第一專題：數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)內(nèi)容綱要

一、什么是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)二、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基本形態(tài)三、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的元素四、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的作用五、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化一、什么是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)[2]1.數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)：指的是由數(shù)學(xué)的概念、公式、法則、定理和性質(zhì)等知識(shí)內(nèi)容構(gòu)成的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，它反映了現(xiàn)實(shí)世界中事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式以及在此基礎(chǔ)之上形成的結(jié)構(gòu)等方面的內(nèi)部聯(lián)系和規(guī)律，是客觀存在的東西，不以我們的意志為轉(zhuǎn)移.

2.數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)：

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是學(xué)習(xí)者頭腦里的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，它是學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步積累起來(lái)的在數(shù)學(xué)方面的主觀經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，它反映了學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)的理解和看法.

認(rèn)知結(jié)構(gòu)的另一名稱——圖式

John.Best：圖式（schema）是指貯存于長(zhǎng)時(shí)記憶中的那些組織良好的（關(guān)于自然界、事件、人物和行動(dòng)的）知識(shí)組快。它標(biāo)明類別成員的實(shí)質(zhì)并隱含著可用于接收或組織新刺激的計(jì)劃或預(yù)期的一個(gè)術(shù)語(yǔ).

認(rèn)知結(jié)構(gòu)的另一名稱——圖式Piaget:圖式指相對(duì)穩(wěn)定的以動(dòng)作為主的認(rèn)知結(jié)構(gòu)組織.（物理動(dòng)作、思想動(dòng)作）圖式是指?jìng)€(gè)體對(duì)世界的知覺(jué)、理解和思考的方式.

可以把圖式看作是心理活動(dòng)的框架或組織結(jié)構(gòu).

圖式是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的起點(diǎn)和核心，或者說(shuō)是人類認(rèn)識(shí)事物的基礎(chǔ)。圖式的形成和變化是認(rèn)知發(fā)展的實(shí)質(zhì)。

認(rèn)知結(jié)構(gòu)的另一名稱——圖式

RobertM.Gagne:圖式是以適當(dāng)方式組織起來(lái)的言語(yǔ)信息，以便于學(xué)習(xí)者能表征問(wèn)題.

實(shí)際上，圖式是一些觀念及其關(guān)系的集合，并形成學(xué)習(xí)者“可用來(lái)理解”的類別。

圖式有簡(jiǎn)單和復(fù)雜、抽象和具體、高級(jí)和低級(jí)之分。簡(jiǎn)單的圖式可以只是一個(gè)字符,復(fù)雜的圖式可以由幾個(gè)子圖式構(gòu)成。

3.數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的區(qū)別：(1)表達(dá)形式不同數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是以數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言為載體來(lái)表達(dá)和記載的；數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)則是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)在學(xué)習(xí)者腦中的反映，它以概念言語(yǔ)信息和與之相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)表象信息兩種方式貯存于長(zhǎng)時(shí)記憶中.(2)形成的過(guò)程不同數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是人類數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的產(chǎn)物，是數(shù)學(xué)成果的積累、概括與總結(jié)，其過(guò)程往往需要數(shù)百年甚至更長(zhǎng)的時(shí)間；數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)則主要是學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程中逐步積累起來(lái)的,可以在較短的時(shí)間內(nèi)完成.（3）數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是對(duì)客觀世界在數(shù)學(xué)方面的反映，具有準(zhǔn)確的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓院屯陚涞南到y(tǒng)性,它是客觀的,不以個(gè)人的意志為轉(zhuǎn)移；數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)則是學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的主觀反映，有鮮明的個(gè)人特色.二、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基本形態(tài)

1.概念圖式

2.原理圖式

3.認(rèn)知策略圖式1.概念圖式

概念圖式由一些反映概念屬性的觀念組成.

