決策技術(shù)與方法-第三章

決策分析技術(shù)與方法北京科技大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院武森北京科技大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院2目錄第一章決策科學(xué)概述第二章確定型、風(fēng)險型和不確定型決策第三章模糊決策第四章灰色系統(tǒng)預(yù)測與決策第五章可拓決策第六章其他決策分析方法北京科技大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院33.3

模糊集合的運算3.2

模糊集合與隸屬函數(shù)第三章模糊決策3.1

模糊數(shù)學(xué)與信息革命3.4

模糊集合與普通集合的相互轉(zhuǎn)化3.5

模糊聚類分析3.6

模糊綜合評判決策北京科技大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院43.1模糊數(shù)學(xué)與信息革命

一、模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展

模糊數(shù)學(xué)是研究模糊領(lǐng)域中事物數(shù)學(xué)化的一門嶄新的數(shù)學(xué)學(xué)科。它始于1965年美國著名控制論專家扎德（）教授的開創(chuàng)性論文“模糊集合”（fuzzysets）。 在現(xiàn)實世界中，有些事物之間的關(guān)系是確定的，但有些是不確定的，而在不確定中又有隨機的和模糊的。事物的精確性、隨機性和模糊性這三者是普遍存在的。北京科技大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院53.1模糊數(shù)學(xué)與信息革命

一、模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展

大量的模糊現(xiàn)象使經(jīng)典數(shù)學(xué)方法顯得無能為力，而模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展則為研究這些模糊現(xiàn)象提供了有利的數(shù)學(xué)工具。 經(jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)可歸結(jié)為集合論。根據(jù)集合論的要求，一個元素x是否屬于集合A是明確的，無法處理實踐中大量的不明確的模糊現(xiàn)象與概念。北京科技大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院63.1模糊數(shù)學(xué)與信息革命

二、模糊數(shù)學(xué)對決策科學(xué)的貢獻

利用模糊數(shù)學(xué)構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，來編制計算機程序與信息決策模型，可以更廣泛、更深入的模擬人的思維與全方位深入挖掘各種決策信息，從而可以大大提高電子計算機的“智力”與信息決策的科學(xué)性、準(zhǔn)確性。 模糊數(shù)學(xué)的主要貢獻在于，它將模糊性與數(shù)學(xué)統(tǒng)一在一起。它的方法不是讓數(shù)學(xué)放棄嚴(yán)格性去遷就模糊性，而是要將數(shù)學(xué)方法深入到具有模糊現(xiàn)象的禁區(qū)，從而為解決一些復(fù)雜大系統(tǒng)涉及模糊因素的科學(xué)決策問題開辟了一條新路。北京科技大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院73.3

模糊集合的運算3.2

模糊集合與隸屬函數(shù)第三章模糊決策3.1

模糊數(shù)學(xué)與信息革命3.4

模糊集合與普通集合的相互轉(zhuǎn)化3.5

模糊聚類分析3.6

模糊綜合評判決策北京科技大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院8一、模糊現(xiàn)象與模糊集合例1

設(shè)X={1,2,3,4} 把小數(shù)子集記為，它的元素仍為1，2，3，4，同時給出各元素在該小數(shù)子集中的隸屬程度，即3.2模糊集合與隸屬函數(shù)

分母位置放的是論域中的元素，分子位置放的是相應(yīng)元素的隸屬度。當(dāng)隸屬度為零時，此項也可不寫入。

扎德又將其寫成北京科技大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院93.2模糊集合與隸屬函數(shù)

