3凸集+凸函數(shù)+凸規(guī)劃（沐風(fēng)書苑）

第3講凸集、凸函數(shù)、凸規(guī)劃

凸集(ConvexSet)

凸函數(shù)(ConvexFunction)

凸規(guī)劃(ConvexProgramming)凸性(Convexity)是最優(yōu)化理論必須涉及到基本概念.具有凸性的非線性規(guī)劃模型是一類特殊的重要模型，它在最優(yōu)化的理論證明及算法研究中具有非常重要的作用.1沐風(fēng)書苑凸集---定義線性組合(linearCombination)仿射組合(AffineCombination)凸組合(ConvexCombination)凸錐組合(ConvexConeCombination)2沐風(fēng)書苑凸集---定義例

二維情況下，兩點(diǎn)x1,x2的

(a)線性組合為全平面；

(b)仿射組合為過這兩點(diǎn)的直線；

(c)凸組合為連接這兩點(diǎn)的線段；

(b)凸錐組合為以原點(diǎn)為錐頂并通過這兩點(diǎn)的錐.3沐風(fēng)書苑凸集---定義4沐風(fēng)書苑凸集---定義定義1設(shè)集合若對(duì)于任意兩點(diǎn)及實(shí)數(shù)都有：則稱集合為凸集．常見的凸集：單點(diǎn)集{x}，空集

，整個(gè)歐氏空間Rn，超平面：半空間：5沐風(fēng)書苑例：證明超球?yàn)橥辜C明：設(shè)為超球中的任意兩點(diǎn)，則有：即點(diǎn)屬于超球,所以超球?yàn)橥辜辜?---舉例6沐風(fēng)書苑(1)任意多個(gè)凸集的交集為凸集．

(2)設(shè)是凸集，是一實(shí)數(shù)，則下面的集合是凸集：凸集-----性質(zhì)(3)7沐風(fēng)書苑推論：設(shè)是凸集，則也是凸集，其中是實(shí)數(shù)．

(4)

S是凸集當(dāng)且僅當(dāng)S中任意有限個(gè)點(diǎn)的凸組合仍然在S中.P23,定理2.9凸集-----性質(zhì)8沐風(fēng)書苑注：和集和并集有很大的區(qū)別，凸集的并集未必是凸集，而凸集的和集是凸集．例：表示軸上的點(diǎn)．表示軸上的點(diǎn)．則表示兩個(gè)軸的所有點(diǎn)，它不是凸集；而凸集．凸集-----性質(zhì)9沐風(fēng)書苑定義設(shè)S

中任意有限個(gè)點(diǎn)的所有凸組合所構(gòu)成的集合稱為S的凸包，記為H(S),即凸集-----凸包(ConvexHull)定理2.1.4

H(S)是Rn

中所有包含S的凸集的交集.H(S)是包含S的最小凸集.10沐風(fēng)書苑定義錐、凸錐凸集-----凸錐(ConvexCone)11沐風(fēng)書苑定義分離(Separation)凸集-----凸集分離定理12沐風(fēng)書苑性質(zhì)定理2.1.5凸集-----凸集分離定理(2)是點(diǎn)到集合的最短距離點(diǎn)的充要條件為：注：閉凸集外一點(diǎn)與閉凸集的極小距離，即投影定理。13沐風(fēng)書苑定理2.1.5直觀解釋我們不妨把一個(gè)閉凸集想象為一個(gè)三維的充滿了氣體的氣球（不一定為標(biāo)準(zhǔn)球形，但必須是凸的），那么，在氣球外一點(diǎn)，到氣球各點(diǎn)（包括內(nèi)部）的距離是不一樣的，但直覺告訴我們，肯定在氣球上有一點(diǎn)，它到該點(diǎn)的距離是所有距離中最小的。這是凸集的特有性質(zhì)。如果不是凸集，就不會(huì)這樣了，比如一個(gè)平面上對(duì)稱心形的圖形（它不是凸的）外一點(diǎn)，至少可以找到2點(diǎn)，使其到外面那一點(diǎn)的距離最小。凸集-----凸集分離定理14沐風(fēng)書苑凸集分離定理定理2.1.6凸集-----凸集分離定理ylS點(diǎn)與閉凸集的分離定理15沐風(fēng)書苑凸集分離定理應(yīng)用---Farkas引理定理2.1.7凸集-----凸集分離定理應(yīng)用Farkas引理在我們即將學(xué)習(xí)的最優(yōu)性條件中是重要的基礎(chǔ).16沐風(fēng)書苑Farkas引理–

