2017-2018版高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1.2瞬時(shí)變化率-導(dǎo)數(shù)（一）學(xué)案版2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1．1。2瞬時(shí)變化率-—導(dǎo)數(shù)(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合實(shí)際背景理解函數(shù)的瞬時(shí)變化率——導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義.2。會求簡單函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)及切線方程.3。理解導(dǎo)數(shù)與平均變化率的區(qū)別與聯(lián)系．知識點(diǎn)一曲線上一點(diǎn)處的切線思考1曲線的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)嗎？思考2曲線上在某一點(diǎn)處的切線的含義是什么?設(shè)Q為曲線C上不同于P的一點(diǎn)，這時(shí),直線PQ稱為曲線的割線，隨著點(diǎn)Q沿曲線C向點(diǎn)P運(yùn)動，割線PQ在點(diǎn)P附近越來越逼近曲線C.當(dāng)點(diǎn)Q無限逼近點(diǎn)P時(shí)，直線PQ最終就成為在點(diǎn)P處最逼近曲線的直線l，這條直線l稱為曲線在點(diǎn)P處的切線．知識點(diǎn)二瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度思考運(yùn)動物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)加速度為0，那么該時(shí)刻物體是否一定停止了運(yùn)動？1．如果Δt無限趨近于0時(shí)，運(yùn)動物體位移S（t）的平均變化率eq\f(St0＋Δt－St0,Δt）無限趨近于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)稱為物體在t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度，即位移對于時(shí)間的瞬時(shí)變化率．2．如果當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，運(yùn)動物體速度v（t）的平均變化率eq\f（vt0＋Δt－vt0,Δt）無限趨近于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)稱為物體在t＝t0時(shí)的瞬時(shí)加速度，即速度對于時(shí)間的瞬時(shí)變化率．知識點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)及其幾何意義1．導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)y＝f（x)在區(qū)間（a,b）上有定義，x0∈(a,b)，若Δx無限趨近于0時(shí)，比值eq\f(Δy，Δx）＝eq\f（fx0＋Δx－fx0，Δx）無限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并稱該常數(shù)A為函數(shù)f(x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)．2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)f′（x0）的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0,f（x0）)處的切線的斜率，切線PT的方程是y－f（x0）＝f′（x0）(x－x0）.類型一求瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度例1已知質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動速度與運(yùn)動時(shí)間的關(guān)系為v＝3t2＋2（速度單位：cm/s，時(shí)間單位：s）．(1)當(dāng)t＝2,Δt＝0。01時(shí),求eq\f(Δv,Δt)；(2）求質(zhì)點(diǎn)M在t＝2時(shí)的瞬時(shí)加速度．反思與感悟（1)求瞬時(shí)速度的關(guān)鍵在于正確表示“位移的增量與時(shí)間增量的比值”,求瞬時(shí)加速度的關(guān)鍵在于正確表示“速度的增量與時(shí)間增量的比值”，注意二者的區(qū)別．(2)求瞬時(shí)加速度：①求平均加速度eq\f（Δv，Δt)；②令Δt→0，求出瞬時(shí)加速度．跟蹤訓(xùn)練1質(zhì)點(diǎn)M按運(yùn)動方程s(t)＝at2＋1做直線運(yùn)動(位移單位：m,時(shí)間單位：s），若質(zhì)點(diǎn)M在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s，求常數(shù)a的值．類型二求曲線在某點(diǎn)處的切線方程例2已知曲線C：y＝eq\f（1，3）x3＋eq\f(4,3)。（1)求曲線C在橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)處的切線方程；（2）第（1)小題中的切線與曲線C是否還有其他公共點(diǎn)?反思與感悟（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，再由直線方程的點(diǎn)斜式便可求出曲線在該點(diǎn)處的切線方程．注意若在點(diǎn)（x0，y0)處切線的傾斜角為eq\f(π，2)，此時(shí)所求的切線平行于y軸，所以直線的切線方程為x＝x0.(2）曲線的切線與曲線的交點(diǎn)可能不止一個(gè)．跟蹤訓(xùn)練2曲線y＝x3＋11在點(diǎn)P（1，12）處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是________．類型三求切點(diǎn)的坐標(biāo)例3已知拋物線y＝2x2＋1分別滿足下列條件，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)．(1)切線的傾斜角為45°；(2）切線平行于直線4x－y－2＝0；(3）切線垂直于直線x＋8y－3＝0.