第五章 風(fēng)險(xiǎn)衡量

第五章風(fēng)險(xiǎn)衡量考核要求（一）損失數(shù)據(jù)的收集與整理1.領(lǐng)會(huì)：收集損失數(shù)據(jù)的要求。2.應(yīng)用：（1）數(shù)據(jù)分組；（2）數(shù)據(jù)頻數(shù)；（3）累計(jì)頻數(shù)分布。（二）損失數(shù)據(jù)的描述應(yīng)用：（1）全距中值；（2）眾數(shù)；（3）中位數(shù)；（4）全距；（5）平均絕對(duì)差；（5）變異系數(shù)。（三）風(fēng)險(xiǎn)衡量領(lǐng)會(huì)：（1）損失概率的涵義；（2）最大可能損失、最大預(yù)期損失及其關(guān)系；（3）年度最大可能損失、年度最大預(yù)期損失。（四）年度損失次數(shù)估測(cè)領(lǐng)會(huì)：用二項(xiàng)分布估測(cè)。應(yīng)用：用泊松分布估測(cè)。（五）一次事故損失額估測(cè)領(lǐng)會(huì)：用對(duì)數(shù)正態(tài)分布估測(cè)量。應(yīng)用：用正態(tài)分布估測(cè)算。（六）年總額損失估測(cè)領(lǐng)會(huì)：遭受特定損失額的概率估算應(yīng)用：（1）年平均損失額估測(cè)；（2）年最大預(yù)期損失之估算。第一節(jié)損失資料的收集與整理一、損失資料的收集1.完整性2.一致性3.相關(guān)性4.系統(tǒng)性二、損失資料的整理

5-1汽車(chē)公司事故損失金額3.119.212.91.28.86.64.66.714.010.53.317.021.32.213.21.17.26.81.912.510.915.322.52.318.14.117.78.19.111.80.34.00.97.95.05-2汽車(chē)公司每次事故損失0.34.19.117.70.94.610.518.11.15.010.919.21.26.611.821.31.96.712.522.52.26.812.92.37.213.23.17.914.03.38.115.34.08.817.0分組:0.25—4.75頻數(shù)12;4.75—9.25 頻數(shù)9;9.25—13.75 頻數(shù)6;13.75—18.25頻數(shù)5;18.25—22.75 頻數(shù)30.34.19.19次17.70.94.612次10.518.15次1.15.010.919.21.26.611.821.31.96.712.522.53次2.26.812.92.37.213.26次3.17.914.03.38.115.34.08.817.0（一）資料分組分5組,組距4.50.25—4.75;4.75—9.25;9.25—13.75;13.75—18.25;18.25—22.75（二）頻數(shù)分布

5—3汽車(chē)公司頻數(shù)分布組號(hào)分組頻數(shù)頻率組中距10.25—4.751234.32.524.75—9.25925.77.0039.25—13.75617.111.5413.75—18.25514.316518.25—22.7538.620.5合計(jì)35100（三）累積頻數(shù)分布

5-4汽車(chē)公司累積頻數(shù)分布組號(hào)分組頻數(shù)累積頻數(shù)10.25—4.75121224.75—9.25921=12+939.25—13.75627=21+6413.75—18.25532=27+5518.25—22.75335=32+5第二節(jié)損損失資料的的描述一一、損失資資料的圖形形描述（一）條形形圖

5-5保險(xiǎn)公公司收入賠賠付年度保險(xiǎn)費(fèi)賠款賠付率1986103….52….0.501987134….……0.541988195….……0.511989154….……0.741990197….……0.571991235….……0.621992243….……0.67103198650%104198754%195198851%154198974%197199057%235199162%242198667%5-6火災(zāi)災(zāi)統(tǒng)計(jì)原因吸煙縱火不明原因高熱設(shè)備烹調(diào)設(shè)備電路老化機(jī)器設(shè)備其他燃燒爆炸其他次數(shù)3616108777422吸煙36縱火16不明原因10高熱設(shè)備8烹調(diào)設(shè)備7電路老化7機(jī)器設(shè)備7其他燃燒4爆炸2其他2（二）圓形形圖5—7駕駛駛員事故統(tǒng)統(tǒng)計(jì)致命車(chē)禍百分比男性3670094女性23006總數(shù)39000100女6%男94%（三）直方方圖5—8某保保險(xiǎn)公司賠款額(千元)賠款次數(shù)0—424—8248—123212—162116—201020—24624—28328—32132—361>360總計(jì)100（四）頻數(shù)數(shù)多邊形二、損失資資料的數(shù)字字描述（一）位置置數(shù)量1.全距中中值:是樣本中最最小觀察值值與最大觀觀察值的中中心數(shù)值最小觀察值值+最大觀觀察值全距中值=22.眾數(shù)14，19，16，，21，18，19，24，15，196，7，7，3，8，5，3，9（兩個(gè)個(gè)眾數(shù)）3.中位位數(shù)表5-44.75+(17.5—12)/9X4.5=7.54.算術(shù)術(shù)平均算術(shù)平均=觀察值總總數(shù)/觀觀察項(xiàng)數(shù)數(shù)(個(gè)數(shù))=(X1+X2+……+Xn)/nn=∑Xi/ni=1表5-9分分組平均均數(shù)

