期權二叉樹定價模型

第八講

期權二叉樹定價

8.1單步二叉樹圖8.1.1二叉樹圖的構造問題假設一種股票當前價格為$20，三個月后的價格將可能為$22或$18。假設股票三個月內不付紅利。有效期為3個月的歐式看漲期權執(zhí)行價格為$21。如何對該期權進行估值？

思路根據(jù)期權的特性，顯然可以用圖8-1所示的二叉樹圖來描述股票和期權的價格運動。如果能夠用這種股票和期權構造一個組合，使得在三個月末該組合的價值是確定的，那么，根據(jù)該組合的收益率等于無風險收益率（無套利假設），可以得到構造該組合所需成本（現(xiàn)值），而組合中股票的價格是已知的，于是可以得出期權的價格。

構造一個證券組合，該組合包含一個Δ股股票多頭頭寸和一個看漲期權的空頭頭寸。是否可有多種構造方法?

由圖8-1可知，當股票價格從$20上升到$22時，該證券組合的總價值為22Δ-1；當股票價格從$20下降到$18時，該證券組合的總價值為18Δ。完全可以選取某個Δ值，使得該組合的終值對在上述兩種情況下是相等的。這樣，該組合就是一個無風險組合。由22Δ—1=18Δ得Δ=0.25是否一定為正?因此，一個無風險的組合由0.25股股票和一個期權空頭構成。通過計算可知，無論股票價格是上升還是下降，在期權有效期的末尾，該組合的價值總是$4.5。

在無套利假設下，無風險證券組合的盈利必定為無風險利率。假設無風險利率為年率12％。則該組合的現(xiàn)值應為：4.5e-0.12×0.25=4.3674股票現(xiàn)在的價格已知為$20。用f表示期權的價格。因此，由20×0.25－f=4.3674