一、模糊現(xiàn)象與模糊集合定義 若對論域X中的每一個元素x，都規(guī)定從X到閉 區(qū)間[0,1]的一個映射：

則在X上定義了一個模糊集合：稱為的隸屬函數(shù)(membershipfunction)，稱為元素xi的隸屬度（gradeofmembership）。北京科技大學(xué)學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)學(xué)院10二、隸屬函數(shù)數(shù)的確定及其其分布在例1中，X={1,2,3,4}，3.2模糊集合與隸隸屬函數(shù)x123410.80.20可用分布列表示：或者寫成北京科技大學(xué)學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)學(xué)院11二、隸屬函數(shù)數(shù)的確定及其其分布如果有人給定定3.2模糊集合與隸隸屬函數(shù)進而用用線性性函數(shù)數(shù)表示示：這樣選選取隸隸屬函函數(shù)也也是無無可非非議的的。北京科科技大大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管管理學(xué)學(xué)院12二、隸隸屬函函數(shù)的的確定定及其其分布布3.2模糊集集合與與隸屬屬函數(shù)數(shù)正態(tài)型型（對對稱型型）戒上型型（偏偏小型型））戒下型型（偏偏大型型）常見的的隸屬函函數(shù)北京科科技大大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管管理學(xué)學(xué)院13函數(shù)是是概概率論論中很很重要要的一一種概概率分分布（（正態(tài)態(tài)分布布）的的概率率密度度函數(shù)數(shù)。式式中a,b都是給給定的的常數(shù)數(shù)，在在概率率論中中a叫做數(shù)數(shù)學(xué)期期望，，（（為為標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差）），e是自然然對數(shù)數(shù)的底底。這這是最最常見見的一一種分分布。。二、隸隸屬函函數(shù)的的確定定及其其分布布（一）正態(tài)態(tài)型（對稱稱型）3.2模糊集合與與隸屬函數(shù)數(shù)隸屬函數(shù)形如上式的模糊集合合稱為正態(tài)型模糊糊集，以上稱為正態(tài)型隸屬屬函數(shù)。a正態(tài)型隸屬函數(shù)北京科技大大學(xué)經(jīng)濟管管理學(xué)院14二、隸屬函函數(shù)的確定定及其分布布（二）戒上上型（偏小小型）3.2模糊集合與與隸屬函數(shù)數(shù)隸屬函數(shù)形如上式的模糊集合合（其中a>0,b>0）稱為戒上型模糊糊集，以上稱稱為戒上型隸屬屬函數(shù)。c戒上型隸屬屬函數(shù)北京科技大大學(xué)經(jīng)濟管管理學(xué)院15二、隸屬函函數(shù)的確定定及其分布布（三）戒下下型（偏大大型）3.2模糊集合與與隸屬函數(shù)數(shù)隸屬函數(shù)形如上式的模糊集合合（其中a>0,b>0）稱為戒下型模糊糊集，以上稱稱為戒下型隸屬屬函數(shù)。c戒下型隸屬函數(shù)北京科技大大學(xué)經(jīng)濟管管理學(xué)院16其中論域X=[0,200]，常數(shù)5表示以5歲為一級，，是為計算算方便而定定的。這里里，X是一個連續(xù)續(xù)的實數(shù)區(qū)區(qū)間?，F(xiàn)計計算幾個年年齡的隸屬屬度如下:二、隸屬函函數(shù)的確定定及其分布布3.2模糊集合與與隸屬函數(shù)數(shù)0.040.10.50.741150403028250x例2描述“年輕輕”這一模模糊集合，，一般認為為25歲以下是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)的年輕輕，年過25歲，則年輕輕的程度將將遞減。故故應(yīng)屬戒上上型。扎德德曾給出““年輕”這這個模糊集集合的隸屬屬函數(shù)為北京科技大大學(xué)經(jīng)濟管管理學(xué)院17二、隸屬函函數(shù)的確定定及其分布布3.2模糊集合與與隸屬函數(shù)數(shù)0.970.940.80.500例2(續(xù))扎德給出了了模糊集合合為“年老老”的隸屬屬函數(shù)為其隸屬度可可計算如下下表:80706055500

x北京科技大大學(xué)經(jīng)濟管管理學(xué)院18二、隸屬函函數(shù)的確定定及其分布布3.2模糊集合與與隸屬函數(shù)數(shù)同樣可以給給出紅光、、藍光的隸隸屬函數(shù)分分別為例3設(shè)波長的的論域域U=[4000,8000](單位：)，則“紅光光”、綠光光”、“藍藍光”等都都是論域U上的模糊集集合。綠光光波長（單位：）），是是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)的綠光光，其分布布圖是以為對稱的正正態(tài)分布。。實際描出出其分布圖圖的幅度b=300，可以給出出其隸屬函函數(shù)為根據(jù)上式可以標(biāo)出（或5100)時淡綠光的隸屬度為北京科技大大學(xué)經(jīng)濟管管理學(xué)院193.3模糊集合的的運算3.2模糊集合與與隸屬函數(shù)數(shù)第三章模模糊決策策3.1模糊數(shù)學(xué)與與信息革命命3.4模糊集合與與普通集合合的相互轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化3.5模糊聚類分分析3.6模糊綜合評評判決策北京科技大大學(xué)經(jīng)濟管管理學(xué)院203.3模糊集合的的運算顯然模糊集集中的空集集就是一個個普通集。。一、模糊集集合運算的的概念模糊集合（（簡稱模糊糊集）的運運算是普通通集合（簡簡稱普通集集）運算的的拓廣。 （一）空集 設(shè)有模糊集，當(dāng)且僅當(dāng)對于所有元素x它的隸屬函數(shù)恒為零，則稱為空模糊集，記做，即（二）全集集模糊集中的的全集，也也是普通集集，它的隸隸屬函數(shù)是是1，即北京科技大大學(xué)經(jīng)濟管管理學(xué)院21一、模糊集集合運算的的概念（三）等集集兩個模糊集集和，，當(dāng)且且僅當(dāng)對于于所有元素素x它的隸屬函函數(shù)都相等等時，稱它它們?yōu)橄嗟龋洖?，，則3.3模糊集合的的運算