幾何解釋

設(shè)A的第i個(gè)行向量為ai,i=1,2,…,m,則(2.1.4)式有解當(dāng)且僅當(dāng)凸錐{x|Ax≤0}與半空間{x|bTx>0}的交不空.即(2.1.4)式有解當(dāng)且僅當(dāng)存在向量x,它與各ai的夾角鈍角或直角，而與b的夾角為銳角.(2.1.5)式有解當(dāng)且僅當(dāng)b在由a1,a2,…,am所生成的凸錐內(nèi).a2(2.1.4)有解，(2.1.5)無解a1amb凸集-----凸集分離定理應(yīng)用a1a2amb(2.1.4)無解，(2.1.5)有解17沐風(fēng)書苑凸集分離定理應(yīng)用---Gordan定理定理2.1.8凸集-----凸集分離定理應(yīng)用利用Farkas引理可推導(dǎo)下述的Gordan定理和擇一性定理.凸集分離定理應(yīng)用---擇一性定理定理2.1.918沐風(fēng)書苑凸函數(shù)凸函數(shù)(ConvexFunction)----定義2.4設(shè)是非空凸集，若對(duì)任意的及任意的都有：則稱函數(shù)為上的凸函數(shù)．注：將上述定義中的不等式反向，可以得到凹函數(shù)的定義．19沐風(fēng)書苑凸函數(shù)嚴(yán)格凸函數(shù)設(shè)是非空凸集，若對(duì)任意的及任意的都有：則稱函數(shù)為上的凸函數(shù)．注：將上述定義中的不等式反向，可以得到嚴(yán)格凹函數(shù)的定義．20沐風(fēng)書苑凸函數(shù)

對(duì)一元函數(shù)在幾何上表示連接的線段．所以一元凸函數(shù)表示連接函數(shù)圖形上任意兩點(diǎn)的線段總是位于曲線弧的上方．幾何性質(zhì)表示在點(diǎn)處的函數(shù)值．

21沐風(fēng)書苑f(X)Xf(X1)f(X2)

X1X222沐風(fēng)書苑f(X)Xf(X1)f(X2)

X1X2αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)23沐風(fēng)書苑f(X)Xαf(x1)

+(1-α)f(x2)f(X1)f(X2)

X1X2αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)24沐風(fēng)書苑f(X)Xf(X1)f(X2)

X1X2任意兩點(diǎn)的函數(shù)值的連線上的點(diǎn)都在曲線的上方αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)αf(x1)

