2018屆數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題七概率與統(tǒng)計課時作業(yè)（十八）概率、隨機變量及其分布列理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE17學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時作業(yè)（十八）概率、隨機變量及其分布列1．(2017·山西運城4月模擬）已知五條長度分別為1,3,5，7，9的線段，現(xiàn)從這五條線段中任取三條，則所取三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為()A。eq\f（1，10）B.eq\f(3，10)C.eq\f(1,2）D.eq\f(7，10)解析：從五條中任取三條，共有Ceq\o\al(3,5)＝10種情況．其中僅3、5、7,3、7、9,5、7、9三種情況可以構(gòu)成三角形，故構(gòu)成三角形的概率P＝eq\f(3，10）.答案：B2．(2017·洛陽市第一次統(tǒng)一考試)若θ∈[0,π]，則sin(θ＋eq\f(π，3）)>eq\f（1，2）成立的概率為（）A。eq\f(1，3）B.eq\f(1，2)C。eq\f（2，3)D．1解析：依題意，當(dāng)θ∈[0，π]時，θ＋eq\f(π,3）∈［eq\f(π,3），eq\f(4π，3)],由sin(θ＋eq\f(π,3））〉eq\f(1，2）得eq\f（π，3）≤θ＋eq\f(π，3）<eq\f（5π,6)，0≤θ〈eq\f(π,2).因此，所求的概率等于eq\f(π,2)÷π＝eq\f(1，2)，選B。答案：B3．拋擲一枚均勻的骰子（骰子的六個面上分別標(biāo)有1,2,3,4，5，6個點)一次，觀察擲出向上的點數(shù),設(shè)事件A為擲出向上為偶數(shù)點，事件B為擲出向上為3點，則P(A∪B)＝()A。eq\f（1，3)B。eq\f(2,3)C.eq\f（1,2)D。eq\f(5,6)解析:事件A為擲出向上為偶數(shù)點，所以P（A）＝eq\f(1,2)。事件B為擲出向上為3點，所以P(B）＝eq\f(1，6）,又事件A，B是互斥事件，事件（A∪B）為事件A，B有一個發(fā)生的事件，所以P(A∪B)＝eq\f（2，3).答案：B4．(2016·廣州市綜合測試一）在平面區(qū)域｛(x,y)|0≤x≤1，1≤y≤2｝內(nèi)隨機投入一點P，則點P的坐標(biāo)(x,y)滿足y≤2x的概率為(）A.eq\f（1，4）B。eq\f(1,2)C。eq\f(2，3)D。eq\f（3,4)解析:依題意作出圖象如圖，則P（y≤2x)＝eq\f(S陰影,S正方形）＝eq\f（\f(1，2)×\f(1，2)×1，12)＝eq\f(1,4）。答案：A5．（2017·武漢市武昌區(qū)調(diào)研）在區(qū)間[0，1］上隨機取一個數(shù)x,則事件“l(fā)og0。5（4x－3）≥0”發(fā)生的概率為()A.eq\f（3,4）B。eq\f(2,3)C.eq\f(1,3）D。eq\f（1,4)解析：因為log0。5（4x－3)≥0,所以0〈4x－3≤1，即eq\f（3,4）<x≤1，所以所求概率P＝eq\f(1－\f(3,4)，1－0)＝eq\f（1，4)。答案：D6．（2017·安徽省兩校階段性測試)將三顆骰子各擲一次，記事件A＝“三個點數(shù)都不同”，B＝“至少出現(xiàn)一個6點”,則條件概率P(A｜B),P（B|A)分別是()A.eq\f（60,91),eq\f（1,2)B。eq\f（1，2),eq\f(60,91)C。eq\f（5，18)，eq\f（60，91）D.eq\f（91,216）,eq\f(1，2）解析：P（A｜B）的含義是在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率,即在“至少出現(xiàn)一個6點"的條件下,“三個點數(shù)都不相同"的概率，因此“至少出現(xiàn)一個6點”有6×6×6－5×5×5＝91種情況,“至少出現(xiàn)一個6點，且三個點數(shù)都不相同”共有Ceq\o\al（1,3)×5×4＝60種情況，所以P(A｜B)＝eq\f（60,91).P(B｜A）的含義是在事件A發(fā)生的情況下，事件B發(fā)生的概率,即在“三個點數(shù)都不相同"的情況下，“至少出現(xiàn)一個6點"的概率，所以P（B|A）＝eq\f（1，2）.故選A.答案：A7．（2017·山西省四校聯(lián)考)甲、乙兩人有三個不同的學(xué)習(xí)小組A，B,C可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學(xué)習(xí)小組，則兩人參加同一個小組的概率為(）A.eq\f（1,3）B。eq\f(1，4)C.eq\f(1，5）D。eq\f（1，6)解析：∵甲、乙兩人參加學(xué)習(xí)小組的所有事件有(A，A）,(A，B），(A,C)，(B，A)，（B，B)，(B，C)，（C,A)，(C，B），(C，C)，共9個,其中兩個參加同一個小組的事件有（A，A），(B，B)，(C，C)，共3個，∴兩人參加同一個小組的概率為eq\f(3，9）＝eq\f（1,3).