（四）子集

設(shè)有模糊集和，對于所有元素x

，當(dāng)且僅當(dāng)時，稱包含于，此時稱為的子集，記為，即當(dāng)且僅當(dāng)時，稱真包含于，此時稱為的真子集，記為。北京科技大大學(xué)經(jīng)濟管管理學(xué)院223.3模糊集合的的運算一、模糊集合運算的概念

（五）補集

模糊集的絕對補集記為，定義如下：具有隸屬函數(shù)若和均為模糊集，則關(guān)于的相對補集記為，由下式定義，其中規(guī)定。的模糊集稱為的絕對補集，即的補集北京科技大大學(xué)經(jīng)濟管管理學(xué)院23一、模糊集集合運算的的概念（六）并集集設(shè)論域X上兩模糊集和和的的隸屬函數(shù)數(shù)分別是和和，，它們的的并是一個個模糊集，，用來來表示，記記為即3.3模糊集合的的運算，其隸屬函數(shù)數(shù)與和和的的隸屬函數(shù)數(shù)之間有關(guān)關(guān)系x1O北京科技大大學(xué)經(jīng)濟管管理學(xué)院24一、模糊集集合運算的的概念（六）并集集例如設(shè)為為“胖子”的模糊集，，為“高個子”的模糊集，，今有兩人人組成的集集合這時，，，的并并集表表示“或胖或高的的人”的模糊集，，其隸屬度度為3.3模糊集合的的運算他們分別屬于于“胖子”集合和“高個子”集合的的隸屬度為其中“”稱為取大運算算。北京科技大學(xué)學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)學(xué)院253.3模糊集合的運運算上式也可表示示為其中“

”稱為取小運算。一、模糊集合運算的概念

（七）交集 ，的交集也是一個模糊集，記為，其隸屬函數(shù)規(guī)定為，，即1xO北京科技大學(xué)學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)學(xué)院26對于上述的兩兩人集合，，且且一、模糊集合合運算的概念念（七）交集3.3模糊集合的運運算可有這里，交集表表示“又胖又高的人人”所組成的模糊糊集。北京科技大學(xué)學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)學(xué)院27一、模糊集合合運算的概念念定理1模糊集的運算算通過它的隸隸屬函數(shù)實現(xiàn)現(xiàn)：3.3模糊集集合的的運算算北京科科技大大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管管理學(xué)學(xué)院28一、模模糊集集合運運算的的概念念例1設(shè)X={1,2,3,4}，則3.3模糊集集合的的運算算小數(shù)集集大數(shù)集集較小數(shù)數(shù)集不較小小數(shù)集集小或較較小數(shù)數(shù)集既小又又大數(shù)數(shù)集本例提提供了了將模模糊語語言數(shù)數(shù)學(xué)化化的范范例。。北京科科技大大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管管理學(xué)學(xué)院29二、模模糊集集合的的運算算性質(zhì)質(zhì)普通集集中的的各種種運算算性質(zhì)質(zhì)除互互補律律外對對于模模糊集集也都都成立立，但但其證證明不不能用用文氏氏圖或或真值值表，，而必必須利利用表表示模模糊集集特征征的隸隸屬函函數(shù)來來證明明。定理2模糊集集具有有以下下的運運算性性質(zhì)：：3.3模糊集集合的的運算算（1）冪等等律（2）交換換律（3）結(jié)合合律（4）吸收收律北京科科技大大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管管理學(xué)學(xué)院30二、模模糊集集合的的運算算性質(zhì)質(zhì)3.3模糊集集合的的運算算（5）分配配律（6）復(fù)原原律（7）對偶偶律（8）定常律設(shè)是論域X上的模糊集合，則北京科科技大大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管管理學(xué)學(xué)院31二、模模糊集集合的的運算算性質(zhì)質(zhì)例2證明吸吸收律律：3.3模糊集集合的的運算算證所以北京科科技大大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管管理學(xué)學(xué)院32二、模模糊集集合的的運算算性質(zhì)質(zhì)例3證明對對偶律律（德德·摩根律律）：：3.3模糊集集合的的運算算證從而當(dāng)時，當(dāng)時，所以北京科科技大大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管管理學(xué)學(xué)院33二、模模糊集集合的的運算算性質(zhì)質(zhì)例4驗證普普通集集中互互補律律在模模糊集集中不不成立立（舉舉例））：3.3模糊集集合的的運算算即解例如，則，而北京科科技大大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管管理學(xué)學(xué)院343.3模糊集集合的的運算算3.2模糊集集合與與隸屬屬函數(shù)數(shù)第三章章模模糊糊決策策3.1模糊數(shù)數(shù)學(xué)與與信息息革命命3.4模糊集合合與普通通集合的的相互轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化3.5模糊聚類類分析3.6模糊綜合合評判決決策北京科技技大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管理理學(xué)院35一、水平截集定義1