得f=0.633如果期權價格偏離0.633，則將存在套利機會。

8.1.2一般結論考慮一個無紅利支付的股票，股票價格為S?；谠摴善钡哪硞€衍生證券的當前價格為f。假設當前時間為零時刻，衍生證券給出了在T時刻的盈虧狀況。

一個證券組合由Δ股的股票多頭和一個衍生證券空頭構成。如果股票價格上升,在有效期末該組合的價值為：

如果股票價格下降，在有效期末該組合的價值為：

當兩個價值相等時

即（9.1）

該組合是無風險的，收益必得無風險利率。在T時刻的兩個節(jié)點之間運動時，Δ是衍生證券價格變化與股票價格變化之比。

用r表示無風險利率，該組合的現(xiàn)值應為：而構造該組合的成本是：因此

將式（（9.1））代入入上式式，得得到其中（9.3））風險中中性概概率運用單單步二二叉樹樹圖方方法，，式（（9.2））和（（9.3））就可可為衍衍生證證券估估值。。8.1.3股票預預期收收益的的無關關性衍生證證券定定價公公式（（9.2））并沒沒有用用到股股票上上升和和下降降的概概率。。這似似乎不不符合合人們們的直直覺，，因為為人們們很自自然地地假設設假設設如果果股票票價格格上升升的概概率增增加，，基于于該股股票的的看漲漲期權權價值值也增增加，，看跌跌期權權的價價值則則減少少。之所以以如此此，原原因在在于，，我們們并不不是在在完全全的條條件下下為期期權估估值，，而只只是根根據(jù)標標的股股票的的價格格估計計期權權的價價值。。未來來上升升和下下降的的概率率已經(jīng)經(jīng)包含含在股股票的的價格格中。。它說說明，，當根根據(jù)股股票價價格為為期權權估值值時，，我們們不需需要股股票價價格上上漲下下降的的概率率。8.2風險中中性估估值8.2.1風險中中性估估值原原理式（9.2）中中的變變量p可以解釋為為股票價價格上上升的的概率率，于于是變變量1—p就是股股票價價格下下降的的概率率。這這樣，，pfu+(1-p)fd就是衍衍生證證券的的預期期收益益。于于是，，式（（9.2））可以以表述述為：：衍生生證券券的價價值是是其未未來預預期值值按無無風險險利率率貼現(xiàn)現(xiàn)的值值。。同樣，，按照照上式式對p的解釋釋，在在T時刻預預期的的股票票價格格即將式（（9.2））中的的p代入上上式，，得E(ST)=SerT（9.4））這表明明，平平均來來說，，股票票價格格以無無風險險利率率增長長。因因此，，設定定上升升運動動的概概率等等于p就是等等價于于假設設股票票收益益等于于無風風險利利率。。我們把把每一一個人人是風風險中中性的的世界界稱為為風險險中性性世界界（risk-neutralworld）。在這樣樣的世世界中中，投投資者者對風風險不不要求求補償償，所所有證證券的的預期期收高高效益益是無無風險險利率率。式（9.4）說說明，，當設設定上上升運運動的的概率率為p時，我我們就就在假假設一一個風風險中中性世世界。。式（9.2）說說明，，衍生生證券券的價價值是是其預預期收收益在在風險險中性性世界界中按按無風風險利利率貼貼現(xiàn)的的值。。以上過過程表表明，，當為為期權權和其其它衍衍生證證券估估值時時，完完全可可以假假設世世界是是風險險中性性的。。這就就是所所謂風風險中中性（（risk-neutralvaluation））原理。。在風險險中性性世界界中得得到的的價格格，在在現(xiàn)實實世界界中也也是正正確的的。8.2.2風險中性估估值舉例我們將風險險中性估值值原理運用用于圖8-1的例子子。在風險中性性世界，股股票的預期期收益率一一定等于無無風險利率率12％。。則有：22p+18(1-p)=20e0.12××0.25即4p=20e0.12××0.25-18得p=0.6523在三個月末末尾:看漲漲期權價值值為$1的的概率為0.6523，價值值為零的概概率為0.3477。因此，，看漲期權權的期望值值為：0.6523×1+0.3477×0=$0.6523按無風險利利率貼現(xiàn)得得期權現(xiàn)在在的價值：：f=0.6523e-0.12×0.25=0.6338.3兩步二叉樹樹圖8.3.1兩步二叉樹樹圖的構造造假設一種股股票開始的的價格為$20，并并在圖8-3所示的的兩步二叉叉樹圖的每每個單步二二叉樹圖中中，股票價價格可以上上升10％％或者下降降10％。。假設在每個個單步二叉叉樹的步長長是三個月月，無風險險利率是年年率12％％?？紤]一個執(zhí)執(zhí)行價格為為$21的的期權。在圖8-3中，很容容易得到，，在節(jié)點D，期權價格為為$3.2；在節(jié)點點E和F，期權價格為為零。