答案:A8．(2017·廣州市五校聯(lián)考）ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點，在長方形ABCD內(nèi)隨機取一點,取到的點到O的距離大于1的概率為（)A.eq\f（π，4)B．1－eq\f(π，4）C.eq\f（π,8）D．1－eq\f(π,8）解析:如圖,依題意可知所求概率為圖中陰影部分與長方形的面積比，即所求概率P＝eq\f（S陰影,S長方形ABCD）＝eq\f(2－\f（π，2）,2)＝1－eq\f(π,4)。答案:B9．一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點M是AB的中點，一只蝴蝶在幾何體ADF－BCE內(nèi)自由飛翔，則它飛入幾何體F－AMCD內(nèi)的概率為()A.eq\f（3，4）B。eq\f（2,3)C.eq\f(1，3）D。eq\f（1,2)解析：因為VF－AMCD＝eq\f（1,3)×SAMCD×DF＝eq\f(1,4）a3，VADF－BCE＝eq\f（1,2)a3,所以它飛入幾何體F－AMCD內(nèi)的概率為eq\f（\f（1，4）a3，\f(1，2）a3）＝eq\f(1,2).答案：D10．某同學(xué)同時擲兩顆骰子,得到點數(shù)分別為a，b，則橢圓eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2，b2)＝1的離心率e>eq\f（\r(3),2）的概率是（)A。eq\f(1,18)B.eq\f（5，36)C。eq\f(1，6）D.eq\f（1，3）解析：當(dāng)a>b時，e＝eq\r（1－\f（b2,a2）)>eq\f（\r(3)，2）?eq\f（b,a)〈eq\f(1，2)?a>2b，符合a〉2b的情況有：當(dāng)b＝1時，有a＝3,4,5,6四種情況；當(dāng)b＝2時，有a＝5，6兩種情況，總共有6種情況，則概率是eq\f(6，36)＝eq\f(1,6）。同理當(dāng)a〈b時,e〉eq\f（\r（3),2）的概率也為eq\f(1,6），綜上可知e>eq\f(\r（3),2）的概率為eq\f（1,3）.答案：D11．(2017·全國卷Ⅱ）一批產(chǎn)品的二等品率為0。02，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件,有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX＝________.解析：依題意，X～B（100，0.02），所以DX＝100×0。02×（1－0。02）＝1。96.答案：1.9612.如圖，點A的坐標(biāo)為（1,0)，點C的坐標(biāo)為（2,4），函數(shù)f(x）＝x2。若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率等于________．解析：依題意知點D的坐標(biāo)為(1,4),所以矩形ABCD的面積S＝1×4＝4，陰影部分的面積S陰影＝4－eq\x(\i\in（1，2，）)x2dx＝4－eq\f（1，3)x3｜eq\o\al（2，1）＝4－eq\f（7,3)＝eq\f（5，3），根據(jù)幾何概型的概率計算公式得，所求的概率P＝eq\f(S陰影,S)＝eq\f(\f(5,3），4）＝eq\f（5，12).答案：eq\f(5,12）13．（2017·福州市綜合質(zhì)量檢測）從集合M＝{（x,y）|(|x|－1)2＋（｜y|－1）2〈4，x，y∈Z｝中隨機取一個點P(x，y)，若xy≥k（k〉0)的概率為eq\f(6,25)，則k的最大值是________．解析：因為M＝｛(x,y）｜（｜x｜－1)2＋(｜y|－1)2<4，x，y∈Z}，所以M＝｛(x，y)｜｜x｜≤2，|y|≤2，x,y∈Z｝，所以集合M中元素的個數(shù)為5×5＝25。因為xy＝1的情況有2種，xy＝2的情況有4種，xy＝4的情況有2種，所以要使xy≥k(k>0）的概率為eq\f(6,25)，需1〈k≤2，所以k的最大值為2.答案:214．如圖,在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E,H分別是棱A1B1,D1C1上的點（點E與B1不重合)，且EH∥A1D1,過EH的平面與棱BB1，CC1相交，交點分別為F，G。設(shè)AB＝2AA1＝2a，EF＝a，B1E＝2B1F。在長方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機選取一點,則該點取自于幾何體A1ABFE解析：因為EH∥A1D1，所以EH∥B1C1所以EH∥平面BCC1B1。過EH的平面與平面BCC1B1交于FG,則EH∥FG，所以易證明幾何體A1ABFE－D1DCGH和EB1F－HC1P＝1－eq\f（V三棱柱,V長方體)＝1－eq\f（S△EB1F,S矩形ABB1A1）＝1－eq\f（\f（1,2）×\f(\r(5)，5)a×\f(2\r（5）,5）a,2a2）＝eq\f(9,10）。答案:eq\f(9，10）15．一個盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1,2,3,4；白色卡片3張,編號分別為2，3，4.