2022年高考沖刺數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)）試題（重慶卷）

2013年高考數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)）試題（重慶卷）數(shù)學(xué)試題卷（理工農(nóng)醫(yī)類），滿分150分，考試時(shí)間120分。特別提醒：第14、15、16三題為選做題，請(qǐng)從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分。一、選擇題。本大題共10題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、已知全集，集合，，則（）A、B、C、D、【答案】：D【知識(shí)點(diǎn)】集合運(yùn)算【解析】∵A∪B＝{1,2,3}，而U＝{1,2,3,4}，故CU(A∪B)＝{4}，故選D．2、命題“對(duì)任意，都有”的否定為（）A、對(duì)任意，都有B、不存在，都有C、存在，使得D、存在，使得【答案】：D【知識(shí)點(diǎn)】全稱命題和特稱命題【解析】全稱命題的否定是一個(gè)特稱命題(存在性命題)，故選D．3、的最大值為（）A、9B、C、D、【答案】：B【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的最值問題【解析】方法一：＝，因?yàn)椋?≤a≤3，所以當(dāng)時(shí)取得最大值.方法二：∵－6≤a≤3，∴3－a≥0，a＋6≥0.而(3－a)＋(a＋6)＝9，由基本不等式得：(3－a)＋(a－6)≥，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)3－a＝a＋6，即時(shí)取等號(hào)．4、以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）。已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值分別為（）A、B、C、D、【答案】：C【知識(shí)點(diǎn)】統(tǒng)計(jì)知識(shí)中平均數(shù)和莖葉圖的知識(shí)【解析】由甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)為15，可得x＝5；而乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可解得y＝8.故選C．5、某幾何體的三視圖如題圖所示，則該幾何體的體積為（）A、B、C、D、【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】三視圖【解析】由幾何體的三視圖可得，該幾何體是一個(gè)橫放的直棱柱，棱柱底面為梯形，梯形兩底長(zhǎng)分別為2和8，高為4，棱柱的高為10，故該幾何體體積V＝×(2＋8)×4×10＝200，故選C．6、若，則函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間（）A、和內(nèi)B、和內(nèi)C、和內(nèi)D、和內(nèi)【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)【解析】由題意a＜b＜c，可得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0.顯然f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，所以該函數(shù)在(a，b)和(b，c)上均有零點(diǎn)，故選A．7、已知圓，圓，分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A、B、C、D、【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的最值問題【解析】圓C1，C2的圓心分別為C1，C2，由題意知|PM|≥|PC1|－1，|PN|≥|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，故所求值為|PC1|＋|PC2|－4的最小值．又C1關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為C3(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|－4的最小值為|C3C2|－4＝，故選A．8、執(zhí)行如題（8）圖所示的程序框圖，如果輸出，那么判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）A、B、C、D、【答案】：B【知識(shí)點(diǎn)】算法與框圖【解析】由程序框圖可知，輸出的結(jié)果為s＝log23×log34×…×logk(k＋1)＝log2(k＋1)．由s＝3，即log2(k＋1)＝3，解得k＝7.又∵不滿足判斷框內(nèi)的條件時(shí)才能輸出s，∴條件應(yīng)為k≤7.9、（）A、B、C、D、【答案】：C【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)求值問題【解析】4cos50°－tan40°＝＝＝＝.10、在平面上，，,.若，則的取值范圍是（）A、B、C、D、【答案】：D【知識(shí)點(diǎn)】向量問題和圓中的最值問題【解析】因?yàn)椤停钥梢訟為原點(diǎn)，分別以，所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)B1(a,0)，B2(0，b)，O(x，y)，則＝＋＝(a，b)，即P(a，b)．由||＝||＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1.所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0.由||＜，得(x－a)2＋(y－b)2＜，即0≤1－x2＋1－y2＜.所以＜x2＋y2≤2，即.所以||的取值范圍是，故選D．二、填空題。本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分，把答案填寫在相應(yīng)位置上。