第4章 點的合成運動

第一篇理論力學(xué)第4章點的合成運動

第4章點的合成運動前面我們研究點的運動是相對于慣性參考坐標系，當所研究的點相對于不同參考坐標系運動時（即它們之間存在相對運動），就形成了點的合成運動。本節(jié)主要學(xué)習(xí)動點相對于不同參考坐標系運動時的運動方程、速度、加速度之間的幾何關(guān)系。

4.1點的運動合成在工程和實際生活中物體相對于不同參考系運動的例子很多，例如沿直線滾動的車輪，在地面上觀察輪邊緣上點M的運動軌跡是旋輪線，但車廂上觀察是一個圓，如圖4.1所示，又如在雨天觀察雨滴的運動，如果在地面上觀察（不計自然風(fēng)的干擾）雨滴鉛錘下落，而行駛的汽車上，雨滴在車窗上留下傾斜的痕跡，如圖4.2所示。

圖4.1點的合成運動實例圖4.2點的合成運動實例

從上面的兩個例子看出物體相對于不同參考系的運動是不同的，它們之間存在運動的合成和分解的關(guān)系。一般情況下，將研究的物體看成是動點，動點相對于兩個坐標系運動，其中建立在不動物體上的坐標系稱為定參考坐標系（簡稱定系），如建立在地面上的坐標系。另一個坐標系是相對定參考坐標系的運動坐標系，稱為動參考坐標系（簡稱動系）。動點相對于定系運動可以看成是動點相對于動系的運動和動系相對定系的運動的合成。上面的例子中，定系建立在地面上，動點的運動軌跡是旋輪線，動系建立在車廂上，點相對于動系的運動軌跡是一個圓，而車廂是作平移的運動。即動點的旋輪線可以看成圓的運動和車廂平移運動的合成。

研究點的合成運動必須要選定一個動點、兩個參考坐標系，三種運動，即一點、兩系三運動。一點即所研究的動點（運動物體上的點）；兩系即動系（與動點有相對運動）和定系；三運動即絕對運動、相對運動和牽連運動。下面說明一下這三個運動：絕對運動即動點相對于定參考坐標系的運動；相對運動即動點相對于動參考坐標系的運動；牽連運動即動系相對于定系的運動。一般來講，絕對運動看成是運動的合成，相對運動和牽連運動看成是運動的分解，合成與分解是研究點的合成運動的兩個方面，切不可孤立看待，必須用聯(lián)系的觀點去學(xué)習(xí)。

動點的絕對運動、相對運動和牽連運動之間的關(guān)系可以通過動點在定參考坐標系和動參考坐標系中的坐標變換得到。以平面運動為例，設(shè)為定系，為動系，為動點，如圖4.3所示，圖4.3坐標變換關(guān)系M點絕對運動方程為

（4-1）M點相對運動方程為

（4-2）牽連運動是動系相對于定系的運動，其運動方程為

（4-3）由圖4-3得坐標變換

（4-4）由此可見，絕對運動是由相對運動和牽連運動合成的。

例題4-1半徑為r的輪子沿直線軌道無滑動地滾動，如圖4.4所示，已知輪心C的速度為

，試求輪緣上的點M絕對運動方程和相對輪心C的運動方程和牽連運動方程。圖4.4

解：沿輪子滾動的方向建立定系oxy，初始時設(shè)輪緣上的點M位于y軸上Mo處。在圖示瞬時，點M和輪心C的連線與CH所的夾角為

在輪心C建立動系

，點M的相對運動方程為

（1）點M相對運動軌跡方程為

（2）由式（2）知點M的相對運動軌跡為圓。牽連運動為動系

相對于定系oxy的運動，其牽連運動方程為

（3）其中，由于動系作平移，因此動系坐標軸

與定系坐標軸的夾角

。

由式(4-4)得點M絕對運動方程為

（4）點M的絕對運動軌跡為式（4）表示的旋輪線。例題4-2用車刀切削工件直徑的端面時，車刀沿水平軸z作往復(fù)的運動，如圖4.5所示。設(shè)定系為oxyz，刀尖在oxy面上的運動方程為

