，?dāng)t→+∞時(shí)，，可得Gt在t2③當(dāng)時(shí)，易得，t2=1，由，當(dāng)t>0且無(wú)限接近于0時(shí)，，可得Gt在0，t1綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是0，【點(diǎn)評(píng)】高考在逐年加大對(duì)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的考查力度，不僅題型在變化，而且問(wèn)題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個(gè)層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值與零點(diǎn)等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問(wèn)題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題．19．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)y=f(x)（2）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同實(shí)根x1，x2，求實(shí)數(shù)a【答案】（1）f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增；（2）【解析】（1）時(shí)，，故，∴f(x)在(0（2）由題意可知lnx設(shè)直線與y=lnx相切，切點(diǎn)坐標(biāo)為x則，解得，，，，即，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是．不妨設(shè)x2>x兩式相加得：lnx兩式相減得：，，故，要證x1x2>即證，令，故只需證在恒成立即可．令，則，∴g(x)在上單調(diào)遞增，，即在恒成立，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性與不等式的關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于t的不等式，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想、分類討論的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于難題．高頻易錯(cuò)題高頻易錯(cuò)題一、解答題．1．已知函數(shù)fx=e（1）令，討論函數(shù)hx的單調(diào)性；（2）令φx=fxgx，當(dāng)a≥1時(shí)，若【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）1，【解析】（1）∵fx=e∴，則，x∈R令，則x=1或x=2-a．①當(dāng)a<1時(shí)，1<2-a，當(dāng)x∈-∞，1或∴函數(shù)在-∞，1和2-a當(dāng)x∈1，∴函數(shù)在1，2-a②當(dāng)時(shí)，1=2-a，在R上恒成立，∴函數(shù)在R上單調(diào)遞減；③當(dāng)a>1時(shí)，1>2-a，當(dāng)x∈-∞，2-a或∴函數(shù)hx在-∞，2-a當(dāng)x∈2-a，1∴函數(shù)hx在2-a綜上：①當(dāng)a<1時(shí)，函數(shù)hx在-∞，1和2-a，+∞②當(dāng)時(shí)，函數(shù)hx在R上單調(diào)遞減；③當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)hx在-∞，2-a和1，+∞（2）由題設(shè)知，φx∴φ'x=當(dāng)時(shí)，φ'x≥0，∴函數(shù)φ且φx=故恒成立，符合題意；當(dāng)a>1時(shí)，令φx則x=-1或x=-a，且-a<-1，列表如下：x-∞-a-1-1φ'+0-0+φ遞增極大值遞減極小值遞增當(dāng)x≤-a時(shí)，∵x2+∴φx>0，則恒當(dāng)x>-a時(shí)，，則恒成立，∴a≤4，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立，解題的關(guān)鍵是討論a的取值范圍，求出函數(shù)φx精準(zhǔn)預(yù)測(cè)題精準(zhǔn)預(yù)測(cè)題一、選擇題．1．已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2-x)=f(x)，且f(x)在(-1，0)上遞減．若b=f(-ln2)，，則a，b，c的大小關(guān)系為（A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槎x在R上的偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，因?yàn)閒(2-x)=f(x)，所以f(2-x-2)=f(x+2)，即f(-x)=f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，又f(x)在(-1，0)上遞減，所以在，b=f(-ln2)=f(ln因?yàn)椋琭(x)在(0，1)所以，，即a<c<b，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)，對(duì)于抽象函數(shù)，要靈活掌握并運(yùn)用圖象與奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等性質(zhì)，要注意定義域，還應(yīng)該學(xué)會(huì)解決的基本方法與技巧，如對(duì)于選擇題，可選用特殊值法、賦值法、數(shù)形結(jié)合等，應(yīng)用分析、邏輯推理、聯(lián)想類比等數(shù)學(xué)思想方法．