11、已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則【答案】：【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算【解析】，∴.12、已知是等差數(shù)列，，公差，為其前項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，則【答案】：64【知識(shí)點(diǎn)】等差、等比數(shù)列的基本量運(yùn)算【解析】由a1＝1且a1，a2，a5成等比數(shù)列，得a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2，故S8＝8a1＋d＝64.13、從名骨科、名腦外科和名內(nèi)科醫(yī)生中選派人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有人的選派方法種數(shù)是___________（用數(shù)字作答）【答案】：590【知識(shí)點(diǎn)】排列組合【解析】方法一：從12名醫(yī)生中任選5名，不同選法有種．不滿足條件的有：只去骨科和腦外科兩科醫(yī)生的選法有種，只去骨科和內(nèi)科兩科醫(yī)生的選法有種，只去腦外科和內(nèi)科兩科醫(yī)生的選法有種，只去內(nèi)科一科醫(yī)生的選法有種，故符合條件的選法有：792－21－55－125－1＝590種．方法二：設(shè)選骨科醫(yī)生x名，腦外科醫(yī)生y名，則需選內(nèi)科醫(yī)生(5－x－y)人．(1)當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，有種不同選法；(2)當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，有種不同選法；(3)當(dāng)x＝1，y＝3時(shí)，有種不同選法；(4)當(dāng)x＝2，y＝1時(shí)，有種不同選法；(5)當(dāng)x＝2，y＝2時(shí)，有種不同選法；(6)當(dāng)x＝3，y＝1時(shí)，有種不同選法．所以不同的選法共有120＋180＋60＋120＋90＋20＝590種．考生注意：第14、15、16三題為選做題，請(qǐng)從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分。14、如圖，在中，,,過作的外接圓的切線，,與外接圓交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為__________【答案】：5【知識(shí)點(diǎn)】弦切角定理及切割線定理的應(yīng)用【解析】在Rt△ABC中，∠A＝60°，AB＝20，可得BC＝.由弦切角定理，可得∠BCD＝∠A＝60°.在Rt△BCD中，可求得CD＝，BD＝15.又由切割線定理，可得CD2＝DE·DB，可求得DE＝5.15、在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。若極坐標(biāo)方程為的直線與曲線（為參數(shù)）相交于兩點(diǎn)，則【答案】：16【知識(shí)點(diǎn)】極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化【解析】由極坐標(biāo)方程ρcosθ＝4，化為直角坐標(biāo)方程可得x＝4，而由曲線參數(shù)方程消參得x3＝y(tǒng)2，∴y2＝43＝64，即y＝±8，∴|AB|＝|8－(－8)|＝16.16、若關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式無解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________【答案】：【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值不等式問題【解析】方法一：設(shè)f(x)＝|x－5|＋|x＋3|＝可求得f(x)的值域?yàn)閇8，＋∞)，因?yàn)樵坏仁綗o解，只需a≤8，故a的取值范圍是(－∞，8]．方法二：由絕對(duì)值不等式，得|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，∴不等式|x－5|＋|x＋3|＜a無解時(shí)，a的取值范圍為(－∞，8]．三、解答題。本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（本小題滿分13分）設(shè)，其中，曲線在點(diǎn)處的切線與軸相交于點(diǎn)。（1）確定的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值?！敬鸢浮浚骸局R(shí)點(diǎn)】導(dǎo)函數(shù)的幾何意義和應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值【解析】解：(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，故f′(x)＝2a(x－5)＋.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為：y－16a＝(6－8a)(由點(diǎn)(0,6)在切線上可得6－16a＝8a－6，故(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x＞0)，f′(x)＝x－5＋＝.令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.當(dāng)0＜x＜2或x＞3時(shí)，f′(x)＞0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上為增函數(shù)；當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f′(x)＜0，故f(x)在(2,3)上為減函數(shù)．