概念圖式中觀念的多少、觀念的準(zhǔn)確與否、觀念的深刻程度是反映概念理解水平的重要因素。

1.概念圖式

概念的層次結(jié)構(gòu)：按抽象程度和類別將概念劃分為一級(jí)一級(jí)的層次。概念的語(yǔ)義網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：以語(yǔ)義聯(lián)系或語(yǔ)義相似性將概念組織起來(lái)。良好的概念圖式是由一系列反映概念本質(zhì)屬性的觀念組成。比如，的教學(xué)本質(zhì)是幫助學(xué)生建構(gòu)起認(rèn)知圖式：“是一個(gè)數(shù)；它不會(huì)是負(fù)的；它的平方等于；在數(shù)軸上它可能是原點(diǎn)也可能在原點(diǎn)的右邊；和都是表示一個(gè)數(shù)的符號(hào)，他們沒(méi)有什么不同；……”“

是一個(gè)數(shù)；它可正可負(fù)；……”字母的圖式是……2.原理圖式

原理圖式由一些反映原理屬性的觀念組成。

原理圖式中觀念的多少、觀念的準(zhǔn)確與否、觀念的深刻程度是反映原理理解水平的重要因素。勾股定理的各種圖式……勾股定理的各種圖式：低級(jí)的圖式：言語(yǔ)圖式……

符號(hào)圖式……

圖形圖式……高級(jí)的圖式：產(chǎn)生式……

結(jié)構(gòu)圖式……3.認(rèn)知策略圖式

（1）一般認(rèn)知策略（2）元認(rèn)知策略3.認(rèn)知策略圖式（1）一般認(rèn)知策略

①?gòu)?fù)述策略

②精加工策略：給學(xué)習(xí)內(nèi)容賦予意義，構(gòu)建聯(lián)系.如：人為聯(lián)想、做摘錄、劃線、列提綱與標(biāo)題、提問(wèn)、記筆記.③組織策略.如形成概念圖、分類、類推、敘事、概括.④解決問(wèn)題的策略如表征問(wèn)題的策略、波利亞的策略、奧加涅相的策略、舍費(fèi)爾德的策略、化陌生為熟悉的觀念、化繁為簡(jiǎn)的觀念、特殊與一般的互化的觀念、正難則反的觀念、順推與逆推之結(jié)合的觀念、動(dòng)靜之轉(zhuǎn)化的觀念

心理學(xué)家將人們頭腦中對(duì)外界事物的描述稱為表征[1]，

[1]約翰.安德森．認(rèn)知心理學(xué)及其啟示[M]．秦裕林等譯．人民郵電出版社，145．3.認(rèn)知策略圖式（2）元認(rèn)知策略

①制定認(rèn)知計(jì)劃②實(shí)際控制認(rèn)知過(guò)程③及時(shí)檢查認(rèn)知結(jié)果

④及時(shí)調(diào)整認(rèn)知計(jì)劃⑤在認(rèn)知活動(dòng)偏離目標(biāo)時(shí)采取補(bǔ)救措施，對(duì)自己的注意力或行為進(jìn)行自我管理.

什么是元認(rèn)知？元認(rèn)知（metacognition)：關(guān)于認(rèn)知的認(rèn)知.是主體對(duì)自身認(rèn)知活動(dòng)的認(rèn)知。它包括

1.元認(rèn)知知識(shí)：有關(guān)認(rèn)知的知識(shí)，即個(gè)體關(guān)于自己的認(rèn)知能力、認(rèn)知策略的知識(shí).2.元認(rèn)知體驗(yàn)：伴隨著認(rèn)知活動(dòng)的認(rèn)知體驗(yàn)或情感體驗(yàn)。包括意識(shí)到的、能表達(dá)的和模糊的、表達(dá)不清的體驗(yàn).3.元認(rèn)知監(jiān)控：個(gè)體對(duì)自身學(xué)習(xí)過(guò)程的有效監(jiān)視、控制和調(diào)節(jié).

元認(rèn)知和認(rèn)知的區(qū)別：

1.認(rèn)知活動(dòng)的內(nèi)容是對(duì)認(rèn)知對(duì)象進(jìn)行某種智力操作；元認(rèn)知活動(dòng)的內(nèi)容是對(duì)認(rèn)知活動(dòng)進(jìn)行監(jiān)控與調(diào)節(jié).2.認(rèn)知活動(dòng)的對(duì)象較具體；元認(rèn)知活動(dòng)的對(duì)象是抽象的認(rèn)知過(guò)程.3.認(rèn)知的目的是取得認(rèn)知活動(dòng)的進(jìn)展；而元認(rèn)知是監(jiān)控認(rèn)知活動(dòng)的進(jìn)展并間接地促進(jìn)這種進(jìn)展.（檢查一遍，驗(yàn)算）三、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的元素