X=∑fimi/∑∑fi=303.5/35=8.67組號(hào)分組組中距mi頻數(shù)fifimi10.25—4.752.5123024.75—9.257.0096339.25—13.7511.5669413.75—18.2516580518.25—22.7520.5361.5合計(jì)35303.5（二）變異異數(shù)量1.全距距等于最大觀觀察值與最最小觀察值值之差。2.平均均絕對(duì)差平均絕對(duì)差差指的是絕絕對(duì)差的簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的算術(shù)術(shù)平均數(shù)M.A.D=∑︱Xi--X︱/n表5-10絕對(duì)平均均繼前面面X=67

M.A.D=∑︱Xi--X︱︱/n=70/8=8.75XiXi--X︱Xi--X︱52--151553--141461--66670071447255781111821515∑70表5-11平均絕對(duì)對(duì)差計(jì)算M.A.D=178.19/35=5.091組號(hào)分組頻數(shù)fi組中距mi︱Mi--X︱fi︱Mi--X︱10.25—4.75122.56.173024.75—9.2597.001.676339.25—13.75611.52.8369413.75—18.255167.3380518.25—22.75320.511.8361.5合計(jì)35303.53.方方差與標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差每個(gè)離差的的平方和再再被n-1除就是方方差n未分組的方方差：S2=∑(xi—X)2/(n—1)i=1n標(biāo)準(zhǔn)差：S=√∑(xi—X)2/(n—1)i=1n分組的方差：：S2=(∑xi2—nX2)/(n—1)i=1nS=√(∑xi2—nX2)/(n—1)i=14.變異系系數(shù)v=s/x表5-12方方差標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差計(jì)算X=∑X/n=536/8=67序號(hào)XiXi--X(Xi—X)2152-15225253-14196361-636467005714166725257781112188215225∑536844表5-13方方差標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差計(jì)算X=∑mifi/∑fi=303.5/35=8.67S2=∑(xi-x)2fi/(n-1)=1218.47/34=35.84S=5.99組別mifimifixi-x(xi-x)2(xi-x)2fi12.51230-6.1738.07456.8327963--1.672.7925.10311.56692.838.0048.054145807.3353.73268.64520.5361.511.83139.95419.85∑35303.51218.47表5-14變異系數(shù)v=s/xB＞AC＞A保險(xiǎn)公司19X119X219X319X419X519X619X719X8XSA211921202.88B172020203.51C242826255.01補(bǔ)充計(jì)算題計(jì)計(jì)算以下分分組資料的變變異系數(shù)組別分組頻數(shù)fi111.2~14.22214.2~17.215317.2~20.27補(bǔ)充計(jì)算題:計(jì)算以下分分組資料的變變異系數(shù)解解:＝16.325第三節(jié)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)衡量指標(biāo)一、損失概率率（一）損失概概率的含義損失概率:損失發(fā)生的可可能性稱(chēng)之為為損失概率，，損失程序表征征損失的嚴(yán)重重性，在風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)衡量中通過(guò)過(guò)以下?lián)p失期期望值、損失失幅度兩個(gè)指指標(biāo)反映:損失期望值(后面展開(kāi))損失幅度(后面展開(kāi))（二）損失概概率在風(fēng)險(xiǎn)衡衡量中的兩種種說(shuō)法1.時(shí)間性性說(shuō)法2.空間性性說(shuō)法二、損失期望望值未來(lái)某一時(shí)期期內(nèi)預(yù)期的損損失平均值。。