2021-2022學(xué)年山東省臨沂市沂南張莊中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年山東省臨沂市沂南張莊中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知是橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，若的周長為，則橢圓方程為（）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A2.某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，隨意撥號，則撥號不超過三次而接通電話的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B3.某幾何體的三視圖如圖所示．則該幾何體的體積等于（）A． B．2 C． D．3參考答案：C【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何．【分析】幾何體為四棱柱與三棱柱的組合體．【解答】解：由三視圖可知該幾何體上部分為四棱柱，下部分為三棱柱，四棱柱的底面為邊長為1的正方形，高為2，三棱柱的底面為等腰直角三角形，直角邊為1，三棱柱的高為1，所以幾何體的體積V=1×1×2+=．故選C．【點評】本題考查了空間幾何體的三視圖與結(jié)構(gòu)特征，幾何體體積計算，屬于基礎(chǔ)題．4.設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+），則下列關(guān)于函數(shù)f（x）的說法中正確的是（）A．f（x）是偶函數(shù)B．f（x）最小正周期為2πC．f（x）圖線關(guān)于直線點x=﹣對稱D．f（x）圖象關(guān)于點（﹣，0）對稱參考答案：D【考點】三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】由題意利用正弦函數(shù)的奇偶性、周期性、以及圖象的對稱性，得出結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=sin（2x+），顯然它不是偶函數(shù)，故排除A；由于它的最小正周期為=π，故排除B；當(dāng)x=﹣時，函數(shù)f（x）=sin（2x+）=0，不是最值，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=﹣對稱錯，f（x）圖象關(guān)于點（﹣，0）對稱，故排除C，故選：D．5.5名運(yùn)動員爭奪3項比賽冠軍（每項比賽無并列冠軍），獲得冠軍的可能種數(shù)為（） A．35 B． C． D．53參考答案：D【考點】計數(shù)原理的應(yīng)用． 【專題】排列組合． 【分析】每個冠軍的情況都有5種，共計3個冠軍，故分3步完成，根據(jù)分步計數(shù)原理，運(yùn)算求得結(jié)果． 【解答】解：每一項冠軍的情況都有5種，故5名學(xué)生爭奪三項冠軍，獲得冠軍的可能的種數(shù)是53， 故選：D． 【點評】本題主要考查分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題． 6.如圖，為了測量隧道兩口之間AB的長度，對給出的四組數(shù)據(jù)，計算時要求最簡便，測量時要求最容易，應(yīng)當(dāng)采用的一組是A．

B．

C．

D．參考答案：A7.為等比數(shù)列，是其前項和，若，且與的等差中項為，則

A．29

B．30

C．31

D．32參考答案：C8.已知向量，向量，若與垂直，則（

）A.－1 B.1 C. D.參考答案：C【分析】利用坐標(biāo)運(yùn)算求得和，根據(jù)向量垂直關(guān)系可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，與垂直

解得：本題正確選項：【點睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，關(guān)鍵是明確向量垂直時，兩個向量的數(shù)量積為零，屬于基礎(chǔ)題.

9.已知實數(shù)x，y滿足條件，則的最小值為（

）A.2 B.3 C.4 D.5參考答案：A【分析】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出可行解域，然后平移直線，在可行解域內(nèi)，找到當(dāng)在縱軸上的截距最小時所經(jīng)過的點，求出點的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，求出最小值.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出可行解域，如下圖陰影部分就是可行解域，當(dāng)直線經(jīng)過點時，在縱軸上的截距最小，所以的最小值為：，故本題選A.10.下面的程序框圖（如圖所示）能判斷任意輸入的數(shù)的奇偶性：

其中判斷框內(nèi)的條件是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________．111]參考答案：解：，當(dāng)，即時取等號；的最小值為；,故本題正確答案是

.12.已知雙曲線的離心率為2，焦點與橢圓的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標(biāo)為

；漸近線方程為

。參考答案：(),13.已知復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，且z（2+i）=1+ai，則實數(shù)a的值為

．參考答案：﹣2【考點】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，設(shè)z=xi（x∈R，x≠0）．代入利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，設(shè)z=xi（x∈R，x≠0）．∵z（2+i）=1+ai，∴xi（2+i）=1+ai，∴2xi﹣x=1+ai，∴，解得a=﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．14.函數(shù)最小正周期是，單調(diào)減區(qū)間是．參考答案：π,[kπ+，kπ+]，k∈Z.【考點】余弦函數(shù)的圖象．【分析】由條件利用余弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，求得結(jié)論．【解答】解：函數(shù)=cos（2x﹣）的最小正周期是=π，令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+，kπ+]，k∈Z，故答案為：π；[kπ+，kπ+]，k∈Z．15.若非零向量α，β滿足|α＋β|＝|α－β|，則α，β的夾角為________．參考答案：90°16.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則函數(shù)不存在零點的概率為________．參考答案：本題主要考查的是函數(shù)的零點以及正態(tài)分布曲線的對稱性,意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.因為函數(shù)不存在零點,所以?,因為隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,所以曲線關(guān)于直線對稱,所以.故答案為.17.已知函數(shù)f（x）=x2+lnx﹣ax在（0，1）上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，]【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）是增函數(shù)，等價為f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，即可得到結(jié)論．【解答】解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），要使f（x）=lnx+x2﹣ax在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則等價為f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，∵f（x）=lnx+x2﹣ax，∴f′（x）=+2x﹣a≥0，即a≤+2x在x∈（0，1）上恒成立，當(dāng)x＞0時，y=+2x≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=時取等號．則a≤2，故答案為：（﹣∞，]．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.參考答案：解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為由已知，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由已知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其左頂點為設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其焦點坐標(biāo)為，則

