高中數(shù)學(xué)高考01第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ) 1 1　集合及其運(yùn)算

§1.1集合的概念及運(yùn)算第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)題型分類(lèi)深度剖析課時(shí)作業(yè)1基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)PARTONE1.集合與元素(1)集合中元素的三個(gè)特征：

、

、

.(2)元素與集合的關(guān)系是

或

，用符號(hào)

或

表示.(3)集合的表示法：

、

、

.(4)常見(jiàn)數(shù)集的記法知識(shí)梳理ZHISHISHULI確定性互異性無(wú)序性屬于不屬于∈?列舉法描述法圖示法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*(或N＋)ZQR關(guān)系自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言Venn圖子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，則x∈B)_____________真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不在集合A中_______________集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互為子集_______2.集合間的基本關(guān)系A(chǔ)?B(或B?A)AB(或BA)A＝B3.集合的基本運(yùn)算運(yùn)算自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言Venn圖交集由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}補(bǔ)集由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合?UA＝{x|x∈U且x?A}1.若一個(gè)集合A有n個(gè)元素，則集合A有幾個(gè)子集，幾個(gè)真子集.提示2n，2n－1.2.從A∩B＝A，A∪B＝A可以得到集合A，B有什么關(guān)系？提示A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.【概念方法微思考】題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集.(

)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(

)(3)若{x2，1}＝{0,1}，則x＝0,1.(

)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}.(

)(5)若A∩B＝A∩C，則B＝C.(

)×××√×基礎(chǔ)自測(cè)JICHUZICE123456題組二教材改編A.{a}?A

B.a?AC.{a}∈A

D.a?A√1234563.[P44A組T5]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)___.2解析集合A表示以(0,0)為圓心，1為半徑的單位圓上的點(diǎn)，集合B表示直線(xiàn)y＝x上的點(diǎn)，則A∩B中有兩個(gè)元素.123456題組三易錯(cuò)自糾4.(2018·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)月考)已知集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，則下列說(shuō)法正確的是A.0?A

B.1?AC.?A

D.3∈A解析集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，√1234565.已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2<x<4}，則(?RA)∪B＝_____________.{x|x≤1或x>2}解析由已知可得集合A＝{x|1<x<3}，又因?yàn)锽＝{x|2<x<4}，?RA＝{x|x≤1或x≥3}，所以(?RA)∪B＝{x|x≤1或x>2}.1234566.已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，則實(shí)數(shù)a的值是___________.0或1或－1解析易得M＝{a}.∵M(jìn)∩N＝N，∴N?M，∴N＝?或N＝M，∴a＝0或a＝±1.1234562題型分類(lèi)深度剖析PARTTWO題型一集合的含義1.已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是A.1 B.3 C.6 D.9√解析當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0或y＝1；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝0,1,2.故集合B＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B中有6個(gè)元素.自主演練A.2 B.3 C.4 D.5又因?yàn)閤∈Z，所以x的值分別為5,3,1，－1，故集合A中的元素個(gè)數(shù)為4.√3.已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為_(kāi)_____.解析由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，當(dāng)m＝1時(shí)，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿(mǎn)足題意；(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類(lèi)型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類(lèi)型的集合.(2)如果是根據(jù)已知列方程求參數(shù)值，一定要將參數(shù)值代入集合中檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足元素的互異性.思維升華題型二集合間的基本關(guān)系A(chǔ).M∩N＝?