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的基本元素稱為節(jié)點(diǎn)，它可能是言語(yǔ)信息，也可能是表象信息。我們把主體在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的心象叫做數(shù)學(xué)表象（mathematicalimage）。數(shù)學(xué)表象是人腦對(duì)數(shù)學(xué)物象進(jìn)行形式結(jié)構(gòu)的特征概括而得到的觀念性形象。它是通過(guò)邏輯思維的滲透和數(shù)學(xué)語(yǔ)言作物質(zhì)外殼，運(yùn)用典型化的手段概括了的理想化形象。數(shù)學(xué)表象與數(shù)學(xué)的外部表征密切相關(guān)1.數(shù)學(xué)的外部表征數(shù)學(xué)的外部表征是指?jìng)鬟f知識(shí)、思想而使用的外部交流工具。例如，在教師講解時(shí)，使用了口頭語(yǔ)言，并寫下文字、符號(hào)，畫(huà)出圖形、圖象，還可能展示實(shí)物或數(shù)學(xué)模型。這些東西對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，就是數(shù)學(xué)的外部表征。Bruner認(rèn)為，數(shù)學(xué)對(duì)象的表征有三類：動(dòng)作表征、映像表征、符號(hào)表征，并且它們是按這樣的前后順序出現(xiàn)和發(fā)展的。（1）動(dòng)作表征是通過(guò)適當(dāng)?shù)幕顒?dòng)反應(yīng)，表示過(guò)去的事件的表征方式，它具有具體性、物質(zhì)性的特點(diǎn)。

動(dòng)作表征是通過(guò)動(dòng)作操作來(lái)認(rèn)識(shí)事物。

（2）映象表征，是指通過(guò)心理表象來(lái)認(rèn)知事物,即使用心理表象作為某些客體的替代物.它是比動(dòng)作表征高一級(jí)的認(rèn)知方式.

映象表征是在動(dòng)作表征的基礎(chǔ)之上經(jīng)過(guò)內(nèi)化、記憶的作用而發(fā)展形成的.

映象表征是比動(dòng)作表征更復(fù)雜的認(rèn)知形式.在動(dòng)作表征中，一個(gè)刺激只產(chǎn)生一個(gè)反應(yīng)（認(rèn)識(shí)）.但在映象表征中，對(duì)一個(gè)刺激可以對(duì)它所具有的兩個(gè)側(cè)面同時(shí)作出反應(yīng).（三）符號(hào)表征是依靠語(yǔ)言符號(hào)來(lái)表現(xiàn)的認(rèn)知.

客觀對(duì)象經(jīng)過(guò)人知覺(jué)后就形成心理映象（知覺(jué)形象或表象），通過(guò)刺激反應(yīng)學(xué)習(xí)，就在表象和語(yǔ)言符號(hào)之間建立聯(lián)結(jié)，也即是說(shuō)將表象同主體相分離，物化為語(yǔ)言符號(hào)，于是就在客觀對(duì)象和語(yǔ)言符號(hào)之間建立了刺激反應(yīng)聯(lián)結(jié).