，工件以勻角速度繞z軸轉(zhuǎn)動，動系建立在工件上為

，試求刀尖在工件上畫出的痕跡。

圖4.5解：由題意知，刀尖為動點，刀尖在工件上畫出的痕跡為動點相對運動軌跡。由圖4.5得動點相對運動方程為xyy'x'OM

削去時間t，得動點相對運動軌跡方程為則刀尖在工件上畫出的痕跡為圓。注意：若求三種運動的速度之間的關(guān)系，最直接的方法是式（4-4）對時間求導(dǎo)，即可求出點的相對速度、牽連速度的絕對速度三者之間的關(guān)系。

在了解上述三個運動的基礎(chǔ)上，下面研究點的三個速度。動點的絕對速度即絕對運動所對應(yīng)的速度，用表示；動點的相對速度即相對運動所對應(yīng)的速度，用表示；動點的牽連速度即牽連點的速度，用表示。所謂牽連點即動系上與動點重合的點。下面分析點的絕對速度、相對速度和牽連速度三者之間的關(guān)系。圖4.6三種運動中矢徑的關(guān)系

如圖圖4.6所示，設(shè)為定系，為動系，M為動點。動系的坐標原點在定系中的矢徑為，動點M在定系上的矢徑為，動點M在動系上的矢徑為，動系坐標的三個單位矢量為，，，牽連點為（動系上與動點重合的點）在定系上的矢徑為，有如下關(guān)系：

（4-5）

（4-6）

（4-7）動點M的絕對速度為

（4-8）動點M的相對速度為

（4-9）將式（4-6）和（4-7）代入（4-5）中，因牽連點是動系上的一個確定點，因此的三個坐標，，是常量，得牽連速度

（4-10）從而得相對速度、牽連速度的絕對速度三者之間的關(guān)系：

（4-11）

式（4-11）即為點的速度合成定理的公式表述。點的速度合成定理：在任一瞬時，動點的絕對速度等于在同一瞬時的相對速度和牽連速度的矢量和?；蛘哒f，點的相對速度、牽連速度、絕對速度三者之間滿足平行四邊形合成法則，即絕對速度由相對速度和牽連速度所構(gòu)成平行四邊形對角線所確定。應(yīng)當注意：（1）三種速度有三個大小和三個方向共六個要素，必須已知其中四個要素，才能求出剩余的兩個要素。因此只要正確地畫出上面三種速度的平行四邊形，即可求出剩余的兩個要素。（2）動點和動系的選擇是關(guān)鍵，一般不能將動點和動系選在同一個參考體上。（3）動系的運動是任意的運動，可以是平動、轉(zhuǎn)動或者是較為復(fù)雜運動。

例題4-3汽車以速度

沿直線的道路行駛，雨滴以速度鉛直下落，如圖4.7所示，試求雨滴相對于汽車的速度。圖4.7

解：（1）選擇動點、動系動點：淋在車上的雨滴M；定系:建立在地面上(以后不特殊說明定系都建立在地面上)；動系:建立在汽車上。

（2）分析三種運動及速度絕對運動：直線運動，即雨滴的運動。其絕對速度為牽連運動：平動，即汽車的運動。牽連速度相對運動：雨滴相對于汽車的運動，這是未知的，也是要求的。（3）作速度的平行四邊形由于絕對速度和牽連速度的大小和方向都是已知的，如圖4-7所示，只需將速度和矢量的端點連線便可確定雨滴相對于汽車的速度。故設(shè)雨滴相對于汽車速度與鉛垂線的夾角為

例題4-4如圖4.8所示曲柄滑道機構(gòu)，T字形桿BC部分處于水平位置，DE部分處于鉛直位置并放在套筒A中。已知曲柄OA以勻角速度

繞O軸轉(zhuǎn)動，OA=r=10cm，試求當曲柄OA與水平線的夾角

、

、

、

時，T形桿的速度

。圖4.8

解：（1）選擇動點、動系動點：套筒A；動系：T字形桿；

（2）運動及速度分析絕對運動：圓周運動，即套筒A的運動。絕對速度大小為

絕對速度的方向垂直于曲柄OA沿角速度

的方向。牽連運動：直線運動，即T字形桿的運動。牽連速度為

。相對速度：直線運動，即套筒A相對T字形桿的運動，

。（3）作速度的平行四邊形速度關(guān)系如圖（4.8）所示，即將已知條件代入得

：

：

：

：

例題4-5曲柄OA以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動，其上套有小環(huán)M，而小環(huán)M又在固定的大圓環(huán)上運動，大圓環(huán)的半徑為R，如圖4.9所示。試求當曲柄與水平線成的角