B.M＝NC.M?N

D.N?M√解析由題意，對(duì)于集合M，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2k(k∈Z)，則x＝k＋1(k∈Z)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2k＋1(k∈Z)，師生共研(2)已知集合A＝{x|x2－2019x＋2018<0}，B＝{x|x<a}，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________.[2018，＋∞)解析由x2－2019x＋2018<0，解得1<x<2018，故A＝{x|1<x<2018}.又B＝{x|x<a}，A?B，如圖所示，可得a≥2018.本例(2)中，若將集合B改為{x|x≥a}，其他條件不變，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.(－∞，1]解析A＝{x|1<x<2018}，B＝{x|x≥a}，A?B，如圖所示，可得a≤1.引申探究(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會(huì)造成漏解.(2)已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿(mǎn)足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來(lái)直觀(guān)解決這類(lèi)問(wèn)題.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知集合A＝{y|0≤y<a，y∈N}，B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，若AB，則滿(mǎn)足條件的正整數(shù)a所構(gòu)成集合的子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)____.8解析B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0,1,2,3}，當(dāng)a分別取1,2,3時(shí)，所得集合A分別為{0}，{0,1}，{0,1,2}，均滿(mǎn)足AB，當(dāng)a＝4時(shí)，A＝{0,1,2,3}，不滿(mǎn)足AB，同理，當(dāng)a≥5時(shí)均不滿(mǎn)足AB.所以滿(mǎn)足條件的正整數(shù)a所構(gòu)成的集合為{1,2,3}，其子集有8個(gè).(2)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}.若B?A，則m的取值范圍為_(kāi)_________.(－∞，1]解析當(dāng)m≤0時(shí)，B＝?，顯然B?A.當(dāng)m>0時(shí)，因?yàn)锳＝{x|－1<x<3}，B?A，所以在數(shù)軸上標(biāo)出兩集合，如圖，綜上所述，m的取值范圍為(－∞，1].題型三集合的基本運(yùn)算命題點(diǎn)1集合的運(yùn)算例2

(1)(2018·全國(guó)Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，則?RA等于A.{x|－1<x<2}B.{x|－1≤x≤2}C.{x|x<－1}∪{x|x>2}D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}√多維探究解析∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}.在數(shù)軸上表示出集合A，如圖所示.由圖可得?RA＝{x|－1≤x≤2}.故選B.(2)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－

<x<5}，則A.A∩B＝?

B.A?BC.B?A

D.A∪B＝R解析∵A＝{x|x>2或x<0}，∴A∪B＝R.√命題點(diǎn)2利用集合的運(yùn)算求參數(shù)例3

(1)(2018·惠州模擬)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.a<1 B.a≤1C.a>2 D.a≥2解析集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B可得B?A，作出數(shù)軸如圖.√可知a≥2.1則實(shí)數(shù)a的值為1.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a＝1時(shí)滿(mǎn)足題意.(3)設(shè)集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}.若A∩B＝B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________________.(－∞，－1]∪{1}解析因?yàn)锳∩B＝B，所以B?A，因?yàn)锳＝{0，－4}，所以B?A分以下三種情況：①當(dāng)B＝A時(shí)，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的兩個(gè)根，②當(dāng)B≠?且BA時(shí)，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此時(shí)B＝{0}滿(mǎn)足題意；③當(dāng)B＝?時(shí)，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.綜上所述，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1]∪{1}.(1)一般來(lái)講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的，則用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況.(2)運(yùn)算過(guò)程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用，靈活使用這些關(guān)系，會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)化.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2018·石家莊檢測(cè))已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|y＝lg(x－2)}，則A∩(?RB)等于A.(2,4) B.(－2,4)C.(－2,2) D.(－2,2]解析由題意得B＝{x|y＝lg(x－2)}＝(2，＋∞)，∴?RB＝(－∞，2]，∴A∩(?RB)＝(－2,2].√(2)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為A.[－1,2) B.[－1,3]C.[2，＋∞) D.[－1，＋∞)√解析由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}.又A∩B＝B，所以B?A.①當(dāng)B＝?時(shí)，有m＋1≤2m－1，解得m≥2；綜上，m的取值范圍為[－1，＋∞).題型四集合的新定義問(wèn)題例4

