第一專題：數(shù)學認知結構

數(shù)學認知結構內容綱要

一、什么是數(shù)學認知結構二、數(shù)學認知結構的基本形態(tài)三、數(shù)學認知結構的元素四、數(shù)學認知結構的作用五、數(shù)學認知結構的優(yōu)化一、什么是數(shù)學認知結構[2]1.數(shù)學知識結構：指的是由數(shù)學的概念、公式、法則、定理和性質等知識內容構成的結構系統(tǒng)，它反映了現(xiàn)實世界中事物在數(shù)量關系和空間形式以及在此基礎之上形成的結構等方面的內部聯(lián)系和規(guī)律，是客觀存在的東西，不以我們的意志為轉移.

2.數(shù)學認知結構：

數(shù)學認知結構，是學習者頭腦里的數(shù)學知識結構，它是學習者在學習的過程中逐步積累起來的在數(shù)學方面的主觀經(jīng)驗系統(tǒng)，它反映了學習者對數(shù)學的理解和看法.

認知結構的另一名稱——圖式

John.Best：圖式（schema）是指貯存于長時記憶中的那些組織良好的（關于自然界、事件、人物和行動的）知識組快。它標明類別成員的實質并隱含著可用于接收或組織新刺激的計劃或預期的一個術語.

認知結構的另一名稱——圖式Piaget:圖式指相對穩(wěn)定的以動作為主的認知結構組織.（物理動作、思想動作）圖式是指個體對世界的知覺、理解和思考的方式.

可以把圖式看作是心理活動的框架或組織結構.

圖式是認知結構的起點和核心，或者說是人類認識事物的基礎。圖式的形成和變化是認知發(fā)展的實質。

認知結構的另一名稱——圖式

RobertM.Gagne:圖式是以適當方式組織起來的言語信息，以便于學習者能表征問題.

實際上，圖式是一些觀念及其關系的集合，并形成學習者“可用來理解”的類別。

圖式有簡單和復雜、抽象和具體、高級和低級之分。簡單的圖式可以只是一個字符,復雜的圖式可以由幾個子圖式構成。

3.數(shù)學認知結構與數(shù)學知識結構的區(qū)別：(1)表達形式不同數(shù)學知識結構是以數(shù)學符號語言為載體來表達和記載的；數(shù)學認知結構則是數(shù)學知識結構在學習者腦中的反映，它以概念言語信息和與之相對應的數(shù)學表象信息兩種方式貯存于長時記憶中.(2)形成的過程不同數(shù)學知識結構是人類數(shù)學歷史發(fā)展的產(chǎn)物，是數(shù)學成果的積累、概括與總結，其過程往往需要數(shù)百年甚至更長的時間；數(shù)學認知結構則主要是學習者在學習數(shù)學知識結構的過程中逐步積累起來的,可以在較短的時間內完成.（3）數(shù)學知識結構是對客觀世界在數(shù)學方面的反映，具有準確的科學性、嚴謹?shù)倪壿嬓院屯陚涞南到y(tǒng)性,它是客觀的,不以個人的意志為轉移；數(shù)學認知結構則是學習者對數(shù)學知識結構的主觀反映，有鮮明的個人特色.二、數(shù)學認知結構的基本形態(tài)

1.概念圖式

2.原理圖式

3.認知策略圖式1.概念圖式

概念圖式由一些反映概念屬性的觀念組成.