設(shè)給定模糊集，對于任意實數(shù)，稱普通集為的水平截集，簡稱截集（cutsets）。 所謂取一個模糊集的截集，也就是將隸屬函數(shù)按下式轉(zhuǎn)化成特征函數(shù)：

3.4模糊集合合與普通通集合的的相互轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化1xO的特征函數(shù)其直觀意義是：當(dāng)x對的隸屬度達到或超過時，就算是的元素。稱為置信水平（belivablelevel），又可通俗的解釋為“門檻”或“閾值”。北京科技技大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管理理學(xué)院36性質(zhì)2若且且，，則一、水水平截截集截集具有有以下性性質(zhì)：3.4模糊集合合與普通通集合的的相互轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化性質(zhì)1當(dāng)時時，最最小。。若時時，則則稱它是是的的“核”。定義2如果一個個模糊集集的的核是非非空的，，則稱為為正規(guī)模糊糊集，否則稱為為非正規(guī)模模糊集。。北京科技技大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管理理學(xué)院37supp有時也記記做，，表示的的支集集是論域域U中為為正正的點的的集合，并稱稱supp—為的的邊界。一、水水平截截集定義3模糊集的的支集supp為：3.4模糊集合合與普通通集合的的相互轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化截集與支集北京科技技大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管理理學(xué)院38二、分解解定理和和擴張原原理分解定理理（decompositiontheorem）把模糊糊集合論論的問題題化為普普通集合合論的問問題來解解；擴張原理理（expansionprinciple）把普通通集合論論的方法法擴展到到模糊集集合中去去。分解定理理設(shè)為論論域U的一個模模糊集，，是的的截截集，，為的的特征函函數(shù)，則則3.4模糊集合合與普通通集合的的相互轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化北京科技技大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管理理學(xué)院39所以。解取5個截集集：二、分解解定理和和擴張原原理例1設(shè)，，求。。3.4模糊集合合與普通通集合的的相互轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化則北京科技技大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管理理學(xué)院40而在[0,1]內(nèi)遍取，，可可以將分分為為兩類：：二、分解解定理和和擴張原原理分解定理理的證明明因為是是的的特征函函數(shù)，即即3.4模糊集合合與普通通集合的的相互轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化于是北京科技技大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管理理學(xué)院41二、分解解定理和和擴張原原理3.4模糊集合合與普通通集合的的相互轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化但所以分解定理理的證明明（續(xù)））北京科技技大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管理理學(xué)院42則由映射射f產(chǎn)生的的的像為為這就是說說，經(jīng)經(jīng)過映射射f后，映射射成時時，其其隸屬函函數(shù)可以以無保留留的傳遞遞下去，，亦即經(jīng)經(jīng)過映射射后，模模糊集和和在在論域域中的相相應(yīng)元素素的隸屬屬度保持持不變。。如果不是是單值映映射時，，則規(guī)定定像的隸隸屬度取取最大值值。二、分解解定理和和擴張原原理擴張原理理設(shè)f是從X到Y(jié)的一個映映射，是是X上的一個個模糊集集：3.4模糊集合合與普通通集合的的相互轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化北京科技技大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管理理學(xué)院43因f是平方運運算，即即，，則有有二、分解解定理和和擴張原原理例2設(shè)X={0,1,2,3,…,9}，并令f是平方運運算，令令{小的}是X上的一個個模糊集集，其定定義為3.4模糊集合合與普通通集合的的相互轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化北京科技技大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管理理學(xué)院443.3模糊集合合的運算算3.2模糊集合合與隸屬屬函數(shù)第三章模模糊糊決策3.1模糊數(shù)學(xué)學(xué)與信息息革命3.4模糊集合合與普通通集合的的相互轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化3.5模糊聚類類分析3.6模糊綜合合評判決決策北京科技技大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管理理學(xué)院45定義2集合A，B的直積的的一一個子集集R稱為從A到B的一個二二元關(guān)系系，簡稱稱關(guān)系，，記做一、直積積、關(guān)系系、模糊糊關(guān)系定義1集合A和B的直積（descartesproduct）規(guī)規(guī)定定為序?qū)?a,b)的集合：：3.5模糊聚類類分析又稱笛卡爾乘乘積。當(dāng)A=B時，R稱為A上的關(guān)系系。北京科技技大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管理理學(xué)院46A={張三,李四,王五}，B={優(yōu),良,中,差}，就是張三三、李四四、王五五這三人人在考試試中可能能出現(xiàn)的的情況，，它共有有種種搭配方方式。設(shè)設(shè)在某次次考試中中，張三三得“優(yōu)”，李四、、王五得得“中”，則構(gòu)成成一個從從A到B的關(guān)系，，即一、直積積、關(guān)系系、模糊糊關(guān)系例13.5模糊聚類類分析R={(張三,優(yōu)),(李四,中),(王五,中)}.顯然，R是的的一個子子集。北京科技技大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管理理學(xué)院47(1)用列表表表示關(guān)系系R若用“1”表示，，用“0”表示，，則有有一、直積積、關(guān)系系、模糊糊關(guān)系3.5模糊聚類類分析