2．已知a=log56，b=log35，c=log23，，則a、A．b<a<d<c B．a(chǎn)<b<c<d C． D．a(chǎn)<b<d<c【答案】D【解析】，，，∵64=1296<55∵54=625>35因此，a<b<d<c，故選D．【點(diǎn)評(píng)】解答比較函數(shù)值大小問(wèn)題，常見的思路有兩個(gè)：（1）判斷各個(gè)數(shù)值所在的區(qū)間；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答．3．區(qū)塊鏈作為一種革新的技術(shù)，已經(jīng)被應(yīng)用于許多領(lǐng)域．在區(qū)塊鏈技術(shù)中，若密碼的長(zhǎng)度設(shè)定為256比特，則密碼一共有種可能．因此，為了破解密碼，最壞情況需要進(jìn)行次運(yùn)算．現(xiàn)在有一臺(tái)機(jī)器，每秒能進(jìn)行次運(yùn)算，假設(shè)機(jī)器一直正常運(yùn)轉(zhuǎn)，那么在最壞情況下這臺(tái)機(jī)器破譯密碼所需時(shí)間大約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A．秒 B．秒 C．秒 D．秒【答案】B【解析】設(shè)這臺(tái)機(jī)器破譯所需時(shí)間大約為x秒，則，兩邊同時(shí)取底數(shù)為10的對(duì)數(shù)，得，所以，所以，所以，所以，而，所以，，故選B．【點(diǎn)評(píng)】對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路：（1）拆：首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并；（2）合：將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算．4．已知函數(shù)fx=ax-ex與函數(shù)gx=xlnx+1A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)fx與gx的圖象上恰有兩對(duì)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，所以即ex-ax=xln令，則，所以當(dāng)x∈0，1時(shí)，h'(x)<0所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在1，+∞上單調(diào)遞增，所以在x=1處取得極小值，所以，所以a>e-1，a的取值范圍為，故選A．【點(diǎn)評(píng)】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題；（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．5．已知函數(shù)fx=x2+mxexA． B． C． D．【答案】C【解析】令fx=0，可得令，則．令g'x=0，解得x=1當(dāng)x>1時(shí)，g'x<0；當(dāng)所以gx在-∞，1上單調(diào)遞增，在1，所以，令φt=t2因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，設(shè)φt=t2+mt-mΔ=m2-4(-m)>0，解得m>0則t1，t（1）當(dāng)，時(shí)，將帶入方程，即，解得，代入方程，即，解得，故舍去；（2）當(dāng)，t2=0時(shí)，將t2=0帶入方程，則m=0，φ（3）當(dāng)，t2<0時(shí)，，解得，所以，故選C．【點(diǎn)評(píng)】解題的關(guān)鍵令，求得g(x)的單調(diào)性，畫出圖象，可得t的范圍，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合t的范圍求解，考查分析理解，分類討論的能力，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題．6．（多選）假設(shè)存在兩個(gè)物種，前者有充足的食物和生存空間，而后者僅以前者為食物，則我們稱前者為被捕食者，后者為捕食者，現(xiàn)在我們來(lái)研究捕食者與被捕食者之間理想狀態(tài)下的數(shù)學(xué)模型．假設(shè)捕食者的數(shù)量以xt表示，被捕食者的數(shù)量以yt表示．下圖描述的是這兩個(gè)物種隨時(shí)間變化的數(shù)量關(guān)系，其中箭頭方向?yàn)闀r(shí)間增加的方向．下列說(shuō)法不正確的是（A．若在t1、t2時(shí)刻滿足：yB．如果yt數(shù)量是先上升后下降的，那么xC．被捕食者數(shù)量與捕食者數(shù)量不會(huì)同時(shí)到達(dá)最大值或最小值D．被捕食者數(shù)與捕食者數(shù)總和達(dá)到最大值時(shí)，捕食者的數(shù)量也會(huì)達(dá)到最大值【答案】ABD【解析】由圖可知，曲線中縱坐標(biāo)相等時(shí)橫坐標(biāo)未必相等，故A不正確；在曲線上半段中觀察到y(tǒng)t是先上升后下降，而xt是不斷變小的，故捕食者數(shù)量最大時(shí)是在圖象最右端，最小值是在圖象最左端，此時(shí)都不是被捕食者的數(shù)量的最值處，同樣當(dāng)被捕食者的數(shù)量最大，即圖象最上端和最小即圖象最下端時(shí)，也不是捕食者數(shù)量取最值的時(shí)候，所以被捕食者數(shù)量和捕食者數(shù)量不會(huì)同時(shí)達(dá)到最大和最小值，故C正確；當(dāng)捕食者數(shù)量最大時(shí)在圖象最右端，xt∈25此時(shí)二者總和xt由圖象可知存在點(diǎn)xt=10，yt所以并不是被捕食者數(shù)量與捕食者數(shù)量總和達(dá)到最大值時(shí)，被捕食者數(shù)量也會(huì)達(dá)到最大值，故D錯(cuò)誤，故選ABD．