三、損失幅度度指一量損失發(fā)發(fā)生，可能形形成的最大損損失第四節(jié)損失失概率與損失失程度的估計(jì)計(jì)一、每年損失失事故發(fā)生的的次數(shù)（一）用二項(xiàng)項(xiàng)分布估算損損失次數(shù)應(yīng)用此模型的的基本條件：：1、有n個(gè)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)單位均遭遭到同一風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)事故的威脅脅2、每一個(gè)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)單位在一一年中是否發(fā)發(fā)生此風(fēng)險(xiǎn)事事故是一個(gè)隨隨機(jī)事件3、風(fēng)險(xiǎn)單位位對(duì)該風(fēng)險(xiǎn)的的結(jié)果只有兩兩個(gè)：發(fā)生與與不發(fā)生（1,0）約束束條件：(1)每個(gè)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)單位發(fā)生生該風(fēng)險(xiǎn)事故故的概率都相相同(2)任一個(gè)個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位發(fā)發(fā)生風(fēng)險(xiǎn)事故故都不會(huì)影響響其他風(fēng)險(xiǎn)單單位發(fā)生同樣樣事故的概率率（獨(dú)立性））(3)同一個(gè)個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位在在一年中發(fā)生生二次以上的的事故可能性性極小，可以以認(rèn)為這一概概率為零概率率P｛X=K｝｝=〔nK〕pKqn-kP｛X≧2｝｝=P｛X=2｝+P｛X=3｝+……+P｛X=n｝nn=∑P｛X=i｝｝=∑〔ni〕piqn-ii=2i=2例5-1：5家工廠(chǎng)，，火災(zāi)概率0.1,估算算幾家遭受火火災(zāi)P｛X=K｝｝=〔5K〕0.1K0.95-kk=0,1,…,5發(fā)生概率見(jiàn)課課本P133表5-15(本課件下一一頁(yè))下一年將有EX=np=5X0.1=0.5(次次)估算0.5家家遭受火災(zāi)標(biāo)準(zhǔn)差:√Var=√npq=√√5X0.1X0.9=0.671課本P133表5-15發(fā)生火災(zāi)工廠(chǎng)數(shù)X=K概率0〔50〕0.100.95=0.59501〔51〕0.110.94=0.32812〔52〕0.120.93=0.07293〔53〕0.130.92=0.00814〔54〕0.140.91=0.00055〔55〕0.150.90=0.0000例：一家公司司把成品運(yùn)到到顧客手中，，該公司面臨臨的風(fēng)險(xiǎn)是：：運(yùn)輸過(guò)程中中產(chǎn)品可能受受損。產(chǎn)品一一旦受損就認(rèn)認(rèn)為是全部損損失，而且每每個(gè)產(chǎn)品受損損的概率均為為0.1，在在這種情況下下我們可以用用二項(xiàng)分布來(lái)來(lái)描述產(chǎn)品損損失的個(gè)數(shù)。。如果考慮的的總體值包括括兩個(gè)產(chǎn)品，，那么n=2，p=0.1?？赡艿牡膿p失數(shù)量為為0，1和2，它們的概概率可以直接接計(jì)算出來(lái)：：損失0個(gè)產(chǎn)品品的概率=損失1個(gè)產(chǎn)品品的概率=損失2個(gè)產(chǎn)品品的概率=對(duì)于二項(xiàng)分布布，損失個(gè)數(shù)數(shù)的期望值是是np，標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差是（二）用泊松松分布估測(cè)損損失次數(shù)用泊松分布估估測(cè)損失次數(shù)數(shù)：充有眾多風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)單位，每年年估計(jì)平均有有個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單單位發(fā)生事故故，每一風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)單位發(fā)生事事故的概率相相同，則一年年中發(fā)生致?lián)p損事故數(shù)X為為一服從參數(shù)數(shù)為的泊松松頒，分布律為：該該分布的期望望與標(biāo)準(zhǔn)差分分別為和。。泊松分布布常見(jiàn)于稠密密性的問(wèn)題，，風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)數(shù)不少于50，所有單位位遭受損失的的概率都相同同并小于0.1泊松分布，是是一種離散分分布，用于描描述事件發(fā)生生的次數(shù)。它它是一種單參參數(shù)分布，這這個(gè)參數(shù)就是是概率分布的的期望值。其其計(jì)算公式是是：K=0,1,2,……k事件的概率率P｛X=K｝=λke-λ/k！