基本不等式教學設計

文檔來源網(wǎng)絡，僅供參考，侵權刪除“基本不等式”教學設計一、教學內(nèi)容解析本節(jié)內(nèi)容選自《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修（5）》（人教A版）第三章第四節(jié)第一課時?；静坏仁绞顷P于不等式的證明、求解最值問題的重要工具，在高中數(shù)學知識體系中占有重要的地位。作為本章最后一節(jié)內(nèi)容，基本不等式承前啟后，即為解決最值問題提供了新的依據(jù)和方法，也為后續(xù)內(nèi)容如“直接證明與間接證明”、“均值不等式（推廣）”等知識的學習作好知識儲備。本節(jié)課的學習任務主要是探索幾何背景趙爽弦圖(勾股圓方圖)中所蘊含的不等關系，通過對重要不等式（，當且僅當時取“=”）的變形代換形成對基本不等式（且，當且僅當時取“=”）的初步認識，在此基礎之上引導學生多角度探索基本不等式的證明方法及幾何意義，并在解決簡單的最值問題過程中體會基本不等式的重要作用。教學重點：基本不等式的探究過程及多角度探索基本不等式的證明方法。突出重點的手段：教師在教學過程中要善于捕捉學生情感的興奮點，激發(fā)他們的學習興趣，鼓勵學生大膽猜想，積極探索，以積極的評價，促使他們知難而進。另外，以數(shù)形結合為主導思想選擇知識的切入點，從學生已有的認知水平和知識基礎入手，在以學生為主體的前提下教師給以適當?shù)囊龑?。二、教學目標設置《課程標準》對本節(jié)內(nèi)容的要求是：①探索并了解基本不等式的證明過程；②會用基本不等式解決簡單的最值問題。依據(jù)《課程標準》并結合本節(jié)教學內(nèi)容及學情，將本節(jié)課的教學目標確定為：1.結合趙爽弦圖探究概括基本不等式，直觀理解基本不等式的幾何背景，體會數(shù)形結合的思想方法；2.在多角度探究基本不等式的證明方法的過程中，培養(yǎng)學生的探索精神和邏輯推理能力；3.通過解決簡單的最大（?。┲祮栴}，深化對基本不等式的理解，感受基本不等式在解決實際問題中的作用。三、學生學情分析學生比較熟悉勾股定理、圓的簡單性質、相似三角形的性質等知識，高中階段已經(jīng)學習了基本初等函數(shù)及其性質、不等關系與不等式的性質，學生對不等式有了初步的了解和應用，對數(shù)形結合、轉化與化歸等數(shù)學思想方法有了一定的體會，這為本節(jié)課奠定了思想基礎。但由于學生自身缺乏從幾何背景中發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識和能力，對前后知識間的聯(lián)系、理解、以及綜合運用所學知識上還有欠缺，思維也不夠縝密；尤其在由重要不等式過渡到基本不等式的過程中存在困難，再加上推理論證的要求較高，這就容易導致學生在探究基本不等式的證明過程中思維不開闊，產(chǎn)生膽怯和退縮心理。因此，基本不等式的探究、發(fā)現(xiàn)及證明需要教師的引導（利用不等式的性質，在不等式的兩端加上，看看不等式有什么變化？）。教學難點：多角度探究基本不等式的證明方法突破難點的策略：推理與證明是學生的薄弱方面。教學過程中主要通過設置問題情境，把不等關系與相等關系的轉化作為貫穿始終的線索，啟發(fā)、引導學生開闊思維，促進學生在解決問題的過程中不斷深化對基本不等式的理解。四、教學策略分析本節(jié)課采用引導探究式的課堂教學模式，即在教學過程中，在教師的啟發(fā)引導下，以學生獨立自主、合作交流為前提，以問題為導向設計教學情境，以“不同角度探索基本不等式的證明過程”為基本探究內(nèi)容，為學生提供充分的自由表達、質疑、探究、討論問題的機會，讓學生通過個人、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。為了充分發(fā)揮學生在教學活動中的主體作用，結合教學實際，本節(jié)課將具體落實如下環(huán)節(jié)：（1）在利用趙爽弦圖引入不等式的過程中，請學生課前完成根據(jù)弦圖證明勾股定理的過程，自然引入面積間的相等關系，然后通過觀察弦圖的變化，讓學生以自主探究的方式得出重要不等式及等號成立的條件，說明“當且僅當”的含義；（2）通過代換變形認識基本不等式，進而引導學生多角度探索基本不等式的證明過程，體驗不等式的證明思路與方法，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰退季S能力；（3）在研究基本不等式幾何背景的過程中，引導探究得出基本不等式的幾何解釋即“同圓中，半徑不小于半弦”，深化理解基本不等式。五、教學過程（一）創(chuàng)設情境，提出問題每四年一屆的ICM（InternationalCongressofMathematicians）被譽為國際數(shù)學界的奧林匹克盛會。第24屆國際數(shù)學家大會于2002年8月在北京舉行。右圖是以我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖（勾股圓方圖）為背景設計的大會會標，弦圖顏色明暗的區(qū)別使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。仔細觀察，你能從這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？