《微積分（第二版）》課件第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與經(jīng)濟(jì)應(yīng)用

一、偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)三、偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)及其經(jīng)濟(jì)應(yīng)用第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)及其經(jīng)濟(jì)應(yīng)用一、偏導(dǎo)數(shù)

引例在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中，柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)為，這里為常數(shù)，分別表示投入的勞動(dòng)力數(shù)量和資本數(shù)量，Q表示產(chǎn)量.

當(dāng)勞力投入不變時(shí)產(chǎn)量對(duì)資本投入的變化率

當(dāng)資本投入不變時(shí)產(chǎn)量對(duì)勞力投入的變化率

該問(wèn)題說(shuō)明有時(shí)需要求二元函數(shù)在某個(gè)變量不變的條件下，對(duì)另一個(gè)變量的變化率.1.偏導(dǎo)數(shù)概念

定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)y固定在y0,而x在x0處有增量△x時(shí),相應(yīng)函數(shù)有增量如果極限存在,則稱其值為z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù).記為一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)即類似地,函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)為也可記為函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)任意點(diǎn)(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù)

由偏導(dǎo)數(shù)定義可知,求偏導(dǎo)數(shù)，就是在函數(shù)中視y為常數(shù)，只對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，因此有2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算類似地這樣求偏導(dǎo)數(shù)實(shí)際上是一元函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題.對(duì)于固定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)有例求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解例求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解

例

求函數(shù)在點(diǎn)(1,3)處對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù).解將點(diǎn)(1,3)代入上式，得或由可得所以例設(shè)求解因?yàn)樗远陨隙嘣瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)可類似地定義和計(jì)算例求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).

解對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)就是視y,z為常數(shù)，對(duì)x求導(dǎo)數(shù)同理3.二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形表示空間一張曲面.當(dāng)y=y0時(shí),曲面z=f(x,y)與平面y=y0的交線方程為在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)處由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知：fx(x0,y0)幾何意義是曲線的切線關(guān)于x軸的斜率.即同理4.偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系對(duì)于二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系如何？一元函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：連續(xù)可導(dǎo)例解由偏導(dǎo)數(shù)定義所以，函數(shù)在(0,0)處對(duì)變量x，y的偏導(dǎo)數(shù)存在.讓沿直線而趨于（0,0），則有它將隨k的不同而具有不同的值，因此極限不存在.所以函數(shù)在(0,0)處不連續(xù).結(jié)論：二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在未必連續(xù).結(jié)論：二元函數(shù)連續(xù)未必偏導(dǎo)數(shù)存在.

例說(shuō)明二元函數(shù)，在點(diǎn)(0,0)處是連續(xù)的,但在(0,0)點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不存在.解因?yàn)樗裕瘮?shù)在點(diǎn)處(0,0)連續(xù).又因?yàn)闃O限不存在，所以偏導(dǎo)數(shù)不存在.

這是因?yàn)檫B續(xù)只保證當(dāng)點(diǎn)(x,y)以任意方式趨于點(diǎn)(x0,y0)時(shí),函數(shù)f(x,y)趨于f(x0,y0).但不能保證點(diǎn)(x,y)沿著平行坐標(biāo)軸方向趨于(x0,y0)時(shí),變化率的極限存在.二元函數(shù)連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系：連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

反之,偏導(dǎo)數(shù)存在.只能保證當(dāng)點(diǎn)(x,y)沿著平行坐標(biāo)軸的方向趨于(x0,y0)點(diǎn)時(shí),函數(shù)f(x,y)變化率極限存在,此時(shí)沿著平行坐標(biāo)軸的方向f(x,y)趨于f(x0,y0),但不能保證當(dāng)點(diǎn)(x,y)以任意方式趨于點(diǎn)(x0,y0)時(shí),f(x,y)趨于f(x0,y0).二、高階偏導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有偏導(dǎo)函數(shù)與.且其偏導(dǎo)數(shù)仍存在,則稱其偏導(dǎo)數(shù)為二階偏導(dǎo)數(shù).按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)

同樣可定義三階、四階以至n階偏導(dǎo)數(shù).一個(gè)多元函數(shù)的n–1階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),稱為原來(lái)函數(shù)的n階偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).

高階偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)原則是逐階求導(dǎo).例

求的二階偏導(dǎo)數(shù).解解例

求的二階混合偏導(dǎo)數(shù).

此例中兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等.但是由于求偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的次序不同，兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)也未必一定相等在什么條件下兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)相等？

定理如果函數(shù)z=f(x,y)在開(kāi)區(qū)域D上二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),則在該區(qū)域上任一點(diǎn)處必有三、偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與，分別稱為函數(shù)對(duì)變量x與y的邊際函數(shù)，邊際函數(shù)概念也可以推廣到多元函數(shù)上.（1）邊際產(chǎn)量

設(shè)某企業(yè)只生產(chǎn)一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量取決于投資的資本數(shù)量及可獲得的勞動(dòng)力數(shù)量．通常假定滿足庫(kù)柏──道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)資本的邊際產(chǎn)量為與勞力的邊際產(chǎn)量函數(shù)分別為

例某工廠的生產(chǎn)函數(shù)是，其中Q是產(chǎn)量(單位:件)，K是資本投入(單位:千元)，L是勞力投入(單位:千工時(shí))．求當(dāng)時(shí)的邊際產(chǎn)量.解資本的邊際產(chǎn)量勞力的邊際產(chǎn)量為邊際產(chǎn)量為（2）邊際成本與邊際利潤(rùn)

當(dāng)廠商生產(chǎn)A,B兩種不同的產(chǎn)品時(shí)，總成本、總收入和總利潤(rùn)均為兩種產(chǎn)品產(chǎn)量的二元函數(shù).這些函數(shù)分別對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)就是兩種不同產(chǎn)品的邊際成本、邊際收益和邊際利潤(rùn).總成本函數(shù)為總收入函數(shù)為總利潤(rùn)函數(shù)為

例某工廠生產(chǎn)兩種不