基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

文檔來源網(wǎng)絡(luò)，僅供參考，侵權(quán)刪除“基本不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)內(nèi)容選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修（5）》（人教A版）第三章第四節(jié)第一課時(shí)?；静坏仁绞顷P(guān)于不等式的證明、求解最值問題的重要工具，在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中占有重要的地位。作為本章最后一節(jié)內(nèi)容，基本不等式承前啟后，即為解決最值問題提供了新的依據(jù)和方法，也為后續(xù)內(nèi)容如“直接證明與間接證明”、“均值不等式（推廣）”等知識(shí)的學(xué)習(xí)作好知識(shí)儲(chǔ)備。本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)主要是探索幾何背景趙爽弦圖(勾股圓方圖)中所蘊(yùn)含的不等關(guān)系，通過對(duì)重要不等式（，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）的變形代換形成對(duì)基本不等式（且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）的初步認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)之上引導(dǎo)學(xué)生多角度探索基本不等式的證明方法及幾何意義，并在解決簡單的最值問題過程中體會(huì)基本不等式的重要作用。教學(xué)重點(diǎn)：基本不等式的探究過程及多角度探索基本不等式的證明方法。突出重點(diǎn)的手段：教師在教學(xué)過程中要善于捕捉學(xué)生情感的興奮點(diǎn)，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，積極探索，以積極的評(píng)價(jià)，促使他們知難而進(jìn)。另外，以數(shù)形結(jié)合為主導(dǎo)思想選擇知識(shí)的切入點(diǎn)，從學(xué)生已有的認(rèn)知水平和知識(shí)基礎(chǔ)入手，在以學(xué)生為主體的前提下教師給以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)本節(jié)內(nèi)容的要求是：①探索并了解基本不等式的證明過程；②會(huì)用基本不等式解決簡單的最值問題。依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》并結(jié)合本節(jié)教學(xué)內(nèi)容及學(xué)情，將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：1.結(jié)合趙爽弦圖探究概括基本不等式，直觀理解基本不等式的幾何背景，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法；2.在多角度探究基本不等式的證明方法的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和邏輯推理能力；3.通過解決簡單的最大（?。┲祮栴}，深化對(duì)基本不等式的理解，感受基本不等式在解決實(shí)際問題中的作用。三、學(xué)生學(xué)情分析學(xué)生比較熟悉勾股定理、圓的簡單性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，高中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了基本初等函數(shù)及其性質(zhì)、不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)，學(xué)生對(duì)不等式有了初步的了解和應(yīng)用，對(duì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法有了一定的體會(huì)，這為本節(jié)課奠定了思想基礎(chǔ)。但由于學(xué)生自身缺乏從幾何背景中發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識(shí)和能力，對(duì)前后知識(shí)間的聯(lián)系、理解、以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)上還有欠缺，思維也不夠縝密；尤其在由重要不等式過渡到基本不等式的過程中存在困難，再加上推理論證的要求較高，這就容易導(dǎo)致學(xué)生在探究基本不等式的證明過程中思維不開闊，產(chǎn)生膽怯和退縮心理。因此，基本不等式的探究、發(fā)現(xiàn)及證明需要教師的引導(dǎo)（利用不等式的性質(zhì)，在不等式的兩端加上，看看不等式有什么變化？）。教學(xué)難點(diǎn)：多角度探究基本不等式的證明方法突破難點(diǎn)的策略：推理與證明是學(xué)生的薄弱方面。教學(xué)過程中主要通過設(shè)置問題情境，把不等關(guān)系與相等關(guān)系的轉(zhuǎn)化作為貫穿始終的線索，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生開闊思維，促進(jìn)學(xué)生在解決問題的過程中不斷深化對(duì)基本不等式的理解。