時，小環(huán)M的絕對速度和相對曲柄OA的相對速度。解：（1）選擇動點、動系動點：小環(huán)M。動系：曲柄OA。（2）分析三種運動及速度，小環(huán)M的絕對運動是在大圓上的運動，因此小環(huán)M絕對速度垂直于大圓的半徑R；小環(huán)M的相對運動是在曲柄OA上的直線運動，因此小環(huán)M相對速度沿曲柄OA并指向O點，牽連運動為曲柄OA的定軸轉(zhuǎn)動，小環(huán)M的牽連速度垂直于曲柄OA，如圖4.9所示，作速度的平行四邊形。即

圖4.9小環(huán)M的牽連速度為小環(huán)M的絕對速度為小環(huán)M的相對速度為

例題4-6如圖7.10a所示，半徑為R，偏心距為e的凸輪，以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動，并使滑槽內(nèi)的直桿AB上下移動，設(shè)OAB在一條直線上，輪心C與O軸在水平位置，試求在圖示位置時，桿AB的速度。(b)

圖4-10a圖4-10b解：由于桿AB作平移，所以研究桿AB的運動只需研究其上A點的運動即可。因此選桿AB上的A點為動點，凸輪為動系，地面為定系。

動點A的絕對運動是直桿AB的上下直線運動；相對運動為凸輪的輪廓線，即沿凸輪邊緣的圓周運動；牽連運動為凸輪繞O軸的定軸轉(zhuǎn)動，作速度的平行四邊形如圖4.10a所示。動點A的牽連速度為動點A的絕對速度為動點和動系的選擇可以是任意的。本題的另一種解法是：選凸輪邊緣上的點A為動點，桿AB為動系，地面為定系。動點A的絕對運動是凸輪繞O軸的定軸轉(zhuǎn)動，絕對速度的方向垂直于OA，水平向右，絕對速度的大小為

動點A的相對運動為沿凸輪邊緣的曲線運動，相對速度的方向沿凸輪邊緣的切線，牽連運動為直桿AB上下的直線運動，作速度的平行四邊形如圖4.10b所示。桿AB的速度為動點A的牽連速度，即應(yīng)當注意：（1）動點和動系不能選在同一個物體上；（2）動點和動系應(yīng)選在容易判斷其相對運動的物體上；否則會使問題變得混亂。（3）無特殊說明，定系應(yīng)選在地面上。

4.3點的加速度合成定理

4.3.1牽連運動為平移動時點的加速度合成定理

在圖4.11中，設(shè)

為定系，為動系且作平移，為動點。動點的相對速度為圖4.11牽連運動為平移時點的加速度合成

（4-12）動點的相對加速度為

（4-13）

其中，，，為動系坐標，，的單位矢量，由于動系作平移，故，，為常矢量，對時間的導(dǎo)數(shù)均為零，

。將速度合成定理式（4-11）對時間求導(dǎo)得動點的絕對加速度為

（4-14）牽連運動為水平移動時點的加速度合成定理：在任一瞬時，動點的絕對加速度等于在同一瞬時動點相對加速度和牽連加速度的矢量和。它與速度合成定理一樣滿足平行四邊形合成法則，即絕對加速度位于相對加速度和牽連加速度所構(gòu)成平行四邊形對角線位置。在求解時也要畫加速度平行四邊形來確定三種加速度之間的關(guān)系。

第4章點的合成運動例題4-7如圖4.12a所示，曲柄OA以勻角速度繞定軸O轉(zhuǎn)動，丁字形桿BC沿水平方向往復(fù)平動，滑塊A在鉛直槽DE內(nèi)運動，OA=r，曲柄OA與水平線夾角為

，試求圖示瞬時，桿BC的速度及加速度

。圖4.12a圖4.12b圖4.12c

解：滑塊A為動點，丁字形桿BC為動系，地面為定系。動點A的絕對運動是曲柄OA繞O軸的定軸轉(zhuǎn)動；相對運動為滑塊A在鉛直槽DE內(nèi)的直線運動；牽連速度為丁字形桿BC沿水平方向的往復(fù)平移

第4章點的合成運動（1）求桿BC的速度作速度的平行四邊形，如圖4.12b所示。動點A的絕對速度為桿BC的速度為（2）求桿BC的加速度作加速度的平行四邊形，如圖4.12c所示。動點A的絕對加速度為桿BC的加速度為