在節(jié)點B的期權價格格計算如下下：u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523.在節(jié)點B的期權價格格為：e-0.12×0.25(0.6523×3.2十0.3477×0)=2.0257在節(jié)點C，期權價格為為0。在節(jié)點A的期權價格格為：e-0.12×0.25(0.6523×2.0257十0.3477×0)=1.2823在構造這個個例子時，，u和d(股票價格上上升和下降降的比率)在樹圖的的每個節(jié)點點上是相同同的，每個個單步二叉叉樹的時間間長度是相相等的。由式（9.3）可得得風險中性性的概率p，它在每個節(jié)節(jié)點都是相相同的。8.3.2一般結論如圖8-4所示，初初始股票價價格為S。在每個單步步二叉樹中中，股票價價格或者上上升到初始始值的u倍，或下降降到初始值值的d倍。假設無無風險利率率是r。每個單步二二又樹的時時間長度是是Δt年。重復式（9.2）的的計算，給給出：（9.5））（9.6））（9.7）將式（9.5））和（9.6））代入式式（9.7），，得到：：式中，p2，2p(1-p)和(1-p)2是達到最最后上、、中、下下三個節(jié)節(jié)點的概概率。衍生證券券的價格格等于它它在它在在風險中中性世界界的預期期收益按按無風險險利率貼貼現(xiàn)的值值。如果在樹樹圖中加加入更多多的步(step)以推廣應應用二叉叉樹圖方方法，風風險中性性估值的的原理一一直是成成立的。。衍生證券券的價格格總是等等于它在在風險中中性世界界的預期期收益按按無風險險利率貼貼現(xiàn)的值值。8.3.3看跌期權權的例子子考慮一個個兩年期期歐式看看跌期權權，股票票的執(zhí)行行價格為為$52，當前前價格為為$50。假設價格格為兩步步二叉樹樹，每個個步長為為一年。。在每個個單步二二叉樹中中股票價價格或者者按比率率上升20％，，或者按按比率下下降20％。無無風險利利率為5％。構造如圖圖8-5所示的的兩步二二叉樹圖圖。風險險中性概概率P的值為：：最后股票票的可能能價格為為$72、$48和$32。。在這種種情況下下，fuu=0,fud=4,fdd=20,Δt=1，利用公式式（9.8），，得到看看跌期權權的價格格f=e-2×0.05×1(0.62822×0+2×0.6282×0.3718××4+0.37182×20)=4.1923利用每個個單步二二步二叉叉樹向回回倒推算算，也可可以得到到這個結結果。實際上，，如果股股票價格格的變化化是二值值的，那那么任何何基于該該股票的的衍生證證券都可可以運用用二叉樹樹模型進進行估值值。84美式期權權估值8.4.1方法二叉樹模模型可以以用于為為美式期期權估值值。方法法是：從從樹圖的的最后末末端向開開始的起起點倒推推計算。。在每個個節(jié)點檢檢驗提前前執(zhí)行是是否最佳佳。在最最后節(jié)點點的期權權價值與與歐式期期權在最最后節(jié)點點的期權權價值相相同。在在較早的的一些節(jié)節(jié)點，期期杈的價價值是取取如下兩兩者之中中較大者者：1）由式式（9.2）求求出的值值。2）提前前執(zhí)行所所得的收收益。9.4.2舉舉例考慮一個個兩年期期美式看看跌期權權，股票票的執(zhí)行行價格為為$52，當前前價格為為$50。假設設價格為為兩步二二叉樹，，每個步步長為一一年，在在每個單單步二叉叉樹中股股票價格格或者按按比率上上升20％，或或者按比比率下降降20％％。無風風險利率率為5％％。如圖8-6所示示，在節(jié)節(jié)點B，期權的價價值為$1.4147，而提提前執(zhí)行行期權的的損益為為負值(-$8)。在在節(jié)點B提前執(zhí)行行不是明明智的，，此時期期權價值值為1.4147。在在節(jié)點C，期權的價價值為$9.4636，而提提前執(zhí)行行期權的的損益為為$12.0。。在這種種情況下下，提前前執(zhí)行是是最佳的的，因此此期權的的價值為為$12.0。。在初始節(jié)節(jié)點A，求出的期期權價值值為:f=e-0..05××1(0.6282×1.4147+0.3718×12.0)=5.0894而提前執(zhí)執(zhí)行的價價值為$2.0。在這這種情況況下，提提前執(zhí)行行是不明明智的。。因此期期權的價價值為$5.0894。8.5Delta8.5.1Delta的含義股票期權權的Delta是股票期期權價格格的變化化與標的的股票價價格的變變化之比比，是為為了構造造一個無無風險對對沖，對對每一個個賣空的的期權頭頭寸我們們應該持持有的股股票數(shù)目目。構造無風風險對沖沖有時就就稱之為為Delta對沖(deltahedging)?？