概念圖式中觀念的多少、觀念的準確與否、觀念的深刻程度是反映概念理解水平的重要因素。

1.概念圖式

概念的層次結構：按抽象程度和類別將概念劃分為一級一級的層次。概念的語義網(wǎng)絡結構：以語義聯(lián)系或語義相似性將概念組織起來。良好的概念圖式是由一系列反映概念本質屬性的觀念組成。比如，的教學本質是幫助學生建構起認知圖式：“是一個數(shù)；它不會是負的；它的平方等于；在數(shù)軸上它可能是原點也可能在原點的右邊；和都是表示一個數(shù)的符號，他們沒有什么不同；……”“

是一個數(shù)；它可正可負；……”字母的圖式是……2.原理圖式

原理圖式由一些反映原理屬性的觀念組成。

原理圖式中觀念的多少、觀念的準確與否、觀念的深刻程度是反映原理理解水平的重要因素。勾股定理的各種圖式……勾股定理的各種圖式：低級的圖式：言語圖式……

符號圖式……

圖形圖式……高級的圖式：產(chǎn)生式……

結構圖式……3.認知策略圖式

（1）一般認知策略（2）元認知策略3.認知策略圖式（1）一般認知策略

①復述策略

②精加工策略：給學習內容賦予意義，構建聯(lián)系.如：人為聯(lián)想、做摘錄、劃線、列提綱與標題、提問、記筆記.③組織策略.如形成概念圖、分類、類推、敘事、概括.④解決問題的策略如表征問題的策略、波利亞的策略、奧加涅相的策略、舍費爾德的策略、化陌生為熟悉的觀念、化繁為簡的觀念、特殊與一般的互化的觀念、正難則反的觀念、順推與逆推之結合的觀念、動靜之轉化的觀念

心理學家將人們頭腦中對外界事物的描述稱為表征[1]，

[1]約翰.安德森．認知心理學及其啟示[M]．秦裕林等譯．人民郵電出版社，145．3.認知策略圖式（2）元認知策略

①制定認知計劃②實際控制認知過程③及時檢查認知結果

④及時調整認知計劃⑤在認知活動偏離目標時采取補救措施，對自己的注意力或行為進行自我管理.

什么是元認知？元認知（metacognition)：關于認知的認知.是主體對自身認知活動的認知。它包括

1.元認知知識：有關認知的知識，即個體關于自己的認知能力、認知策略的知識.2.元認知體驗：伴隨著認知活動的認知體驗或情感體驗。包括意識到的、能表達的和模糊的、表達不清的體驗.3.元認知監(jiān)控：個體對自身學習過程的有效監(jiān)視、控制和調節(jié).

元認知和認知的區(qū)別：

1.認知活動的內容是對認知對象進行某種智力操作；元認知活動的內容是對認知活動進行監(jiān)控與調節(jié).2.認知活動的對象較具體；元認知活動的對象是抽象的認知過程.3.認知的目的是取得認知活動的進展；而元認知是監(jiān)控認知活動的進展并間接地促進這種進展.（檢查一遍，驗算）三、數(shù)學認知結構的元素

數(shù)學認知結構中的基本元素稱為節(jié)點，它可能是言語信息，也可能是表象信息。我們把主體在數(shù)學活動中的心象叫做數(shù)學表象（mathematicalimage）。數(shù)學表象是人腦對數(shù)學物象進行形式結構的特征概括而得到的觀念性形象。它是通過邏輯思維的滲透和數(shù)學語言作物質外殼，運用典型化的手段概括了的理想化形象。數(shù)學表象與數(shù)學的外部表征密切相關1.數(shù)學的外部表征數(shù)學的外部表征是指傳遞知識、思想而使用的外部交流工具。例如，在教師講解時，使用了口頭語言，并寫下文字、符號，畫出圖形、圖象，還可能展示實物或數(shù)學模型。這些東西對于學生來說，就是數(shù)學的外部表征。Bruner認為，數(shù)學對象的表征有三類：動作表征、映像表征、符號表征，并且它們是按這樣的前后順序出現(xiàn)和發(fā)展的。（1）動作表征是通過適當?shù)幕顒臃磻硎具^去的事件的表征方式，它具有具體性、物質性的特點。

動作表征是通過動作操作來認識事物。

（2）映象表征，是指通過心理表象來認知事物,即使用心理表象作為某些客體的替代物.它是比動作表征高一級的認知方式.