例5-2:5輛車(chē)的的車(chē)隊(duì),兩年年一次事故,求分布解:X為次數(shù)數(shù),服從λ=0.5的泊泊松分布,概概率分布見(jiàn)課課本P134表5—16(本課件下一一頁(yè))期望EX=λ=0.5,標(biāo)準(zhǔn)差=√λ=0.707無(wú)碰車(chē)P｛X=0｝=0.6065,多于三次P｛X＞3｝=1-P｛X=0｝-P｛X=1｝-P｛X=2｝-P｛X=3｝=1-0.6065-0.3033-0.0758-0.0126=0.0018多于一次P｛X＞1｝=1-P｛X=0｝-P｛X=1｝=1-0.6065-0.3033=0.0902課本P134表5-16撞車(chē)次數(shù)X=K概率00.50e-0.5/0！=0.606510.51e-0.5/1！=0.303320.52e-0.5/2！=0.075830.53e-0.5/3！=0.012640.54e-0.5/4！=0.001650.55e-0.5/5！=0.000260.56e-0.5/6！=0.0000二、每次事故故的損失金額額（一）用正態(tài)態(tài)分布估算損損失額正態(tài)分布，是是一個(gè)雙參數(shù)數(shù)分布，一旦旦知道正態(tài)分分布的期望值值和標(biāo)準(zhǔn)差，，那么我們就就能給出任意意一個(gè)值所對(duì)對(duì)應(yīng)的概率。。下表是正態(tài)態(tài)分布的一部部分。用正態(tài)分布估估測(cè)損失額（（首選辦法））正態(tài)分布的的用處：1估測(cè)損失額額落在某區(qū)間間上的概率2損失額超過(guò)過(guò)某一數(shù)值時(shí)時(shí)的概率求：：(1)期望損損失即算術(shù)平平均數(shù)；(2)損失額額落在什么區(qū)區(qū)間內(nèi)的概率率為%；(3)損失額額大于的概概率有多大？？損失金額落落在區(qū)間概率率規(guī)律：（期期望值或平均均數(shù)—n倍標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差，期望望值或平均數(shù)數(shù)+n倍標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差）1)落在區(qū)區(qū)間一倍標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差內(nèi)（）），概率為68%；2)落在區(qū)區(qū)間二倍標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差內(nèi)（）），概率為95%；3)落在區(qū)區(qū)間三倍標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差內(nèi)（）），概率為99.7%；；（二）用對(duì)對(duì)數(shù)畫(huà)龍點(diǎn)睛睛態(tài)分布估測(cè)測(cè)損失值（略略）例5-3:課課本P135表5-17組別分組頻數(shù)頻率15-2540.0476225-4580.0952345-65140.1667465-85190.2262585-105210.25006105-125100.11907125-14550.05958145-16530.0357∑840.9999例5-3:課課本P136表5-18組別組中值mi頻數(shù)fimifimi2mi2fi115X460225900235X8280122598008155X34652402572075∑846820644900例5-3:課課本P1351.88x=∑fimi/∑fi=6820/84=81.19i=1i=1n2.S=√√(∑mi2fi—nX2)/(n—1)i=1=√〔64490-84(81.19)2〕/83=33.14根據(jù)正態(tài)分布布,落在(81.19-33.14X2,81.19+33.14X2),即(14.91,147.47)的概率為為95%(3)P｛X＞100｝=P｛(X-81.19)/33.14＞(100-81.19)/33.14｝=P｛(X-81.19)/33.14＞0.57｝=1-?(0.57)=0.7157即P｛X＞100｝=1-0.7157=0.2843（二）用對(duì)數(shù)正態(tài)分布估測(cè)測(cè)損失值P｛X＞7｝=1-?(㏑7-X)/S=1-?(㏑7-1.39)/0.46=1-?(1.21)=1-0.8869=0.1131三、每年的總總損失金額每年的總損失失金額這要解解決三個(gè)基本本問(wèn)題：1年平均損失失多少？2企業(yè)遭受特特定損失金額額的概率3“嚴(yán)重?fù)p失失”將發(fā)生的的概率。（一）年平均均損失的估測(cè)測(cè)7∑XiPi=0X0.606+500X0.273i=1+……+20000X0.001=321.5元表5-21XiPi00.6065000.27310000.10020000.01550000.003100000.002200000.001總計(jì)1.000表5-22特特定損失XiPi5000.39410000.12120000.02150000.006100000.003200000.001（二二））遭遭受受特特定定損損失失金金額額的的概概率率P｛X≥≥500｝｝=P｛X=500｝｝+P｛X=1000｝｝+…………+P｛X=20000｝｝=0