它具有抽象性、概括性、間接性和任意性的特點(diǎn).布魯納將其視為認(rèn)知發(fā)展的第三階段或知識(shí)掌握的最高水平.Lesh在Bruner的理論基礎(chǔ)上將表征方法發(fā)展為五種，分別是書(shū)面符號(hào)、口頭語(yǔ)言、操作性模型、圖形和實(shí)物。他認(rèn)為，這5種表征方法之間不一定存在先后的發(fā)展次序，主要應(yīng)重視它們之間的轉(zhuǎn)換和相互影響，因?yàn)檫@種轉(zhuǎn)換和影響對(duì)于學(xué)生的概念形成和理解有重要的意義.（如圖2－9）知識(shí)的這些外部表征及其轉(zhuǎn)換和聯(lián)系，將共同參與學(xué)生的思考活動(dòng)，被他們選取、改造和適應(yīng)，轉(zhuǎn)變?yōu)樾睦砩系谋碚鳌?.數(shù)學(xué)思維的媒介——心理表象現(xiàn)代認(rèn)知理論認(rèn)為，長(zhǎng)期記憶中的信息形態(tài)是一種“語(yǔ)義象征”。對(duì)應(yīng)于“輸入信息一長(zhǎng)期記憶一輸出信息”的過(guò)程，在大多數(shù)情況下，它的內(nèi)容經(jīng)歷了“輸入詞語(yǔ)一語(yǔ)義象征一輸出詞語(yǔ)”的過(guò)程。當(dāng)學(xué)習(xí)發(fā)生的時(shí)候，學(xué)生實(shí)際上是在對(duì)書(shū)本和教師傳達(dá)的信息進(jìn)行各自的加工和編碼，形成自己的有關(guān)該概念的語(yǔ)義象征，并且利用它進(jìn)行記憶和思考，也就是說(shuō)，描述概念時(shí)要用語(yǔ)言，但想象時(shí)使用的是語(yǔ)義象征。Davis認(rèn)為，記憶中存貯的信息的形式有三種既不排斥、也不包含的可能性：（1）信息以語(yǔ)言文字、命題的方式存貯；（2）信息以圖畫(huà)的方式存貯；（3）信息的存貯既不是詞句形式，也不是圖畫(huà)形式。Poincare（1988）認(rèn)為存在兩種思維類型：“邏輯主義者”的思維方式和“直覺(jué)主義者”的思維方式。在學(xué)生中也有類似的差別，一種人偏愛(ài)用“解析學(xué)”方式處理問(wèn)題，另一類人偏愛(ài)用“幾何學(xué)”方式來(lái)處理。Kruteskii（1984）在研究中也曾提到人的兩種不同的思維方式或習(xí)慣：語(yǔ)言－邏輯方式和視覺(jué)－圖形方式。他把傾向于語(yǔ)言－邏輯思考方式的學(xué)生稱為“分析型”，把傾向于視覺(jué)－圖形思考方式的學(xué)生稱為“幾何型”。還有一些學(xué)生并不偏愛(ài)某一種方式，他稱之為“協(xié)調(diào)型”。分析型的學(xué)生的言語(yǔ)系統(tǒng)比較發(fā)達(dá)幾何型的學(xué)生的表象系統(tǒng)比較發(fā)達(dá)數(shù)學(xué)家反省報(bào)告表明：數(shù)學(xué)思維是借助于言語(yǔ)符號(hào)激活表象而進(jìn)行的。言語(yǔ)符號(hào)圖形是外部表征，而表象則是內(nèi)部表征。表象是數(shù)學(xué)思維的核心元素。Hadamard的調(diào)查表明：幾乎所有的人不僅在思維過(guò)程中避免使用語(yǔ)言，甚至還避免使用代數(shù)符號(hào)或任何其它的固定符號(hào)?？偸沁\(yùn)用模糊的表象進(jìn)行思考.學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)是如何表征的？英國(guó)數(shù)學(xué)家Griffiths在討論數(shù)學(xué)中的直覺(jué)和領(lǐng)悟時(shí)曾提出，數(shù)學(xué)中最常用的思維媒介是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的模型和實(shí)例。他認(rèn)為，對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)，幾何圖形比代數(shù)符號(hào)更容易掌握接受。他的結(jié)論是：“領(lǐng)悟數(shù)學(xué)理論看來(lái)涉及認(rèn)識(shí)該理論在物理、幾何及數(shù)學(xué)的一些更熟悉、更容易理解的那些部分中的一個(gè)模型。例如，利用數(shù)軸來(lái)認(rèn)識(shí)不等式的解。學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)是如何表征的？1993年Brown等（PME17）對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)推理時(shí)所利用的意象問(wèn)題報(bào)告了研究結(jié)果，歸納出學(xué)生常用的五種意象：

具體意象記憶意象動(dòng)覺(jué)意象動(dòng)態(tài)意象模型意象具體意象是指思維中的圖像（視覺(jué)形象）記憶意象就是靜態(tài)視覺(jué)意象。學(xué)生利用強(qiáng)記能力，在思維中以視覺(jué)再現(xiàn)公式、框圖、算法等。動(dòng)覺(jué)意象表現(xiàn)為一種肌肉活動(dòng)。動(dòng)作操作動(dòng)態(tài)意象是在心理上出現(xiàn)移動(dòng)的視覺(jué)意象。如圖形的平移，旋轉(zhuǎn)等。模式意象則是抽象的意象，不需利用具體工具.(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)

形式運(yùn)算表象：（外積+內(nèi)積，尾積）

(a+b)(c+d)=ac+bd+bc+ad的三種記憶方式[6]：示意編碼（先用a去乘，再用b去乘……）圖形編碼（大小矩形的面積關(guān)系）標(biāo)簽編碼（前前+后后+里里+外外）