反思與感悟根據(jù)切線斜率求切點(diǎn)坐標(biāo)的步驟：（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)（x0，y0）；(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；(3）求切線的斜率f′(x0)；（4)由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于x0的方程,解方程求x0；(5)點(diǎn)(x0，y0）在曲線f（x)上，將x0代入求y0得切點(diǎn)坐標(biāo)．跟蹤訓(xùn)練3已知直線l：y＝4x＋a與曲線C：y＝2x2相切，求a的值及切點(diǎn)坐標(biāo)．1．若做直線運(yùn)動的物體的速度（單位：m/s）與時(shí)間（單位：s)的關(guān)系為v（t)＝t2－2，則在前4s內(nèi)的平均速度是________m/s，在t＝4s時(shí)的瞬時(shí)速度是________m/s。2．已知曲線y＝2x2上一點(diǎn)A（1，2）,則A處的切線斜率為________．3．若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0,b）處的切線方程是x－y＋1＝0,則a＝________，b＝________.4．如圖，函數(shù)y＝f（x）的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y＝－x＋8，則f(5)＋f′（5）＝________.1．平均變化率和瞬時(shí)變化率的關(guān)系平均變化率eq\f(Δy,Δx）＝eq\f（fx0＋Δx－fx0,Δx），當(dāng)Δx趨于0時(shí)，它所趨于的一個(gè)常數(shù)就是函數(shù)在x0點(diǎn)的瞬時(shí)變化率．即有:Δx趨于0是指自變量間隔Δx越來越小,能達(dá)到任意小的間隔，但始終不能為0，即對于瞬時(shí)變化率，我們通過減小自變量的改變量以致趨于零的方式，實(shí)現(xiàn)用割線斜率“逼近”切線斜率，用平均速度“逼近"瞬時(shí)速度．一般地，可以用平均變化率“逼近”瞬時(shí)變化率．2．不管是求切線的斜率、瞬時(shí)速度和瞬時(shí)加速度，還是求實(shí)際問題中的瞬時(shí)變化率，它們的解題步驟是一樣的：(1）計(jì)算Δy；(2）求eq\f(Δy，Δx);(3)看Δx→0時(shí)，eq\f（Δy，Δx)無限趨近于哪個(gè)常數(shù)．提醒：完成作業(yè)1.1.2(一)

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考1切線與曲線不一定只有一個(gè)公共點(diǎn),如圖，曲線C在點(diǎn)P處的切線l與曲線C還有一個(gè)公共點(diǎn)Q.思考2曲線上某一點(diǎn)處的切線,其含義是以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線．知識點(diǎn)二思考不是．瞬時(shí)加速度刻畫的是速度在某一時(shí)刻的變化快慢，瞬時(shí)加速度為0,并不是速度為0.題型探究例1解eq\f(Δv，Δt)＝eq\f(vt＋Δt－vt,Δt)＝eq\f(3t＋Δt2＋2－3t2＋2,Δt)＝6t＋3Δt.（1)當(dāng)t＝2，Δt＝0.01時(shí)，eq\f（Δv，Δt）＝6×2＋3×0.01＝12.03（cm/s2）．（2）當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，6t＋3Δt無限趨近于6t，則質(zhì)點(diǎn)M在t＝2時(shí)的瞬時(shí)加速度為12cm/s2。跟蹤訓(xùn)練1解質(zhì)點(diǎn)M在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度即為函數(shù)在t＝2處的瞬時(shí)變化率．∵質(zhì)點(diǎn)M在t＝2附近的平均變化率eq\f（Δs，Δt)＝eq\f(s2＋Δt－s2,Δt）＝eq\f(a2＋Δt2－4a，Δt)＝4a＋aΔt，從而當(dāng)Δt→0時(shí)，4a＋aΔt→4a，∴4a＝8，即a＝2。例2解(1）eq\f（Δy,Δx)＝eq\f（［\f(1,3）2＋Δx3＋\f(4,3）］－\f(1，3）×23＋\f（4,3），Δx）＝4＋2Δx＋eq\f(Δx2，3），當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(Δy，Δx)→4。∴曲線C在橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)處切線的斜率為4,又切點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y＝eq\f（1，3）×23＋eq\f(4,3)＝4，∴所求切線方程為y－4＝4（x－2），即4x－y－4＝0.（2)由題意得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－y－4＝0，,y＝\f(1,3)x3＋\f（4,3)，))得：x3－12x＋16＝0。可化為（x－2)2（x＋4）＝0，可得x＝2或x＝－4，當(dāng)x＝－4時(shí)，y＝－20。故切線與曲線C還有一個(gè)公共點(diǎn)(－4，－20）．跟蹤訓(xùn)練29例3解設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0）,則Δy＝2(x0＋Δx）2＋1－2xeq\o\al(2,0)－1＝4x0·Δx＋2（Δx)2，∴eq\f(Δy，Δx)＝4x0＋2Δx,當(dāng)Δx→0時(shí),eq\f(Δy,Δx）→4x0，即f′(x0)＝4x0.（1)∵拋物線的切線的傾斜角為45°，∴斜率為tan45°＝1，即f′（x0)＝4x0＝1，解得x0＝eq\f(1,4)，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(1，4)，eq\f(9，8））．（2）∵拋物線的切線平行于直線4x－y－2＝0，∴k＝4，即f′（x0）＝4x0＝4,解得x0＝1,∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3）．(3)∵拋物線的切線與直線x＋8y－3＝0垂直,∴k·(－eq\f(1,8))＝－1，即k＝8，∴f′（x0）＝4x0＝8，解得x0＝2，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，9)．跟蹤訓(xùn)練3解設(shè)直線l與曲線C相切于點(diǎn)（x0,y0)，∵eq\f（Δy，Δx)＝eq\f(2x0＋Δx2－2x\o\al（2,0）,Δx）＝4x0＋2Δx，當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f（Δy,Δx)→4x0。