同濟(jì)大學(xué)(高等數(shù)學(xué))-第四章-不定積分

PAGE19第四章不定積分前面討論了一元函數(shù)微分學(xué)，從本章開始我們將討論高等數(shù)學(xué)中的第二個核心內(nèi)容：一元函數(shù)積分學(xué)．本章主要介紹不定積分的概念與性質(zhì)以及基本的積分方法．第1節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)1.1不定積分的概念在微分學(xué)中，我們討論了求一個已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的問題，例如，變速直線運(yùn)動中已知位移函數(shù)為，則質(zhì)點在時刻的瞬時速度表示為．實際上，在運(yùn)動學(xué)中常常遇到相反的問題，即已知變速直線運(yùn)動的質(zhì)點在時刻的瞬時速度，求出質(zhì)點的位移函數(shù)．即已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求原來的函數(shù)．這種問題在自然科學(xué)和工程技術(shù)問題中普遍存在．為了便于研究，我們引入以下概念．1.1.1原函數(shù)定義1如果在區(qū)間上，可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，即對任一，都有或，那么函數(shù)就稱為在區(qū)間I上的原函數(shù)．例如，在變速直線運(yùn)動中，，所以位移函數(shù)是速度函數(shù)的原函數(shù)；再如，，所以是在上的一個原函數(shù)．所以是在的一個原函數(shù)．一個函數(shù)具備什么樣的條件，就一定存在原函數(shù)呢？這里我們給出一個充分條件．定理1如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，那么在區(qū)間上一定存在可導(dǎo)函數(shù)，使對任一都有．簡言之，連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)．由于初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)函數(shù)，所以初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都有原函數(shù)．定理1的證明，將在后面章節(jié)給出.關(guān)于原函數(shù)，不難得到下面的結(jié)論：若，則對于任意常數(shù)，都是的原函數(shù)．也就是說，一個函數(shù)如果存在原函數(shù)，則有無窮多個．假設(shè)和都是的原函數(shù)，則，必有,即一個函數(shù)的任意兩個原函數(shù)之間相差一個常數(shù)．因此我們有如下的定理：定理2若和都是的原函數(shù)，則（為任意常數(shù)）．1.1.2定義2在區(qū)間上，函數(shù)的所有原函數(shù)的全體，稱為在上的不定積分，記作．其中稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量．由此定義，若是的在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則的不定積分可表示為．注（1）不定積分和原函數(shù)是兩個不同的概念，前者是個集合，后者是該集合中的一個元素．（2）求不定積分，只需求出它的某一個原函數(shù)作為其無限個原函數(shù)的代表，再加上一個任意常數(shù)．例1求．解因為所以．例2求．解（1）因為所以．（2）因為所以．（3）因為所以．例3求．解由于時，，所以是在上的一個原函數(shù)，因此在內(nèi)，．又當(dāng)時，，所以是在上的一個原函數(shù)，因此在內(nèi)，．綜上，．例4在自由落體運(yùn)動中，已知物體下落的時間為，求時刻的下落速度和下落距離．解設(shè)時刻的下落速度為，則加速度（其中為重力加速度）．因此，又當(dāng)時，，所以．于是下落速度．又設(shè)下落距離為，則．所以，又當(dāng)時，，所以．于是下落距離．1.1.3不定積分的幾何意義設(shè)函數(shù)是連續(xù)的，若，則稱曲線是函數(shù)的一條積分曲線．因此不定積分在幾何上表示被積函數(shù)的一族積分曲線．積分曲線族具有如下特點（如圖4.1）：（1）積分曲線族中任意一條曲線都可由其中某一條平移得到；（2）積分曲線上在橫坐標(biāo)相同的點處的切線的斜率是相同的，即在這些點處對應(yīng)的切線都是平行的．圖4-1例5設(shè)曲線通過點，且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程．解設(shè)曲線方程，曲線上任一點處切線的斜率，即是的一個原函數(shù)．因為，又曲線過，所以，．于是曲線方程為．1.2基本積分公式由定義可知，求原函數(shù)或不定積分與求導(dǎo)數(shù)或求微分互為逆運(yùn)算，我們把求不定積分的運(yùn)算稱為積分運(yùn)算．既然積分運(yùn)算與微分運(yùn)算是互逆的，那么很自然地從導(dǎo)數(shù)公式可以得到相應(yīng)的積分公式．