即

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.略19.（14分）已知橢圓的中心在原點，一個長軸的端點為P（0，﹣2），離心率為e=，過點P作斜率為k1，k2的直線PA，PB，分別交橢圓于點A，B．（1）求橢圓的方程；（2）若k1?k2=2，證明直線AB過定點，并求出該定點．參考答案：【考點】恒過定點的直線；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）設(shè)橢圓的方程為（a＞b＞0），根據(jù)題意建立關(guān)于a、b的方程組解出a、b之值，即可得到橢圓的方程；（2）由題意得直線PA方程為y=k1x﹣2，與橢圓方程消去y得到關(guān)于x的方程，解出A點坐標(biāo)含有k1的式子，同理得到B點坐標(biāo)含有k2的式子，利用直線的兩點式方程列式并結(jié)合k1k2=2化簡整理，可證出AB方程當(dāng)x=0時y=﹣6，由此可得直線AB必過定點Q（0，﹣6）．【解答】解：（1）∵橢圓的中心在原點，一個長軸的端點為P（0，﹣2），∴設(shè)橢圓的方程為（a＞b＞0），可得a=2，且，解之得b=1，∴橢圓的方程為：；（2）由題意，可得直線PA方程為y=k1x﹣2，與橢圓方程消去y，得（1+）x2﹣k1x=0，解之得x=0或x=由P的坐標(biāo)為（0，﹣2），得A（，k1?﹣2），即（，）同理可行B的坐標(biāo)為（，），結(jié)合題意k1?k2=2，化簡得B（，）因此，直線AB的方程為，化簡得=（），令x=0得==﹣6，由此可得直線AB過定點定點Q（0，﹣6）．【點評】本題給出橢圓滿足的條件，求它的方程并證明直線經(jīng)過定點．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直線的基本量與基本形式等知識，屬于中檔題．20.已知二項式．（1）求展開式中的常數(shù)項；（2）設(shè)展開式中系數(shù)最大的項為求t的值.參考答案：（1）7920；（2）12.【分析】(1)直接利用展開式通項,取次數(shù)為0,解得答案.(2)通過展開式通項最大項大于等于前一項和大于等于后一項得到不等式組,解得答案.【詳解】解：（1）展開式中的通項，令得所以展開式中的常數(shù)項為（2）設(shè)展開式中系數(shù)最大的項是，則所以代入通項公式可得.【點睛】本題考查了二項式定理的常數(shù)項和最大項,意在考查學(xué)生的計算能力.21.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，離心率，且其中一個焦點與拋物線的焦點重合．（1）求橢圓C的方程；（2）過點S（，0）的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點T，使得無論l如何轉(zhuǎn)動，以AB為直徑的圓恒過點T，若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（1）先設(shè)處橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率求的a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)拋物線的焦點求得c，進(jìn)而求得a，則b可得，進(jìn)而求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x2+y2=1，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是（x+）2+y2=．聯(lián)立兩個圓的方程求得其交點的坐標(biāo)，推斷兩圓相切，進(jìn)而可判斷因此所求的點T如果存在，只能是這個切點．證明時先看直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（1，0）．再看直線l不垂直于x軸，可設(shè)出直線方程，與圓方程聯(lián)立消去y，記點A（x1，y1），B（x2，y2），根據(jù)偉大定理求得x1+x2和x1x2的表達(dá)式，代入?的表達(dá)式中，求得?=0，進(jìn)而推斷TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（1，0）．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，離心率，，拋物線的焦點為（0，1），所以，橢圓C的方程是x2+=1（Ⅱ）若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x2+y2=1，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是（x+）2+y2=．由解得即兩圓相切于點（1，0）．因此所求的點T如果存在，只能是（1，0）．事實上，點T（1，0）就是所求的點．證明如下：當(dāng)直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（1，0）．若直線l不垂直于x軸，可設(shè)直線l：y=k（x+）．由即（k2+2）x2+k2x+k2﹣2=0．記點A（x1，y1），B（x2，y2），則又因為=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），?=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+k2（x1+）（x2+）=（k2+1）x1x2+（k2﹣1）（x1+x2）+k2+1=（k2+1）+（k2﹣1）++1=0，所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（1，0）．所以在坐標(biāo)平面上存在一個定點T（1，0）滿足條件22.（滿分12分）已知一圓與軸相切，圓心在直線上，且被直線截得的弦長為，求該圓的方程參考答案：解：設(shè)圓心為，因為圓心在直線上，所以，