【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵在于結(jié)合圖象分析xt與yt變化的關(guān)系，著重分析xt二、填空題．7．已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．【答案】【解析】函數(shù)的圖象如圖所示：若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于，的圖象又兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖知：，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】由函數(shù)零點(diǎn)或個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問(wèn)題：若方程可解，通過(guò)解方程即可得出參數(shù)的范圍；若方程不易解或不可解，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系求解，這樣會(huì)使得問(wèn)題變得直觀、簡(jiǎn)單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．8．設(shè)曲線y=alnx+x2a>0上任意一點(diǎn)的切線為l，若l【答案】【解析】∵y=alnx+，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∵l的傾斜角的取值范圍是，，解得．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系，解題的關(guān)系是求出導(dǎo)數(shù)的最小值，得出最小值為1，即可求解．三、解答題．9．已知函數(shù)fx（1）討論函數(shù)fx在區(qū)間1（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）a≥1．【解析】（1）函數(shù)fx定義域1，+∞當(dāng)a≤1時(shí)，f'x>0，f所以fx>f1=0，當(dāng)a>1時(shí)，f'x=0又因?yàn)閒'x在所以當(dāng)1<x<x0，f'x<0fx<f1=0，所以當(dāng)x>x0，f'x>0fx0<f以fx在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述：當(dāng)a≤1，函數(shù)fx在1當(dāng)a>1，函數(shù)fx在1，+∞（2）由題意知在區(qū)間0，+∞上恒成立設(shè)，則，，設(shè)，，所以hx在0又因?yàn)?，列表如下?+-g+-g增減所以當(dāng)時(shí)x=1，gxmax=1【點(diǎn)評(píng)】判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：（1）直接法：令fx=0，如果能求出解，那么有幾個(gè)不同（2）利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理：利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理時(shí)，不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，并且fa（3）圖象法：畫出函數(shù)fx的圖象，函數(shù)fx的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；將函數(shù)fx拆成兩個(gè)函數(shù)，hx和gx的形式，根據(jù)fx=0?h（4）利用函數(shù)的性質(zhì)：若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到，若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則需要求出在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)周期性則可以得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．10．己知函數(shù)．（1）若fx在R上是減函數(shù)，求m（2）如果fx有一個(gè)極小值點(diǎn)x1和一個(gè)極大值點(diǎn)x2【答案】（1）-∞，1；（【解析】（1）由，得f'(x)=x+m-fx在R上是減函數(shù)，則恒成立．設(shè)g(x)=f'(x)=x+m-當(dāng)x>0時(shí)，g'x<0，gx單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，g'于是gx由題意gx=m-1≤0，所以m≤1，故m的取值范圍是（2）設(shè)g(x)=f'(x)=x+m-當(dāng)x>0時(shí)，g'x<0，gx單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，g若，則g(x)≤0，則fx在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以不滿足條件，故g(0)>0，所以m>1，又∵g(-m)=-e-m<0，g(0)=m-1>0設(shè)，則，所以y=2x-ex在1，+∞上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x>1所以，∴?x1∈(-m，0)∴x∈-∞，x1，g(x)<0，即，gx>0，即f'x∈