A={張三,李四,王五}，

B={優(yōu),良,中,差}，R={(張三,優(yōu)),(李四,中),(王五,中)}R優(yōu)良中差張三1000李四0010王五0010例1(續(xù))北京科技技大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管理理學(xué)院48(2)用矩陣表表示關(guān)系系R若用“1”表示，，用“0”表示，，則有有一、直積積、關(guān)系系、模糊糊關(guān)系3.5模糊聚類類分析R={(張三,優(yōu)),(李四,中),(王五,中)}

A={張三,李四,王五}，

B={優(yōu),良,中,差}，例1(續(xù))北京科技技大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管理理學(xué)院49(3)用關(guān)系圖圖表示關(guān)關(guān)系R若，，則從a到b連一條直直線，即即一、直積積、關(guān)系系、模糊糊關(guān)系3.5模糊聚類類分析R={(張三,優(yōu)),(李四,中),(王五,中)}

A={張三,李四,王五}，

B={優(yōu),良,中,差}，集合A集合B張三李四王五優(yōu)良中差關(guān)系圖例1(續(xù))北京科技技大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管理理學(xué)院50所刻畫。。叫叫做做據(jù)據(jù)有關(guān)關(guān)系的的程度。。一、直積積、關(guān)系系、模糊糊關(guān)系定義3稱直積空空間上上的一個個模糊集集為從從X到Y(jié)的一個模糊關(guān)系系(fuzzyrelation)，記做3.5模糊聚類類分析模糊關(guān)系系由由其隸屬屬函數(shù)北京科技技大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管理理學(xué)院513.5模糊聚類類分析R4050607080合計140201642042150801008020102901603012015012030450170153012015012043518001281021合計1452673563001701238405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81表中第二二行身高高140cm的學(xué)生中中40kg的人最多多，其權(quán)權(quán)數(shù)定為為1，其余依依比例定定為0.8,0.2,0.1和0，其他各各行同理理可得，，則身高高-體重的模模糊關(guān)系系如下：：一、直積積、關(guān)系系、模糊糊關(guān)系例2某中學(xué)對對1238名學(xué)生就就身高論論域X={140,150,160,170,180}(單位：cm),體重論域域Y={40,50,60,70,80}(單位：kg)的統(tǒng)計如如下表：：北京科技技大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管理理學(xué)院52模糊向量可以以看成一元模模糊集的另一一種表達形式式。模糊向量量與普通向量量的區(qū)別在于于前者的諸分分量。。如如果分量僅取取0,1二值，即，，則稱為為布爾向量(boolevector)。稱為n維模糊向量(fuzzyvector)，記為二、模糊矩陣陣（一）模糊矩矩陣和關(guān)系圖圖設(shè)X={x1,x2,…,xn}，X上的模糊集3.5模糊聚類分析析它的n個分量北京科技大學(xué)學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)學(xué)院53例3設(shè)有一組同學(xué)學(xué)為X：X={張三,李四,王五},他們可以選學(xué)學(xué)英語、法語語、德語、日日語四種外語語中的任意幾幾門。令Y表示這四門外外語課所組成成的集合：Y={英語,法語,德語,日語}。設(shè)他們的結(jié)業(yè)業(yè)成績?nèi)缦拢海憾?