映象表征是在動作表征的基礎之上經(jīng)過內化、記憶的作用而發(fā)展形成的.

映象表征是比動作表征更復雜的認知形式.在動作表征中，一個刺激只產(chǎn)生一個反應（認識）.但在映象表征中，對一個刺激可以對它所具有的兩個側面同時作出反應.（三）符號表征是依靠語言符號來表現(xiàn)的認知.

客觀對象經(jīng)過人知覺后就形成心理映象（知覺形象或表象），通過刺激反應學習，就在表象和語言符號之間建立聯(lián)結，也即是說將表象同主體相分離，物化為語言符號，于是就在客觀對象和語言符號之間建立了刺激反應聯(lián)結.

它具有抽象性、概括性、間接性和任意性的特點.布魯納將其視為認知發(fā)展的第三階段或知識掌握的最高水平.Lesh在Bruner的理論基礎上將表征方法發(fā)展為五種，分別是書面符號、口頭語言、操作性模型、圖形和實物。他認為，這5種表征方法之間不一定存在先后的發(fā)展次序，主要應重視它們之間的轉換和相互影響，因為這種轉換和影響對于學生的概念形成和理解有重要的意義.（如圖2－9）知識的這些外部表征及其轉換和聯(lián)系，將共同參與學生的思考活動，被他們選取、改造和適應，轉變?yōu)樾睦砩系谋碚鳌?.數(shù)學思維的媒介——心理表象現(xiàn)代認知理論認為，長期記憶中的信息形態(tài)是一種“語義象征”。對應于“輸入信息一長期記憶一輸出信息”的過程，在大多數(shù)情況下，它的內容經(jīng)歷了“輸入詞語一語義象征一輸出詞語”的過程。當學習發(fā)生的時候，學生實際上是在對書本和教師傳達的信息進行各自的加工和編碼，形成自己的有關該概念的語義象征，并且利用它進行記憶和思考，也就是說，描述概念時要用語言，但想象時使用的是語義象征。Davis認為，記憶中存貯的信息的形式有三種既不排斥、也不包含的可能性：（1）信息以語言文字、命題的方式存貯；（2）信息以圖畫的方式存貯；（3）信息的存貯既不是詞句形式，也不是圖畫形式。Poincare（1988）認為存在兩種思維類型：“邏輯主義者”的思維方式和“直覺主義者”的思維方式。在學生中也有類似的差別，一種人偏愛用“解析學”方式處理問題，另一類人偏愛用“幾何學”方式來處理。Kruteskii（1984）在研究中也曾提到人的兩種不同的思維方式或習慣：語言－邏輯方式和視覺－圖形方式。他把傾向于語言－邏輯思考方式的學生稱為“分析型”，把傾向于視覺－圖形思考方式的學生稱為“幾何型”。還有一些學生并不偏愛某一種方式，他稱之為“協(xié)調型”。分析型的學生的言語系統(tǒng)比較發(fā)達幾何型的學生的表象系統(tǒng)比較發(fā)達數(shù)學家反省報告表明：數(shù)學思維是借助于言語符號激活表象而進行的。言語符號圖形是外部表征，而表象則是內部表征。表象是數(shù)學思維的核心元素。Hadamard的調查表明：幾乎所有的人不僅在思維過程中避免使用語言，甚至還避免使用代數(shù)符號或任何其它的固定符號。總是運用模糊的表象進行思考.學生學習時是如何表征的？英國數(shù)學家Griffiths在討論數(shù)學中的直覺和領悟時曾提出，數(shù)學中最常用的思維媒介是數(shù)學結構的模型和實例。他認為，對初學者來說，幾何圖形比代數(shù)符號更容易掌握接受。他的結論是：“領悟數(shù)學理論看來涉及認識該理論在物理、幾何及數(shù)學的一些更熟悉、更容易理解的那些部分中的一個模型。例如，利用數(shù)軸來認識不等式的解。學生學習時是如何表征的？1993年Brown等（PME17）對學生進行數(shù)學推理時所利用的意象問題報告了研究結果，歸納出學生常用的五種意象：