由此可知f(x)在x＝2處取得極大值f(2)＝＋6ln2，在x＝3處取得極小值f(3)＝2＋6ln3.18、（本小題滿分13分）某商場(chǎng)舉行的“三色球”購物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中，摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有個(gè)紅球與個(gè)白球的袋中任意摸出個(gè)球，再從裝有個(gè)藍(lán)球與個(gè)白球的袋中任意摸出個(gè)球，根據(jù)摸出個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下：獎(jiǎng)級(jí)摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù)獲獎(jiǎng)金額一等獎(jiǎng)3紅1藍(lán)200元二等獎(jiǎng)3紅0藍(lán)50元三等獎(jiǎng)2紅1藍(lán)10元其余情況無獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí)。（1）求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率；（2）求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額的分布列與期望?！敬鸢浮浚阂娊馕觥局R(shí)點(diǎn)】隨機(jī)變量的概率、分布列和數(shù)學(xué)期望【解析】解：設(shè)Ai表示摸到i個(gè)紅球，Bj表示摸到j(luò)個(gè)藍(lán)球，則Ai(i＝0,1,2,3)與Bj(j＝0,1)獨(dú)立．(1)恰好摸到1個(gè)紅球的概率為P(A1)＝.(2)X的所有可能值為0,10,50,200，且P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝，P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝，P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝，P(X＝0)＝.綜上知X的分布列為X01050200P從而有E(X)＝0×＋10×＋50×＋200×＝4(元)．19、（本小題滿分13分）如圖，四棱錐中，,,為的中點(diǎn)，。（1）求的長(zhǎng)；（2）求二面角的正弦值。【答案】：（1）（2）【知識(shí)點(diǎn)】立體幾何問題【解析】解：(1)如圖，連接BD交AC于O，因?yàn)锽C＝CD，即△BCD為等腰三角形．又AC平分∠BCD，故AC⊥BD．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則OC＝CD＝1，而AC＝4，得AO＝AC－OC＝3，又OD＝CD＝，故A(0，－3,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)．因PA⊥底面ABCD，可設(shè)P(0，－3，z)，由F為PC邊中點(diǎn)，F(xiàn).又＝，＝(，3，－z)，因AF⊥PB，故·＝0，即6－＝0，(舍去)，所以||＝.(2)由(1)知＝(，3,0)，＝(，3,0)，＝(0,2，)，設(shè)平面FAD的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，由n1·＝0，n1·＝0，得因此可取n1＝(3，，－2)．由n2·＝0，n2·＝0，得故可取n2＝(3，，2)．從而法向量n1，n2的夾角的余弦值為cos〈n1，n2〉＝，故二面角B－AF－D的正弦值為.20、（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且。（1）求；（2）設(shè)，求的值。【答案】（1）（2）tanα＝1或tanα＝4【知識(shí)點(diǎn)】三角形問題【解析】解：(1)因?yàn)閍2＋b2＋ab＝c2，由余弦定理有cosC＝，故.(2)由題意得＝.因此(tanαsinA－cosA)(tanαsinB－cosB)＝，tan2αsinAsinB－tanα(sinAcosB＋cosAsinB)＋cosAcosB＝，tan2αsinAsinB－tanαsin(A＋B)＋cosAcosB＝.①因?yàn)?，A＋B＝，所以sin(A＋B)＝，因?yàn)閏os(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，即－sinAsinB＝，解得sinAsinB＝.由①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝4.21、（本小題滿分12分，第（1）小問4分，第（2）小問8分）如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率，過左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，。（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）取垂直于軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，過作圓心為的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓外。若,求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。【答案】（1）（2）標(biāo)準(zhǔn)方程分別為，.【知識(shí)點(diǎn)】解析幾何問題【解析】解：(1)由題意知點(diǎn)A(－c,2)在橢圓上，則.從而e2＋＝1.由得，從而.故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由橢圓的對(duì)稱性，可設(shè)Q(x0,0)．又設(shè)M(x，y)是橢圓上任意一點(diǎn)，則|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x02＋＝(x－2x0)2－x02＋8(x∈[－4,4])．設(shè)P(x1，y1)，由題意，P是橢圓上到Q的距離最小的點(diǎn)，因此，上式當(dāng)x＝x1時(shí)取最小值，又因x1∈(－4,4)，所以上式當(dāng)x＝2x0時(shí)取最小值，從而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x02.因?yàn)镻Q⊥P′Q，且P′(x1，－y1)，所以＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝0，即(x1－x0)2－y12＝0.由橢圓方程及x1＝2x0得，解得，.從而|QP|2＝8－x02＝.故這樣的圓