例如，因=，所以（）．類似可以得到其他積分公式，下面一些積分公式稱為基本積分公式．=1\*GB3①（k是常數(shù)）;=2\*GB3②（）;=3\*GB3③;=4\*GB3④;=5\*GB3⑤;=6\*GB3⑥;=7\*GB3⑦;=8\*GB3⑧;=9\*GB3⑨;=10\*GB3⑩，;?，;?;?;以上13個基本積分公式，是求不定積分的基礎(chǔ)，必須牢記．下面舉例說明積分公式=2\*GB3②的應(yīng)用．例6求不定積分．解．以上例子中的被積函數(shù)化成了冪函數(shù)的形式，然后直接應(yīng)用冪函數(shù)的積分公式=2\*GB3②求出不定積分．但對于某些形式復(fù)雜的被積函數(shù)，如果不能直接利用基本積分公式求解，則可以結(jié)合不定積分的性質(zhì)和基本積分公式求出一些較為復(fù)雜的不定積分．1.3不定積分的性質(zhì)根據(jù)不定積分的定義，可以推得它有如下兩個性質(zhì)．性質(zhì)1積分運(yùn)算與微分運(yùn)算互為逆運(yùn)算（1）或．（2）或性質(zhì)2設(shè)函數(shù)和的原函數(shù)存在，則．易得性質(zhì)2對于有限個函數(shù)的都是成立的．性質(zhì)3設(shè)函數(shù)的原函數(shù)存在，為非零的常數(shù)，則．由以上兩條性質(zhì)，得出不定積分的線性運(yùn)算性質(zhì)如下：．例7求．解．例8求．解原式=．例9求．解原式．例10求．解．例11求．解=．注本節(jié)例題中的被積函數(shù)在積分過程中，要么直接利用積分性質(zhì)和基本積分公式，要么將函數(shù)恒等變形再利用積分性質(zhì)和基本積分公式，這種方法稱為基本積分法．此外，積分運(yùn)算的結(jié)果是否正確，可以通過它的逆運(yùn)算（求導(dǎo)）來檢驗，如果它的導(dǎo)函數(shù)等于被積函數(shù)，那么積分結(jié)果是正確的，否則是錯誤的．下面再看一個抽象函數(shù)的例子：例12設(shè)，求？解由，可得，從而．習(xí)題4-11．求下列不定積分．（1）；（2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）；（17）； （18）．2．已知某產(chǎn)品產(chǎn)量的變化率是時間的函數(shù)，（，為常數(shù)）．設(shè)此產(chǎn)品的產(chǎn)量函數(shù)為，且，求．3．驗證．4．設(shè)，求？第2節(jié)換元積分法和不定積分法2.1換元積分法上一節(jié)介紹了利用基本積分公式與積分性質(zhì)的直接積分法，這種方法所能計算的不定積分是非常有限的．因此，有必要進(jìn)一步研究不定積分的求法．這一節(jié)，我們將介紹不定積分的最基本也是最重要的方法——換元積分法，簡稱換元法．其基本思想是：利用變量替換，使得被積表達(dá)式變形為基本積分公式中的形式，從而計算不定積分．換元法通常分為兩類，下面首先討論第一類換元積分法．2.1定理1設(shè)具有原函數(shù)，可導(dǎo)，則有換元公式 ． （4.2.1）證明不妨令為的一個原函數(shù),則．由不定積分的定義只需證明，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則顯然成立．注由此定理可見，雖然不定積分是一個整體的記號，但從形式上看，被積表達(dá)式中的也可以當(dāng)做自變量的微分來對待．從而微分等式可以方便地應(yīng)用到被積表達(dá)式中．例1求．解，最后，將變量代入，即得．根據(jù)例1第一類換元公式求不定積分可分以下步驟:（1）將被積函數(shù)中的簡單因子湊成復(fù)合函數(shù)中間變量的微分；（2）引入中間變量作換元；（3）利用基本積分公式計算不定積分；（4）變量還原．例2求．解被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，中間變量，，這里缺少了中間變量的導(dǎo)數(shù)4，可以通過改變系數(shù)湊出這個因子：．例3求．解為復(fù)合函數(shù)，是中間變量，且，．對第一類換元法熟悉后，可以整個過程簡化為兩步完成．例4求．解．注如果被積表達(dá)式中出現(xiàn)，，通常作如下相應(yīng)的湊微分：，．例5求．解因為，亦即，所以．例6求．解因為，所以．例7求．解因為，所以．在例4至例7中，沒有引入中間變量，而是直接湊微分．下面是根據(jù)基本微分公式推導(dǎo)出的常用的湊微分公式．①．②．③．④．⑤．⑥．⑦．⑧．⑨．⑩．在積分的運(yùn)算中，被積函數(shù)有時還需要作適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式或三角函數(shù)式的恒等變形后，再用湊微分法求不定積分．例8求．解將函數(shù)變形，由，所以得到．例9求．解．例10求．解=．同理，我們可以推得．例11求．解．例12求．解．例13求．解．例14求．解．同理，我們可以推得．注對形如的積分，如果，中有奇數(shù)，取奇次冪的底數(shù)（如是奇數(shù)，則?。┡c湊微分，那么被積函數(shù)一定能夠變形為關(guān)于另一個底數(shù)的多項式函數(shù)，從而可以順利的計算出不定積分;如果，均為偶數(shù)，則利用倍角（半角）公式降冪，直至將三角函數(shù)降為一次冪，再逐項積分．