具體意象記憶意象動覺意象動態(tài)意象模型意象具體意象是指思維中的圖像（視覺形象）記憶意象就是靜態(tài)視覺意象。學生利用強記能力，在思維中以視覺再現(xiàn)公式、框圖、算法等。動覺意象表現(xiàn)為一種肌肉活動。動作操作動態(tài)意象是在心理上出現(xiàn)移動的視覺意象。如圖形的平移，旋轉等。模式意象則是抽象的意象，不需利用具體工具.(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)

形式運算表象：（外積+內積，尾積）

(a+b)(c+d)=ac+bd+bc+ad的三種記憶方式[6]：示意編碼（先用a去乘，再用b去乘……）圖形編碼（大小矩形的面積關系）標簽編碼（前前+后后+里里+外外）

從數(shù)學的立場上看，思維表象與數(shù)學對象本身存在著一定的差距，但是，表象并不像某些人認為的是“表面現(xiàn)象”。心理學方面的深入研究認為，表象并不只是思考時借用的“思維圖象”，或只是從記憶恢復出來的直觀東西，它還具有更深刻的意義。Piaget曾將表象劃分為不同層次的三種類型：第一種是由內化的模仿活動形成的表象。第二種是通過基本的思想實驗來建立的表象，這時它不僅起代表對象的作用，而且表示了心理上操作活動的發(fā)展的階段或結果。第三種是思維運算的動態(tài)的符號，利用它能夠支持和推進思想實驗和推理。數(shù)學表象：主體在數(shù)學活動中的心象。它是數(shù)學形象思維的心理元素。[2]對數(shù)學表象的分類有以下幾種：（1）按材料內容的不同來分：圖形表象:人腦對幾何圖形感知而形成的表象.圖式表象:對數(shù)學式子，結構，關系，模型感知而形成的表象。（2）從創(chuàng)造的角度來看，分成記憶表象：對客體的一種主觀經(jīng)驗（視覺的，聽覺的等等）這個客體對于經(jīng)歷過這種經(jīng)驗的人來說，曾經(jīng)作為一種刺激存在過，但現(xiàn)在并不存在于知覺的領域中。（如“父親”）創(chuàng)造表象：對一個客體的主觀經(jīng)驗，而這個客體對于經(jīng)歷過這種經(jīng)驗的人來說，從來沒作為一種刺激存在過，它是一種想象出來的客體。如“美人魚”。（3）從數(shù)學表象的構成來分單象：單個的表象，它也是最簡單的表象。例如，點，線，面在人腦中反映出的表象就是單象.