、模糊矩陣陣（一）模糊矩矩陣和關(guān)系圖圖可以用模糊矩矩陣和關(guān)系圖圖表示模糊關(guān)關(guān)系。3.5模糊聚類分析析姓名語種成績張三英語86張三法語84李四德語96王五日語66王五英語78北京科技大學(xué)學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)學(xué)院54若用考分來描描述掌握的程程度，則把他他們的成績都都除以100而折合成隸屬屬度，由上表表可以構(gòu)造出出一個模糊矩矩陣，用用它來表示“掌握”的模糊關(guān)系：：例3（續(xù)）二、模糊矩陣陣（一）模糊矩矩陣和關(guān)系圖圖3.5模糊聚類分析析姓名語種成績張三英語86張三法語84李四德語96王五日語66王五英語78北京科技大學(xué)學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)學(xué)院55還可以用相應(yīng)應(yīng)的圖來表示示，此圖稱為為關(guān)系圖。例3（續(xù)）二、模糊矩陣陣（一）模糊矩矩陣和關(guān)系圖圖3.5模糊聚類分析析姓名語種成績張三英語86張三法語84李四德語96王五日語66王五英語78XY張三李四王五英法德日0.860.840.780.960.66北京科技大學(xué)學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)學(xué)院563、并：設(shè)，，則則稱為為的的并，記為1、相等：若，，則稱二、模糊矩陣陣（二）模糊矩矩陣的運算設(shè)模糊矩陣3.5模糊聚類分析析2、包含：若，，則稱,例如：4、交：設(shè)，，則則稱為為的的交，記為5、補（余）：稱為為的的補矩陣北京科技大學(xué)學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)學(xué)院57例4設(shè)模糊矩陣，，則則二、模糊矩陣陣（二）模糊矩矩陣的運算3.5模糊聚類分析析北京科技大學(xué)學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)學(xué)院58二、模糊矩陣陣其中x,y,z分別表示論域域X,Y,Z中的元素，叫做矩陣與與的合合成，也稱為為與的的模糊乘積。定義4設(shè)矩陣陣表表示示X到Y(jié)的模糊糊關(guān)系系，矩矩陣表表示示Y到Z的模糊糊關(guān)系系，則則與與的的合成成3.5模糊聚聚類分分析定義為為X到Z的模糊糊關(guān)系系，（二））模糊糊矩陣陣的運運算6、合成(composition)：北京科科技大大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管管理學(xué)學(xué)院59例5設(shè)模糊糊矩陣陣二、模模糊矩矩陣（二））模糊糊矩陣陣的運運算3.5模糊聚聚類分分析其中如此等等等。。北京科科技大大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管管理學(xué)學(xué)院60若則則7、轉(zhuǎn)置(transpose)：二、模模糊矩矩陣設(shè)模糊糊矩陣陣，，稱為為的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置矩矩陣，，記為為3.5模糊聚聚類分分析模糊矩矩陣的的轉(zhuǎn)置置，具具有以以下性性質(zhì)：：（二））模糊糊矩陣陣的運運算北京科科技大大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管管理學(xué)學(xué)院61顯然指指數(shù)法法則成成立，，即m,n為整數(shù)數(shù)時有有8、模糊矩矩陣的的冪：二、模模糊矩矩陣3.5模糊聚聚類分分析（二））模糊糊矩陣陣的運運算北京科科技大大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管管理學(xué)學(xué)院62若，，則則則稱為為的的截矩陣陣，其對對應(yīng)關(guān)關(guān)系叫叫做的的截關(guān)系系，并并稱稱為為置置信水水平。。