例15求．解===．一般的，對于形如下列形式，，，的積分（），先將被積函數(shù)用三角函數(shù)積化和差公式進(jìn)行恒等變形后，再逐項積分．例16求．解因為，所以．這是一個有理函數(shù)（形如的函數(shù)稱為有理函數(shù)，，均為多項式）的積分，將有理函數(shù)分解成更簡單的部分分式的形式，然后逐項積分，是這種函數(shù)常用的變形方法．下面再舉幾個被積函數(shù)為有理函數(shù)的例子．例17求．解先將有理真分式的分母因式分解，得．然后利用待定系數(shù)法將被積函數(shù)進(jìn)行分拆．設(shè)=，從而，分別將代入中，易得．故原式==．例18求．解由，令，兩邊同乘以，得．令得；令得；令，得．所以．故=．2.1.2定理2設(shè)是單調(diào)，可導(dǎo)的函數(shù)，并且，又設(shè)具有原函數(shù)，則有換元公式，，其中，是的反函數(shù)．證明設(shè)的原函數(shù)為．記，利用復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)求導(dǎo)法則得，則是的原函數(shù)．所以．利用第二類換元法進(jìn)行積分，重要的是找到恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)代入到被積函數(shù)中，將被積函數(shù)化簡成較容易的積分，并且在求出原函數(shù)后將還原．常用的換元法主要有三角函數(shù)代換法、簡單無理函數(shù)代換法和倒代換法．一、三角函數(shù)代換法例19求．解設(shè)，，，于是=．因為，所以為求出，利用作輔助三角形（圖4-2），求得，所以．圖4-2例20求．解令，=．利用作輔助三角形（圖4-3），求得所以．圖4-3例21求．解當(dāng)時，令，=．利用作輔助三角形（圖4-4），求得，所以，．當(dāng)時，令則，由上面的結(jié)果，得=．綜上，．圖4-4注當(dāng)被積函數(shù)含有形如，，的二次根式時，可以作相應(yīng)的換元：，，將根號化去．但是具體解題時，要根據(jù)被積函數(shù)的具體情況，選取盡可能簡捷的代換，不能只局限于以上三種代換．二、簡單無理函數(shù)代換法例22求．解令，=．例23求．解被積函數(shù)中出現(xiàn)了兩個不同的根式，為了同時消去這兩個根式，可以作如下代換：令，則，，從而．例24求．解為了去掉根式，作如下代換：，則，，從而．一般的，如果積分具有如下形式（1），則作變換；（2），則作變換，其中是，的最小公倍數(shù)；（3），則作變換．運(yùn)用這些變換就可以將被積函數(shù)中的根數(shù)去掉，被積函數(shù)就化為有理函數(shù)．三、倒代換法在被積函數(shù)中如果出現(xiàn)分式函數(shù)，而且分母的次數(shù)大于分子的次數(shù)，可以嘗試?yán)玫勾鷵Q，即令，利用此代換，常?？梢韵ケ环e函數(shù)中分母中的變量因子．例25求．解令，=．例26求．解設(shè)于是,當(dāng)時，有．時，結(jié)果相同．本例也可用三角代換法,請讀者自行求解．四、指數(shù)代換例27求．解設(shè)于是．注本節(jié)例題中，有些積分會經(jīng)常遇到，通常也被當(dāng)作公式使用．承接上一節(jié)的基本積分公式，將常用的積分公式再添加幾個（）：=1\*GB3①;=2\*GB3②;=3\*GB3③=;=4\*GB3④;=5\*GB3⑤;=6\*GB3⑥=;=7\*GB3⑦;=8\*GB3⑧;=9\*GB3⑨．例28求．解=．例29求．解=．例30求．解=．例31求．解被積函數(shù)為有理函數(shù)，且分母為二次質(zhì)因式的平方，把二次質(zhì)因式進(jìn)行配方：，令，則，．所以．圖4-5按照變換作（輔助三角形圖4-5），則有，，于是．2.2分部積分法前面我們得到了換元積分法．現(xiàn)在我們利用“兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則”來推導(dǎo)求積分的另一種基本方法—分部積分法．定理1設(shè)函數(shù)，具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則 ． （4.2.2）證明微分公式兩邊積分得，移項后得．我們把公式（4.2.2）稱為分部積分公式．它可以將不易求解的不定積分轉(zhuǎn)化成另一個易于求解的不定積分．例32求．解根據(jù)分部積分公式，首先要選擇和，顯然有兩種方式，我們不妨先設(shè)即，則．采用這種選擇方式，積分很順利的被積出，但是如果作如下的選擇：設(shè)即，則，比較原積分與新得到的積分，顯然后面的積分變得更加復(fù)雜難以解出．由此可見利用分部積分公式的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)倪x擇和．如果選擇不當(dāng)，就會使原來的積分變的更加復(fù)雜．在選取和時一般考慮下面兩點:（1）要容易求得；（2）要比容易求出．例33求． 解令,則．例34求．解令，則利用分部積分公式得，這里運(yùn)用了