例題4-8如圖4.13a所示的平面機構(gòu)中，直桿O1A、O2B平行且等長，分別繞O1、O2軸轉(zhuǎn)動，直桿的A、B連接半圓形平板，動點M沿半圓形平板ABD邊緣運動，起點為點B。已知O1A=O2B=18cm，AB=O1O2=2R，R=18cm，

，

，試求當時，動點M的絕對速度和絕對加速度。

圖4.13a圖4.13b

圖4.13c

解：根據(jù)題意，選半圓形平板ABD為動系，地面為定系。由于直桿O1A、O2B平行且等長，則動系A(chǔ)BD作平移，動點M的牽連速度為

（cm/s）動點M牽連速度的方向垂直于直桿O1A，沿角速度的轉(zhuǎn)動方向。由于動系作曲線運動，動點M的牽連加速度分為切向和法向加速度，即

（cm/s2）動點M的相對速度為同理，動點M的相對加速度也分為切向和法向加速度，即當

時，動點M的相對軌跡為

（cm）而

（cm）則當

時，動點M恰巧運動到半圓形平板ABD最高點，動點M相對速度的方向為水平向左，即

（cm/s）

（cm/s2）

（cm/s2）此時直桿O1A與水平線的夾角為

（1）動點M的絕對速度如圖4.13b所示，由速度合成定理的矢量形式向直角坐標軸x、y上投影，得動點M的絕對速度在坐標軸上的投影為

（cm/s）

（cm/s）從而得動點M的絕對速度為

（cm/s）

（2）動點M的絕對速度如圖4.13c所示，由牽連運動為平移時點的加速度合成定理的矢量形式向直角坐標軸x、y上投影，得動點M的絕對加速度在坐標軸上的投影為

（cm/s2）

（cm/s2）從而得動點M的絕對加速度為

（cm/s2）

4.3.2牽連運動為定軸轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理

設(shè)動系

相對于定系

作定軸轉(zhuǎn)動，角速度矢量為，角加

速度矢量為，如圖4.14所示，動系坐標軸的三個單位矢量為，

，，在定系

中是變矢量，對時間的導(dǎo)數(shù)矢量端點的速度.圖4.14牽連運動為定軸轉(zhuǎn)動時點的加速度合成即

（4-15）

動點M的絕對速度為動點M的牽連速度為動點M的相對速度為動點M的牽連加速度為動點M的相對加速度為由速度合成定理

（4-16）

式（4-16）對時間求導(dǎo)，得動點M的絕對速度為即

（4-17）

（4-18）式中，稱為科氏加速度，是科利澳里加速度在1832年給出的，當動系作平移時，其角速度矢量為

，科氏加速度

，式（4-18）就轉(zhuǎn)化為式（4-14）。

式（4-18）為牽連運動為定軸轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理：在任一瞬時，動點的絕對加速度等于在同一瞬時動點相對加速度、牽連加速度和科氏加速度的矢量和。牽連運動為定軸轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理適合動系作任何運動的情況，此時動系的角速度矢量可以分解為定系三個軸方向的角速度矢量，，即可。例題4-9刨床的急回機構(gòu)如圖4.15a所示。曲柄OA與滑塊A用鉸鏈連接，曲柄OA以勻角速度繞固定軸O轉(zhuǎn)動，滑塊A在搖桿O1B上滑動，并帶動搖桿O1B繞固定軸O1轉(zhuǎn)動。設(shè)曲柄OA=r，兩個軸間的距離OO1=l，試求當曲柄OA在水平位置時，搖桿O1B的角速度和角加速度。

圖4.15a圖4.15b

解：根據(jù)題意，選滑塊A為動點，搖桿O1B為動系，地面為定系。動點A絕對運動為曲柄OA的圓周運動，動點A相對運動沿搖桿O1B的直線運動，牽連運動為搖桿O1B繞固定軸O1轉(zhuǎn)動。（1）求搖桿O1B的角速度當曲柄OA在水平位置時，動點A的絕對速度沿圓周的切線鉛錘向上，動點A的相對速度沿搖桿O1B，牽連運動垂直搖桿O1B，作速度的平行四邊形，如圖4.15a所示。動點A的絕對速度為

（1）動點A的牽連速度為

（2）利用速度的平行四邊形的三角關(guān)系有

（3）其中

，

，

，

將式（1）和式（2）代入式（3）得搖桿O1B繞固定軸O1轉(zhuǎn)動的角速度，

（4）轉(zhuǎn)向與曲柄OA的角速度相同。動點A的相對速度為

（5）將式（1）代入式（5）得

（6）（2）求搖桿O1B的角加速度由于動系作定軸轉(zhuǎn)動，因此求搖桿O1B的角加速度，應(yīng)選擇牽連運動為定軸轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理。即