設計意圖：簡要介紹基本不等式產(chǎn)生的背景，讓學生對本節(jié)內(nèi)容有一個整體的認識，同時對這節(jié)課的學習起到有效性,啟發(fā)性和鋪墊性的作用。通過實際的問題情境，激發(fā)學生的興趣和好奇心。（二）啟發(fā)引導，形成結論探究一：你能在這張“弦圖”中能找出一些相等關系或不等關系嗎？設計意圖：這個問題具有很強的開放性，期望學生借助幾何背景獲取重要不等式的直觀認識，從而引入新課。師生活動：學生可能提供以下多個答案，引導學生向重要不等式靠攏。相等關系：不等關系：①線段長度方面：；②面積方面：.問題1：等號成立的條件是什么?為什么？問題2：上述不等式中的范圍是什么？設計意圖：啟發(fā)學生得到重要不等式等號成立的條件，滲透數(shù)形結合的思想，同時也能促進學生形成對學習過程進行反思的意識和習慣。問題3：你能給出它的證明嗎？（證明過程學生自己獨立完成）預設：學生容易想到作差比較法。利用實物投影儀展示學生的成果，目的是訓練學生嚴謹?shù)臄?shù)學思維，同時使學生有成就感。“分析法”學生主要的問題是表達不規(guī)范，教師引導完善并強調(diào)邏輯推理的規(guī)范要求。設計意圖:從不同角度證明不等式，加深對重要不等式的理解。結論1：一般地，對于任意實數(shù)，總有當且僅當時，等號成立。問題4：對兩端加上，形式上有什么變化？引導學生利用不等式的性質解決上述問題。思考：當滿足什么條件時，上述不等式兩邊可以開方？師生活動：引導學生分類討論結論2：一般地，對于任意正實數(shù)，總有當且僅當時，等號成立。我們常把叫做兩個正數(shù)的算術平均數(shù)，叫做兩個正數(shù)的幾何平均數(shù).基本不等式（又稱均值不等式）還可以敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).設計意圖:設置這一問題，利用已有知識將重要不等式過渡到均值不等式。引導學生在解決問題的過程中遇到了絕對值不等式，進行分類討論，這樣加深了學生對均值不等式的理解。問題5：你能給出結論2的證明嗎？預設：①若學生想到了比較法證明，讓學生獨立完成。其目的是培養(yǎng)學生運用轉化的數(shù)學思想解決新問題；②若學生想到了換元法，教師要引導學生注意的條件；③若學生想到了分析法的證明思路，在這里不易做過高的要求，讓學生能順利的完成教材上的填空即可，也為選修2-2中直接證明和間接證明中的有關不等式證明的問題作好準備。并且用實物投影儀展示他們的成果；④若學生想到了用幾何方法證明，教師利用幾何畫板現(xiàn)場模擬；⑤若有學生沒有思路，教師可引導學生回想前面重要不等式的證明過程。（三）直觀感受，討論探究探究二：如圖，作線段，取線段的中點為，以為直徑作圓，過點作的垂線，交圓于，連接.（幾何畫板演示操作過程）你能結合圖示，指出長度與及對應的線段嗎？②在線段上拖動點的位置（幾何畫板演示），你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？生1：在直角三角形中，斜邊大于直角邊；生2：在直角三角形中，斜邊上的中線不小于斜邊的高；生3：在圓中，半徑不小于半弦.學生比較容易找到與相對應的線段，但對在圖中所表示的幾何意義理解存在困難。教師可結合相似三角形的性質作適當?shù)囊龑?。設計意圖：該環(huán)節(jié)既是本節(jié)課的重點，也是難點。由于學生數(shù)形結合的意識和能力不足，對所表示的線段理解有較大的困難。為了化解這一難點，教學中將探究問題進行合理分解，結合動態(tài)演示，引導學生觀察、歸納，得到基本不等式（均值不等式）的幾何解釋是:半徑不小于半弦。另外，通過動態(tài)演示（幾何畫板），直觀體會與基本不等式有關的一類最值問題的主要特點是：和定積最大，積定和最小。（四）自我嘗試，運用定理設計意圖：初步學會利用基本不等式進行推理、證明，這有利于培養(yǎng)學生思維的嚴謹性和靈活性，同時為后續(xù)學習奠定基礎。例2.學校用籬笆圍一個面積為36平方米的矩形花圃，問這個矩形花圃的長、寬分別為多少時，所用的籬笆最短，最短籬笆是多長？變式：一段長為36米的籬笆圍成一個矩形花圃，問這個矩形花圃的長、寬分別為多少時，花圃的面積最大，最大面積是多少？設計意圖：強化基本不等式的應用，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力。練習：已知，求函數(shù)的最小值.變式：已知，求函數(shù)的最小值.設計意圖：對新知識的理解是一個不斷深化完善的過程，設置一組簡單的最值問題，其意圖是學以致用，并強調(diào)代數(shù)式的結構特點，讓學生領會最值成立的條件。（五）課堂小結請同學們回顧一下本節(jié)課所學習的主要內(nèi)容。（學生發(fā)言，互相補充，并引導學生強調(diào)指出本節(jié)課所用到的數(shù)學思想與方法，如換元法、數(shù)形結合思想等）設計意圖：引導學生從知識內(nèi)容和數(shù)學思想方法兩個層面提煉概括對基本不等式的探究過程，使學生對本節(jié)內(nèi)容有一個更加全面、深刻的認識。（六）布置作業(yè)1．課堂作業(yè)：P100A.1,2,32．課后探究：探究1.“換元法”是推導均值不等式的基本方法之一，類比這一過程，你能寫出與均值不等式有關的一些變形結論嗎？探究2.以“均值不等式的幾何解釋”為主題，查閱資料，相互交流。設計意圖：課堂作業(yè)以鞏固為主，促進學生在理解的基礎上應用基本不