礉q期權權的Delta是正值，，而看跌跌期權的的Delta是負值。。8.5.2Delta的計算以圖8-2所示的看看漲期權權估值為為例，該該看漲期期權的Delta計算如下下：這是因為為當股票票價格從從18變變化到22時，，期權價價格從0變化到到1。在圖8-3中，，對于第第一個時時間步，，股票價價格變動動的Delta為：如果在第第一個時時間步之之后，還還有一個個向上的的運動，，則在第第二個時時間步股股票價格格變動的的Delta為：如果在第第一個時時間步之之后，還還有一個個向下的的運動，，則在第第二個時時間步股股票價格格變動的的Delta為：在圖8-5中，，第一個個時間步步的Delta為：在第二個個時間步步，有兩兩個Delta：或者上面的兩個例例子說明，Delta值隨時間而變變化。這意味著利用用期權和標的的股票來保持持一個無風險險對沖，我們們需要定期調調整我們所持持有的股票數(shù)數(shù)量。9.6二叉樹模型在在實際中的應應用在實際中應用用二叉樹圖方方法時，通常常將期權有效效期分成30或更多的時時間步。在每每一個時間步步，就有一個個二叉樹股票票價格運動。。30個時間間步意味著最最后有31個個終端股票價價格(terminalstockprices)，并且230即大約10億億個可能的股股票價格路徑徑。從股票價格波波動率，可以以確定u和d的值?？梢杂杏性S多種不同同的方式做到到這一點。定義Δt為單步時間步步長，—種可可能就是去設設定：于是，定義一一個樹圖的完完整方程式為為：謝謝1月-2301:28:3901:2801:281月-231月-2301:2801:2801:28:391月-231月-2301:28:392023/1/61:28:399、靜夜四四無鄰，，荒居舊舊業(yè)貧。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中黃葉樹樹，燈下白頭頭人。。01:28:4001:28:4001:281/6/20231:28:40AM11、以我獨沈久久，愧君相見見頻。。1月-2301:28:4001:28Jan-2306-Jan-2312、故人江海海別，幾度度隔山川。。。01:28:4001:28:4001:28Friday,January6,202313、乍見見翻疑疑夢，，相悲悲各問問年。。。1月-231月-2301:28:4001:28:40January6,202314、他他鄉(xiāng)鄉(xiāng)生生白白發(fā)發(fā)，，舊舊國國見見青青山山。。。。06一一月20231:28:40上午午01:28:401月-2315、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。一月231:28上上午1月-2301:28January6,202316、行行動動出出成成果果，，工工作作出出財財富富。。。。2023/1/61:28:4001:28:4006January202317、做前前，能能夠環(huán)環(huán)視四四周；；做時時，你你只能能或者者最好好沿著著以腳腳為起起點的的射線線向前前。。。1:28:40上上午1:28上上午午01:28:401月-239、沒有失敗，，只有暫時停停止成功！。。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事情努努力了未必有有結果，但是是不努力卻什什么改變也沒沒有。。01:28:4001:28:4001:281/6/20231:28:40AM11、成功就就是日復復一日那那一點點點小小努努力的積積累。。。1月-2301:28:4001:28Jan-2306-Jan-2312、世間成事事，不求其其絕對圓滿滿，留一份份不足，可可得無限完完美。。01:28:4001:28:4001:28Friday,January6,202313、不知知香積積寺，，數(shù)里里入云云峰。。。1月-231月-2301:28:4001:28:40January6,202314、意志堅強強的人能把把世界放在在手中像泥泥塊一樣任任意揉捏。。06一月月20231:28:40上上午01:28:401月-2315、楚塞塞三湘湘接，，荊門門九派派通。。。。一月231:28上上午午1月-2301:28January6,202316、少年十十五二十十時，步步行奪得得胡馬騎騎。。2023/1/61:28:4001:28:4006January202317、空山新雨后后，天氣晚來來秋。。1:28:40上午1:28上上午01:28:401月-239、楊柳散散和風，，青山澹澹吾慮。。。1月-231月-23Friday,Ja