(1)(2018·沈陽(yáng)模擬)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定義集合A，B之間的運(yùn)算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，則A*B中的所有元素?cái)?shù)字之和為A.15 B.16 C.20 D.21解析由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}.因?yàn)锳*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素?cái)?shù)字之和為21.√師生共研解析在數(shù)軸上表示出集合M與N(圖略)，解決以集合為背景的新定義問(wèn)題，要抓住兩點(diǎn)：(1)緊扣新定義.首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過(guò)程之中.(2)用好集合的性質(zhì).解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素.思維升華3解析因?yàn)镃(A)＝2，A*B＝1，所以C(B)＝1或C(B)＝3.由x2＋ax＝0，得x1＝0，x2＝－a.關(guān)于x的方程x2＋ax＋2＝0，易知0，－a均不是方程x2＋ax＋2＝0的根，故C(B)＝4，不符合題意；當(dāng)a＝0時(shí)，B＝{0}，C(B)＝1，符合題意，3課時(shí)作業(yè)PARTTHREE1.已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，則下列結(jié)論正確的是A.－3∈A

B.3?BC.A∩B＝B

D.A∪B＝B解析由題意知A＝{y|y≥－1}，因此A∩B＝{x|x≥2}＝B，故選C.√基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516A.NM

B.MNC.N∩M＝?

D.M∪N＝R所以MN.故選B.√123456789101112131415163.設(shè)集合A＝{x∈Z|x2－3x－4<0}，B＝{x|2x≥4}，則A∩B等于A.[2,4) B.{2,4}C.{3} D.{2,3}解析

由x2－3x－4<0，得－1<x<4，因?yàn)閤∈Z，所以A＝{0,1,2,3}，由2x≥4，得x≥2，即B＝{x|x≥2}，所以A∩B＝{2,3}.√123456789101112131415164.(2018·全國(guó)Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個(gè)數(shù)為A.9 B.8C.5 D.4解析將滿(mǎn)足x2＋y2≤3的整數(shù)x，y全部列舉出來(lái)，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9個(gè).故選A.√123456789101112131415165.設(shè)集合A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}，B＝{0,1}，則?AB等于A.{－3，－2，－1} B.{－1,2,3}C.{－1,0,1,2,3} D.{0,1}解析由題意可知A＝{－1,0,1,2,3}，則?AB＝{－1,2,3}.故選B.√123456789101112131415166.(2018·長(zhǎng)沙四校聯(lián)考)已知全集U＝{x∈N|x2－5x－6<0}，集合A＝{x∈N|－2<x≤2}，B＝{1,2,3,5}，則(?UA)∩B等于A.{3,5} B.{2,3,5}C.{2,3,4,5} D.{3,4,5}解析由題意知，U＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{0,1,2}，則(?UA)∩B＝{3,5}.故選A.√123456789101112131415167.(2017·全國(guó)Ⅱ)設(shè)集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}.若A∩B＝{1}，則B等于A.{1，－3} B.{1,0}C.{1,3} D.{1,5}解析

∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}.故選C.√123456789101112131415168.已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A?B，則a的取值范圍為A.(－∞，0] B.[0，＋∞)C.(－∞，0) D.(0，＋∞)解析用數(shù)軸表示集合A，B(如圖)，由A?B，得a≥0.√123456789101112131415169.(2018·鄭州模擬)已知集合P＝{x|y＝

x∈N}，Q＝{x|lnx<1}，則P∩Q＝______.{1,2}解析由－x2＋x＋2≥0，得－1≤x≤2，因?yàn)閤∈N，所以P＝{0,1,2}.因?yàn)閘nx<1，所以0<x<e，所以Q＝(0，e)，則P∩Q＝{1,2}.1234567891011121314151610.若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1}，則A∩(?UB)＝________________.{x|x<－1或x≥2}解析集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，∵log3(2－x)≤1＝log33，∴0<2－x≤3，∴－1≤x<2，∴B＝{x|－1≤x<2}，∴?UB＝{x|x<－1或x≥2}，∴A∩(?UB)＝{x|x<－1或x≥2}.1234567891011121314151611.設(shè)集合A＝{－1,1,2}，B＝{a＋1，a2－2}，若A∩B＝{－1,2}，則a的值為_(kāi)_______.－2或1解析∵集合A＝{－1,1,2}，B＝{a＋1，a2－2}，A∩B＝{－1,2}，解得a＝－2或a＝1.經(jīng)檢驗(yàn)，a＝－2和a＝1均滿(mǎn)足題意.1234567891011121314151612.已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A?B，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是__________.[1