從數(shù)學(xué)的立場(chǎng)上看，思維表象與數(shù)學(xué)對(duì)象本身存在著一定的差距，但是，表象并不像某些人認(rèn)為的是“表面現(xiàn)象”。心理學(xué)方面的深入研究認(rèn)為，表象并不只是思考時(shí)借用的“思維圖象”，或只是從記憶恢復(fù)出來(lái)的直觀東西，它還具有更深刻的意義。Piaget曾將表象劃分為不同層次的三種類型：第一種是由內(nèi)化的模仿活動(dòng)形成的表象。第二種是通過(guò)基本的思想實(shí)驗(yàn)來(lái)建立的表象，這時(shí)它不僅起代表對(duì)象的作用，而且表示了心理上操作活動(dòng)的發(fā)展的階段或結(jié)果。第三種是思維運(yùn)算的動(dòng)態(tài)的符號(hào)，利用它能夠支持和推進(jìn)思想實(shí)驗(yàn)和推理。數(shù)學(xué)表象：主體在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的心象。它是數(shù)學(xué)形象思維的心理元素。[2]對(duì)數(shù)學(xué)表象的分類有以下幾種：（1）按材料內(nèi)容的不同來(lái)分：圖形表象:人腦對(duì)幾何圖形感知而形成的表象.圖式表象:對(duì)數(shù)學(xué)式子，結(jié)構(gòu)，關(guān)系，模型感知而形成的表象。（2）從創(chuàng)造的角度來(lái)看，分成記憶表象：對(duì)客體的一種主觀經(jīng)驗(yàn)（視覺(jué)的，聽(tīng)覺(jué)的等等）這個(gè)客體對(duì)于經(jīng)歷過(guò)這種經(jīng)驗(yàn)的人來(lái)說(shuō)，曾經(jīng)作為一種刺激存在過(guò)，但現(xiàn)在并不存在于知覺(jué)的領(lǐng)域中。（如“父親”）創(chuàng)造表象：對(duì)一個(gè)客體的主觀經(jīng)驗(yàn)，而這個(gè)客體對(duì)于經(jīng)歷過(guò)這種經(jīng)驗(yàn)的人來(lái)說(shuō)，從來(lái)沒(méi)作為一種刺激存在過(guò)，它是一種想象出來(lái)的客體。如“美人魚(yú)”。（3）從數(shù)學(xué)表象的構(gòu)成來(lái)分單象：?jiǎn)蝹€(gè)的表象，它也是最簡(jiǎn)單的表象。例如，點(diǎn)，線，面在人腦中反映出的表象就是單象.