四、教學(xué)策略分析本節(jié)課采用引導(dǎo)探究式的課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主、合作交流為前提，以問題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，以“不同角度探索基本不等式的證明過程”為基本探究內(nèi)容，為學(xué)生提供充分的自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過個(gè)人、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，在知識(shí)的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。為了充分發(fā)揮學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中的主體作用，結(jié)合教學(xué)實(shí)際，本節(jié)課將具體落實(shí)如下環(huán)節(jié)：（1）在利用趙爽弦圖引入不等式的過程中，請(qǐng)學(xué)生課前完成根據(jù)弦圖證明勾股定理的過程，自然引入面積間的相等關(guān)系，然后通過觀察弦圖的變化，讓學(xué)生以自主探究的方式得出重要不等式及等號(hào)成立的條件，說明“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義；（2）通過代換變形認(rèn)識(shí)基本不等式，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生多角度探索基本不等式的證明過程，體驗(yàn)不等式的證明思路與方法，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰退季S能力；（3）在研究基本不等式幾何背景的過程中，引導(dǎo)探究得出基本不等式的幾何解釋即“同圓中，半徑不小于半弦”，深化理解基本不等式。五、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題每四年一屆的ICM（InternationalCongressofMathematicians）被譽(yù)為國際數(shù)學(xué)界的奧林匹克盛會(huì)。第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)于2002年8月在北京舉行。右圖是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖（勾股圓方圖）為背景設(shè)計(jì)的大會(huì)會(huì)標(biāo)，弦圖顏色明暗的區(qū)別使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。仔細(xì)觀察，你能從這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？設(shè)計(jì)意圖：簡要介紹基本不等式產(chǎn)生的背景，讓學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，同時(shí)對(duì)這節(jié)課的學(xué)習(xí)起到有效性,啟發(fā)性和鋪墊性的作用。通過實(shí)際的問題情境，激發(fā)學(xué)生的興趣和好奇心。（二）啟發(fā)引導(dǎo)，形成結(jié)論探究一：你能在這張“弦圖”中能找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)問題具有很強(qiáng)的開放性，期望學(xué)生借助幾何背景獲取重要不等式的直觀認(rèn)識(shí)，從而引入新課。師生活動(dòng)：學(xué)生可能提供以下多個(gè)答案，引導(dǎo)學(xué)生向重要不等式靠攏。相等關(guān)系：不等關(guān)系：①線段長度方面：；②面積方面：.問題1：等號(hào)成立的條件是什么?為什么？問題2：上述不等式中的范圍是什么？設(shè)計(jì)意圖：啟發(fā)學(xué)生得到重要不等式等號(hào)成立的條件，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，同時(shí)也能促進(jìn)學(xué)生形成對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思的意識(shí)和習(xí)慣。問題3：你能給出它的證明嗎？（證明過程學(xué)生自己獨(dú)立完成）預(yù)設(shè)：學(xué)生容易想到作差比較法。利用實(shí)物投影儀展示學(xué)生的成果，目的是訓(xùn)練學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，同時(shí)使學(xué)生有成就感?！胺治龇ā睂W(xué)生主要的問題是表達(dá)不規(guī)范，教師引導(dǎo)完善并強(qiáng)調(diào)邏輯推理的規(guī)范要求。設(shè)計(jì)意圖:從不同角度證明不等式，加深對(duì)重要不等式的理解。結(jié)論1：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，總有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。問題4：對(duì)兩端加上，形式上有什么變化？引導(dǎo)學(xué)生利用不等式的性質(zhì)解決上述問題。思考：當(dāng)滿足什么條件時(shí)，上述不等式兩邊可以開方？師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生分類討論結(jié)論2：一般地，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，總有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。我們常把叫做兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù).基本不等式（又稱均值不等式）還可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).設(shè)計(jì)意圖:設(shè)置這一問題，利用已有知識(shí)將重要不等式過渡到均值不等式。引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中遇到了絕對(duì)值不等式，進(jìn)行分類討論，這樣加深了學(xué)生對(duì)均值不等式的理解。問題5：你能給出結(jié)論2的證明嗎？預(yù)設(shè)：①若學(xué)生想到了比較法證明，讓學(xué)生獨(dú)立完成。其目的是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解決新問題；②若學(xué)生想到了換元法，教師要引導(dǎo)學(xué)生注意的條件；③若學(xué)生想到了分析法的證明思路，在這里不易做過高的要求，讓學(xué)生能順利的完成教材上的填空即可，也為選修2-2中直接證明和間接證明中的有關(guān)不等式證明的問題作好準(zhǔn)備。并且用實(shí)物投影儀展示他們的成果；④若學(xué)生想到了用幾何方法證明，教師利用幾何畫板現(xiàn)場模擬；⑤若有學(xué)生沒有思路，教師可引導(dǎo)學(xué)生回想前面重要不等式的證明過程。（三）直觀感受，討論探究探究二：如圖，作線段，取線段的中點(diǎn)為，以為直徑作圓，過點(diǎn)作的垂線，交圓于，連接.（幾何畫板演示操作過程）你能結(jié)合圖示，指出長度與及對(duì)應(yīng)的線段嗎？②在線段上拖動(dòng)點(diǎn)的位置（幾何畫板演示），你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？生1：在直角三角形中，斜邊大于直角邊；生2：在直角三角形中，斜邊上的中線不小于斜邊的高；生3：在圓中，半徑不小于半弦.學(xué)生比較容易找到與相對(duì)應(yīng)的線段，但對(duì)在圖中所表示的幾何意義理解存在困難。教師可結(jié)合相似三角形的性質(zhì)作適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。設(shè)計(jì)意圖：該環(huán)節(jié)既是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。由于學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)和能力不足，對(duì)所表示的線段理解有較大的困難。為了化解這一難點(diǎn)，教學(xué)中將探究問題進(jìn)行合理分解，結(jié)合動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納，得到基本不等式（均值不等式）的幾何解釋是:半徑不小于半弦。另外，通過動(dòng)態(tài)演示（幾何畫板），直觀體會(huì)與基本不等式有關(guān)的一類最值問題的主要特點(diǎn)是：和定積最大，積定和最小。（四）自我嘗試，運(yùn)用定理設(shè)計(jì)意圖：初步學(xué)會(huì)利用基本不等式進(jìn)行推理、證明，這有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性，同時(shí)為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。例2.學(xué)校用籬笆圍一個(gè)面積為36平方米的矩形花圃，問這個(gè)矩形花圃的長、寬分別為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短籬笆是多長？變式：一段長為36米的籬笆圍成一個(gè)矩形花圃，問這個(gè)矩形花圃的長、寬分別為多少時(shí)，花圃的面積最大，最大面積是多少？設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)化基本不等式的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。練習(xí)：已知，求函數(shù)的最小值.變式：已知，求函數(shù)的最小值.設(shè)計(jì)意圖：對(duì)新知識(shí)的理解是一個(gè)不斷深化完善的過程，設(shè)置一組簡單的最值問題，其意圖是學(xué)以致用，并強(qiáng)調(diào)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)最值成立的條件。（五）課堂小結(jié)請(qǐng)同學(xué)們回顧一下本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。（學(xué)生發(fā)言，互相補(bǔ)充，并引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)調(diào)指出本節(jié)課所用到的數(shù)學(xué)思想與方法，如換元法、數(shù)形結(jié)合思想等）設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)內(nèi)容和數(shù)學(xué)思想方法兩個(gè)層面提煉概括對(duì)基本不等式的探究過程，使學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容有一個(gè)更加全面、深刻的認(rèn)識(shí)。（六）布置作業(yè)1．課堂作業(yè)：P100A.1,2,32．課后探究：探究1.“換元法”是推導(dǎo)均值不等式的基本方法之一，類比這一過程，你能寫出與均值不等式有關(guān)的一些變形結(jié)論嗎？探究2.以“均值不等式的幾何解釋”為主題，查閱資料，相互交流。設(shè)計(jì)意圖：課堂作業(yè)以鞏固為主，促進(jìn)學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上應(yīng)用基本不