+(1-α)f(x2)例4.2.125沐風(fēng)書苑(a)凸函數(shù)(b)凹函數(shù)該定義的一個(gè)應(yīng)用——證明不等式例：證明Young不等式推廣：H?lder不等式P412.37證法：在Young不等式中令26沐風(fēng)書苑例：設(shè)試證明在上是嚴(yán)格凸函數(shù)．證明:設(shè)且都有：因此,在上是嚴(yán)格凸函數(shù)．凸函數(shù)27沐風(fēng)書苑例：試證線性函數(shù)是上的凸函數(shù)．證明:設(shè)則故,是凸函數(shù)．類似可以證明也是凹函數(shù).凸函數(shù)28沐風(fēng)書苑凸函數(shù)定理1設(shè)是凸集上的凸函數(shù)充要條件性質(zhì)詹生(Jensen)不等式不等式應(yīng)用:設(shè)，證明:P412.3629沐風(fēng)書苑凸函數(shù)定理2性質(zhì)正線性組合30沐風(fēng)書苑凸函數(shù)定理3設(shè)是凸集上的凸函數(shù)，則對(duì)任意，水平集是凸集．水平集(LevelSet)稱為函數(shù)f在集合S上關(guān)于數(shù)的水平集.注：定理3的逆命題不成立.31沐風(fēng)書苑下面的圖形給出了凸函數(shù)的等值線的圖形，可以看出水平集是凸集.凸函數(shù)32沐風(fēng)書苑凸函數(shù)33沐風(fēng)書苑定理1:設(shè)是定義在凸集上，令則:(1)是定義在凸集是凸集上的凸函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的一元函數(shù)為上的凸函數(shù).(2)設(shè)若在上為嚴(yán)格凸函數(shù)，則在上為嚴(yán)格凸函數(shù)．凸函數(shù)凸函數(shù)的判別定理34沐風(fēng)書苑該定理的幾何意義是：凸函數(shù)上任意兩點(diǎn)之間的部分是一段向下凸的?。购瘮?shù)35沐風(fēng)書苑定理4設(shè)在凸集上可微，則：在上為凸函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的都有：嚴(yán)格凸函數(shù)(充要條件)??凸函數(shù)凸函數(shù)的判別定理---一階條件注：定理4提供了一個(gè)判別可微函數(shù)是否為凸

函數(shù)的依據(jù).36沐風(fēng)書苑凸函數(shù)定理4-----

幾何

解釋一個(gè)可微函數(shù)

是凸函數(shù)當(dāng)且

僅當(dāng)函數(shù)圖形

上任一點(diǎn)處的

切平面位于曲

面的下方.37沐風(fēng)書苑凸函數(shù)定理4-----

幾何

解釋一個(gè)可微函數(shù)

是凸函數(shù)當(dāng)且

僅當(dāng)函數(shù)圖形

上任一點(diǎn)處的

切平面位于曲

面的下方.38沐風(fēng)書苑定理5:設(shè)在開凸集內(nèi)二階可微,則是內(nèi)的凸函數(shù)的充要條件為:對(duì)任意的Hesse矩陣半正定,其中：凸函數(shù)凸函數(shù)的判別定理---二階條件39沐風(fēng)書苑定理2.3.6:設(shè)在開凸集內(nèi)二階可微,若在內(nèi)正定,則在內(nèi)是嚴(yán)格凸函數(shù)．注:反之不成立．例：f(x)是嚴(yán)格凸的，但在點(diǎn)處不是正定的凸函數(shù)凸函數(shù)的判別定理---二階條件40沐風(fēng)書苑例：凸函數(shù)凸函數(shù)的判別定理---二階條件41沐風(fēng)書苑凸規(guī)劃凸規(guī)劃(ConvexProgramming)設(shè)為凸集，為上的凸函數(shù)，則稱規(guī)劃問題為凸規(guī)劃問題．例：為上的凸函數(shù)，為無約束凸規(guī)劃問題．例：凸規(guī)劃42沐風(fēng)書苑凸規(guī)劃例：43沐風(fēng)書苑凸規(guī)劃定理2.4(1)凸規(guī)劃問題的任一局部極小點(diǎn)是全局極小點(diǎn)，且全體極小點(diǎn)的集合為凸集．(2)若是凸集上的嚴(yán)格凸函數(shù)，且凸規(guī)劃問題局部極小點(diǎn)x*存在，則x*是唯一的全局極小點(diǎn)．凸規(guī)劃的基本性質(zhì)44沐風(fēng)書苑定理凸規(guī)劃的任一局部最優(yōu)解都是它的整體最優(yōu)解。證明：設(shè)x*是凸規(guī)劃的一個(gè)局部解，則存在δ>0,使如果x*不是整體最優(yōu)解，則又因?yàn)閒是