復(fù)合象：兩個(gè)或兩個(gè)以上的單象的組合。單象和復(fù)合象的劃分是相對(duì)而言的。從整體上看，復(fù)合象也可以被視為單象，而單象有時(shí)還可以看成是由另外的單象組合而成的。（4）依照數(shù)學(xué)表象的層次結(jié)構(gòu)分,數(shù)學(xué)表象可以相對(duì)地分為低級(jí)表象和高級(jí)表象。如變換的思想，化歸的觀念等就屬于高層次的數(shù)學(xué)表象.2.2心理表象的特點(diǎn)（1）表象是相對(duì)形象的、具體的（2）表象具有綜合性和整體性（3）表象常常有不全面、不精確、不深刻的弱點(diǎn)（……？）（4）表象有一個(gè)發(fā)展過(guò)程（5）表象因人而異、因事而異3.表象與定義的關(guān)系3.1表象是最活躍的心理因素概念表象——描述的是與概念有關(guān)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，它包括了所有的心理圖形和有關(guān)的性質(zhì)和過(guò)程。(Vinner和Hershkowitz，1980）概念表象在心理上有著概念定義無(wú)法替代的獨(dú)特的功效，學(xué)習(xí)中概念名稱的出現(xiàn)是對(duì)我們記憶的一個(gè)外部動(dòng)因，它喚起了記憶中的某些東西。在通常情況下，這些東西不是概念的定義，而是概念表象，是人們頭腦中與概念名稱有關(guān)的非語(yǔ)言的東西，它可以是視覺(jué)表象，思維圖形，或是一個(gè)印象或經(jīng)驗(yàn)。例如一個(gè)模型，一條曲線，一個(gè)符號(hào)，一組變化的動(dòng)作.這類表象可以轉(zhuǎn)換成文字的形式，但是，這些文字形式不是我們記憶中最早喚起的東西，它們只是在稍后的階段出現(xiàn)。記憶中的信息通常不是逐字逐句的形式，而是“語(yǔ)義象征”，它將幫助人們提取和捕獲信息的意義。在思想中無(wú)法出現(xiàn)詞語(yǔ)，或是詞語(yǔ)不正確的情況下，語(yǔ)義象征卻能不被混淆地顯現(xiàn)出來(lái)，發(fā)揮作用。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的情況是類似的。例如，在提到“中位線”時(shí)，腦子中出現(xiàn)的不是逐字逐句的定義，而是三角形或梯形中的那么一條線段。得益于表象的具體、形象的特點(diǎn)，我們的思維將可以運(yùn)轉(zhuǎn)得迅速靈活，表象是我們心理上的最活躍的因素。無(wú)論是普通人還是數(shù)學(xué)家都會(huì)利用表象；不論是好學(xué)生還是差學(xué)生都適宜利用表象。3.2定義是概念建構(gòu)的腳手架Vinner認(rèn)為“：獲得概念就是形成概念表象，用心學(xué)習(xí)定義不保證理解?！倍x會(huì)幫助形成概念的表象，但在表象形成的時(shí)候，定義就不是必要的了。因而可將定義稱為概念形成的腳手架，概念大廈建成以后，腳手架就沒(méi)有保留的必要了。定義與概念是不同的，學(xué)生要掌握的是概念，定義則是概念的一種外部表達(dá)方式，是認(rèn)識(shí)概念實(shí)體的工具之一.3.2定義是概念建構(gòu)的腳手架著名的數(shù)學(xué)教育學(xué)家Freudenthal于1987年在華東師范大學(xué)講學(xué)時(shí)，指出：實(shí)際生活中，許多概念并不是通過(guò)定義學(xué)到的，而是接觸了大量實(shí)例，經(jīng)反復(fù)觀察、對(duì)比體會(huì)后歸納出來(lái)的。但是，在“學(xué)術(shù)”場(chǎng)合中，一些概念如果缺少了明白、準(zhǔn)確的定義，就有被混淆的可能。如空間、函數(shù)、群的概念，是在數(shù)學(xué)研究中構(gòu)造出來(lái)的思維對(duì)象，不是現(xiàn)實(shí)對(duì)象，學(xué)生缺乏感受，就要利用定義來(lái)表達(dá)。所以，學(xué)校中數(shù)學(xué)教學(xué)仍然不能脫離定義。3.2定義是概念建構(gòu)的腳手架定義在邏輯上是正確的，然而它并未因此顯示出對(duì)象真正的實(shí)在性，為了掌握和評(píng)價(jià)概念，必定需要實(shí)在的直覺(jué)。數(shù)學(xué)教師不同于數(shù)學(xué)家的一個(gè)方面在于，我們不是要?jiǎng)?chuàng)造新的概念，而是要?jiǎng)?chuàng)造理解。善于將數(shù)學(xué)概念的抽象定義的含意轉(zhuǎn)換成易于學(xué)生理解和運(yùn)用的適當(dāng)?shù)男睦肀硐?，幫助學(xué)生靈活地掌握概念。四、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的作用

Shemp(1971)提出，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，圖式的基本認(rèn)知作用有兩個(gè)：（1）使已學(xué)的知識(shí)得到完整的組織；（2）學(xué)習(xí)新知識(shí)的智力工具。DriscollM.P.指出[5]，圖式的作用有三個(gè)：（1）理解文本（言語(yǔ)陳述）；（2）理解事件并指導(dǎo)行動(dòng)；（3）解決問(wèn)題.而Piaget（1979）則從哲學(xué)的高度對(duì)一般性的結(jié)構(gòu)作了較完整的分析。他認(rèn)為，結(jié)構(gòu)是由多種轉(zhuǎn)換關(guān)系構(gòu)成的整體，整體綜合了全體元素的特性，并在轉(zhuǎn)換關(guān)系的支配下獲得自我調(diào)節(jié)，成為內(nèi)部協(xié)調(diào)的、具有一定整體意義的系統(tǒng)，所以，結(jié)構(gòu)的特征是整體性、轉(zhuǎn)換性和自我調(diào)節(jié)性。五、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化[2]1.評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教育的目的是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力.而數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力的高低則取決于數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)劣。良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征包括：（1）足夠多的觀念；（2）具備穩(wěn)定而又靈活的產(chǎn)生式；（3）層次分明的觀念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；（4）一定的問(wèn)題解決策略的觀念.2.建構(gòu)良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的教學(xué)策略