（7）

動點A的絕對加速度分為切向加速度和法向加速度，但由于曲柄OA以勻角速度繞固定軸O轉(zhuǎn)動，所以其角加速度

，則有

（8）動點A的牽連加速度為

（9）

（10）動點A的相對加速度大小未知，方向沿搖桿O1B是已知的。動點A的科氏加速度由式（4-18）的矢量形式，大小為

（11）將式（4）和式（6）代入式（11）得

（12）

方向按右手螺旋法則來確定，如圖4.15b所示。式（7）的具體表達式為

（13）由圖4.15b所示，將式（13）向軸投影，得

（14）將式（8）、（10）和（11）代入式（14）得搖桿O1B的角加速度，即負號說明原假設(shè)方向與實際相反，如圖4.15b所示，應(yīng)為逆時針轉(zhuǎn)向。例題4-10例題4-6中求桿AB的加速度。圖4.16解：選桿AB上的A點為動點，凸輪為動系，地面為定系。應(yīng)用牽連運動為定軸轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理，即

（1）

下面分析加速度：動點A的絕對加速度：由于動點A的絕對運動是作直線運動，故其加速度的方向是已知的，大小是未知的。動點A的相對加速度：動點A的相對運動是沿凸輪邊緣的圓周運動，故其加速度分為切向加速度和法向加速度。由前面例題求得相對速度為

（2）則相對加速度的法向加速度為

（3）相對加速度的切向加速度的方向沿圓輪的切線，指向任意；的大小是未知的。牽連加速度：因為凸輪以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動，所以牽連加速度為法向加速度，切向加速度，即

（4）科氏加速度：由式（4-18）的矢量形式得其大小為

（5）將式（2）代入式（5）得

（6）方向按右手螺旋法則來確定，如圖4.16所示。式（1）的具體表達式為

（7）由圖4.16所示，將式（7）向x軸投影，得

（8）其中，

，將式（3）、（4）和（6）代入式（8）

得桿AB的加速度為

4.4本章小結(jié)

1.建立兩種坐標系定參考坐標系：建立在不動物體上的坐標系，簡稱定系。動參考坐標系：建立在運動物體上的坐標系，（簡稱動系）。2.動點的三種運動絕對運動：動點相對于定參考坐標系運動。相對運動：動點相對于動參考坐標系運動。牽連運動：動參考坐標系相對于定參考坐標系的運動。3.點的速度合成定理在任一瞬時，動點的絕對速度等于在同一瞬時動點的相對速度和牽連速度的矢量和。

4.點的加速度合成定理（1）牽連運動為平移時點的加速度合成定理在任一瞬時，動點的絕對加速度等于在同一瞬時動點相對加速度和牽連加速度的矢量和。在應(yīng)用速度合成定理和牽連運動為平移時點的加速度合成定理時，應(yīng)畫速度合成和加速度合成的平行四邊形，使絕對速度和絕對加速度位于平行四邊形對角線的位置。只有畫出平行四邊形，才能確定三種運動的關(guān)系。（2）牽連運動為定軸轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理在任一瞬時，動點的絕對加速度等于在同一瞬時動點的相對加速度、牽連加速度和科氏加速度的矢量和。在應(yīng)用牽連運動為定軸轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理時，一般采用投影法求解。

4.4習(xí)題

4-1.如圖所示，點M在平面

中運動，運動方程為

t以s計，、以mm計，平面

繞O軸轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動方程為

（rad），試求點M的相對運動軌跡和絕對運動軌跡。4-2.如圖所示，汽車A沿半徑為150m的圓弧道路，以勻速=45km/h行駛，汽車沿B直線道路行駛，圖示瞬時汽車B的速度為=70km/h，加速度為=－3m/s2。試求汽車A相對汽車B的速度和加速度。

習(xí)題4-1圖習(xí)題4-2圖

4-3.如圖所示的兩種機構(gòu)（a）和（b）中，已知

，試求圖示瞬時桿

的角速度。

習(xí)題4-3圖

習(xí)題4-4圖4-4.如圖所示的機構(gòu)中，桿AB以勻速v沿鉛直導(dǎo)槽向上運動，搖桿OC穿過套筒A，OC=a，導(dǎo)槽到O的水平距離為l