顯然然是是布布爾矩矩陣。。三、截截矩矩陣定義5設(shè)給定定模糊糊矩陣陣，，，，對對于任任意，，記記3.5模糊聚聚類分分析其中截矩陣陣的性質(zhì)：北京科科技大大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管管理學(xué)學(xué)院63（3）傳遞遞性：：，，即即（2）對稱稱性：：，，即即為為對對稱方方陣；；以上傳傳遞關(guān)關(guān)系是是指：：包包含它它與它它自身身的合合成。。則稱稱是是X上的一一個模糊等等價矩矩陣(fuzzyequivalentmatrix)。四、模模糊等等價矩矩陣與與相似似矩陣陣定義6設(shè)X上的一一個模模糊矩矩陣，，滿滿足：：3.5模糊聚聚類分分析（1）自反反性：：，，即即主對對角線線上元元素都都是1；滿足自自反性性和對對稱性性而不不滿足足傳遞遞性的的模糊糊矩陣陣稱為為模糊相相似矩矩陣(fuzzysimilarmatrix)。北京科科技大大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管管理學(xué)學(xué)院64五、模模糊聚聚類分分析（一））截截矩矩陣法法定理1模糊矩矩陣是是模糊糊等價價矩陣陣的充充要條條件是是對于于任意意的，，截截矩陣陣均均為為等價價布爾爾矩陣陣。3.5模糊聚聚類分分析北京科科技大大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管管理學(xué)學(xué)院65故都都是是等價價布爾爾矩陣陣。由于故故為為模糊糊等價價矩陣陣。五、模模糊聚聚類分分析（一））截截矩矩陣法法例6設(shè)3.5模糊聚聚類分分析北京科科技大大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管管理學(xué)學(xué)院66它們只只能各各成一一類，，即{x1}，{x2}，{x3}。五、模模糊聚聚類分分析（一））截截矩矩陣法法例6(續(xù))可以看看成反反映X={x1,x2,x3}的如下下關(guān)系系：3.5模糊聚聚類分分析R1x1x2x3x1100x2010x3001北京科科技大大學(xué)經(jīng)經(jīng)濟管管理學(xué)學(xué)院67易見，，x2,x3歸并為為一類類{x2,x3}，x1仍獨自自成為為一類類{x1}，。五、模模糊聚聚類分分析（一））截截矩矩陣法法例6(續(xù))可以看成另另一種關(guān)系系：3.5模糊聚類分分析R0.5x1x2x3x1100x2011x3011北京科技大大學(xué)經(jīng)濟管管理學(xué)院68五、模糊聚聚類分析（二）模模糊相似似矩陣的聚聚類分析例7設(shè)有X上的模糊關(guān)關(guān)系：3.5模糊聚類分分析x1x2x3x4x5x110.10.80.20.3x20.1100.31x30.8010.70x40.20.30.710.6x50.3100.61試將X={x1，x2，x3，x4，x5}進行聚類。。定理2如果給定一一個模糊相相似矩陣，，可以用合合成運算尋尋求模糊等等價矩陣，，然后后再對進進行聚類類分析。北京科技大大學(xué)經(jīng)濟管管理學(xué)院69顯然滿滿足自反性性與對稱性性。又故不滿滿足傳遞性性，是模糊糊相似矩陣陣。五、模糊聚聚類分析（二）模模糊相似似矩陣的聚聚類分析例7(續(xù))3.5模糊聚類分分析解將模糊關(guān)系系表寫成矩矩陣形式：：北京科技大大學(xué)經(jīng)濟管管理學(xué)院70現(xiàn)求：：故可選定為為模模糊等價矩矩陣，對X進行聚類。。五、模糊聚聚類分析（二）模模糊相似似矩陣的聚聚類分析例7(續(xù))3.5模糊聚類分分析北京科技大大學(xué)經(jīng)濟管管理學(xué)院71取，，五、模糊聚聚類分析（二）模模糊相似似矩陣的聚聚類分析取，，X可分為四類類：例7(續(xù))3.5模糊聚類分分析X可分為三類類：北京科技大大學(xué)經(jīng)濟管管理學(xué)院72取，，X只有一類：：五、模糊聚聚類分析（二）模模糊相似似矩陣的聚聚類分析取，，X可分為兩類類：例7(續(xù))3.5模糊