復合象：兩個或兩個以上的單象的組合。單象和復合象的劃分是相對而言的。從整體上看，復合象也可以被視為單象，而單象有時還可以看成是由另外的單象組合而成的。（4）依照數(shù)學表象的層次結構分,數(shù)學表象可以相對地分為低級表象和高級表象。如變換的思想，化歸的觀念等就屬于高層次的數(shù)學表象.2.2心理表象的特點（1）表象是相對形象的、具體的（2）表象具有綜合性和整體性（3）表象常常有不全面、不精確、不深刻的弱點（……？）（4）表象有一個發(fā)展過程（5）表象因人而異、因事而異3.表象與定義的關系3.1表象是最活躍的心理因素概念表象——描述的是與概念有關的認知結構，它包括了所有的心理圖形和有關的性質和過程。(Vinner和Hershkowitz，1980）概念表象在心理上有著概念定義無法替代的獨特的功效，學習中概念名稱的出現(xiàn)是對我們記憶的一個外部動因，它喚起了記憶中的某些東西。在通常情況下，這些東西不是概念的定義，而是概念表象，是人們頭腦中與概念名稱有關的非語言的東西，它可以是視覺表象，思維圖形，或是一個印象或經(jīng)驗。例如一個模型，一條曲線，一個符號，一組變化的動作.這類表象可以轉換成文字的形式，但是，這些文字形式不是我們記憶中最早喚起的東西，它們只是在稍后的階段出現(xiàn)。記憶中的信息通常不是逐字逐句的形式，而是“語義象征”，它將幫助人們提取和捕獲信息的意義。在思想中無法出現(xiàn)詞語，或是詞語不正確的情況下，語義象征卻能不被混淆地顯現(xiàn)出來，發(fā)揮作用。數(shù)學學習中的情況是類似的。例如，在提到“中位線”時，腦子中出現(xiàn)的不是逐字逐句的定義，而是三角形或梯形中的那么一條線段。得益于表象的具體、形象的特點，我們的思維將可以運轉得迅速靈活，表象是我們心理上的最活躍的因素。無論是普通人還是數(shù)學家都會利用表象；不論是好學生還是差學生都適宜利用表象。3.2定義是概念建構的腳手架Vinner認為“：獲得概念就是形成概念表象，用心學習定義不保證理解。”定義會幫助形成概念的表象，但在表象形成的時候，定義就不是必要的了。因而可將定義稱為概念形成的腳手架，概念大廈建成以后，腳手架就沒有保留的必要了。定義與概念是不同的，學生要掌握的是概念，定義則是概念的一種外部表達方式，是認識概念實體的工具之一.3.2定義是概念建構的腳手架著名的數(shù)學教育學家Freudenthal于1987年在華東師范大學講學時，指出：實際生活中，許多概念并不是通過定義學到的，而是接觸了大量實例，經(jīng)反復觀察、對比體會后歸納出來的。但是，在“學術”場合中，一些概念如果缺少了明白、準確的定義，就有被混淆的可能。如空間、函數(shù)、群的概念，是在數(shù)學研究中構造出來的思維對象，不是現(xiàn)實對象，學生缺乏感受，就要利用定義來表達。所以，學校中數(shù)學教學仍然不能脫離定義。3.2定義是概念建構的腳手架定義在邏輯上是正確的，然而它并未因此顯示出對象真正的實在性，為了掌握和評價概念，必定需要實在的直覺。數(shù)學教師不同于數(shù)學家的一個方面在于，我們不是要創(chuàng)造新的概念，而是要創(chuàng)造理解。善于將數(shù)學概念的抽象定義的含意轉換成易于學生理解和運用的適當?shù)男睦肀硐?，幫助學生靈活地掌握概念。四、數(shù)學認知結構的作用

Shemp(1971)提出，在數(shù)學學習中，圖式的基本認知作用有兩個：（1）使已學的知識得到完整的組織；（2）學習新知識的智力工具。DriscollM.P.指出[5]，圖式的作用有三個：（1）理解文本（言語陳述）；（2）理解事件并指導行動；（3）解決問題.而Piaget（1979）則從哲學的高度對一般性的結構作了較完整的分析。他認為，結構是由多種轉換關系構成的整體，整體綜合了全體元素的特性，并在轉換關系的支配下獲得自我調節(jié)，成為內部協(xié)調的、具有一定整體意義的系統(tǒng)，所以，結構的特征是整體性、轉換性和自我調節(jié)性。五、數(shù)學認知結構的優(yōu)化[2]1.評價數(shù)學認知結構的標準數(shù)學教育的目的是提高學生的數(shù)學問題解決能力.而數(shù)學問題解決能力的高低則取決于數(shù)學認知結構的優(yōu)劣。良好的數(shù)學認知結構的特征包括：（1）足夠多的觀念；（2）具備穩(wěn)定而又靈活的產(chǎn)生式；（3）層次分明的觀念網(wǎng)絡結構；（4）一定的問題解決策略的觀念.2.建構良好數(shù)學認知結構的教學策略