從盒子中任取4張卡片（假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同）．(1)求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率；(2）在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設(shè)為X，求隨機變量X的分布列．解析：（1）由題意知，在7張卡片中，編號為3的卡片有2張,故所求概率為P＝1－eq\f(C\o\al(4，5）,C\o\al（4，7））＝1－eq\f(5,35)＝eq\f（6,7)。（2)由題意知，X的可能取值為1,2，3,4，且P(X＝1）＝eq\f（C\o\al(3，3),C\o\al(4,7）)＝eq\f(1,35），P(X＝2)＝eq\f(C\o\al（3,4），C\o\al(4，7))＝eq\f(4，35），P（X＝3）＝eq\f（C\o\al(3,5）,C\o\al(4，7）)＝eq\f（2,7），P（X＝4)＝eq\f（C\o\al(3,6),C\o\al(4，7））＝eq\f（4,7)，所以隨機變量X的分布列是X1234Peq\f（1,35)eq\f(4,35）eq\f（2，7）eq\f（4，7)16.（2017·新疆第二次適應(yīng)性檢測）2016年9月20日在烏魯木齊隆重開幕的第五屆中國—亞歐博覽會，其展覽規(guī)模為歷屆之最．按照日程安排，22日到25日為公眾開放日．某農(nóng)產(chǎn)品經(jīng)銷商決定在公眾開放日開始每天以每件50元購進(jìn)農(nóng)產(chǎn)品若干件，以80元一件銷售；若供大于求，剩余的農(nóng)產(chǎn)品當(dāng)天以40元一件全部退回；若供不應(yīng)求，則立即從其它地方以60元一件調(diào)劑．（1)若農(nóng)產(chǎn)品經(jīng)銷商一天購進(jìn)農(nóng)產(chǎn)品5件，求當(dāng)天的利潤y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：件,n∈N＊）的函數(shù)關(guān)系式；（2）農(nóng)產(chǎn)品經(jīng)銷商記錄了30天上述農(nóng)產(chǎn)品的日需求量n（單位:件）,整理得表：日需求量34567頻數(shù)231564若農(nóng)產(chǎn)品經(jīng)銷商一天購進(jìn)5件農(nóng)產(chǎn)品，以30天記錄的各日需求量發(fā)生的頻率作為概率,X表示當(dāng)天的利潤（單位：元)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．解析:（1）當(dāng)1≤n≤5時，y＝30n＋（5－n)×（－10)＝40n－50，當(dāng)n〉5時,y＝30×5＋（n－5）×20＝50＋20n，所以y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(40n－50，1≤n≤5,n∈N＊,50＋20n，n〉5,n∈N＊)).（2）由(1）得：日需求量為3時，頻數(shù)為2，利潤為70,日需求量為4時，頻數(shù)為3，利潤為110,日需求量為5時,頻數(shù)為15，利潤為150,日需求量為6時，頻數(shù)為6，利潤為170，日需求量為7時，頻數(shù)為4,利潤為190，所以X的取值為70，110，150,170，190，P(X＝70）＝eq\f(1,15），P(X＝110）＝eq\f（1,10),P(X＝150）＝eq\f(1,2）,P(X＝170)＝eq\f(1，5)，P（X＝190)＝eq\f（2，15),所以X的分布列為X70110150170190Peq\f(1，15)eq\f（1,10）eq\f(1,2)eq\f（1，5）eq\f(2,15)所以E（X)＝70×eq\f(1，15）＋110×eq\f（1,10)＋150×eq\f(1,2）＋170×eq\f（1，5)＋190×eq\f（2，15）＝150（元)．17．（2017·山東卷）在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1，B2，B3,B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．(1）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.解析：(1）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,則P(M）＝eq\f（C\o\al（4，8)，C\o\al（5，10)）＝eq\f(5，18).(2)由題意知X可取的值為:0，1,2，3,4,則P（X＝0）＝eq\f(C\o\al(5，6）,C\o\al(5，10）)＝eq\f(1，42)，P（X＝1）＝eq\f(C\o\al(4,6）C\o\al(1，4），C\o\al(5，10)）＝eq\f(5，21），P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(3，6)C\o\al(2，4）,C\o\al（5,10))＝eq\f(10,21)，P（X＝3)＝eq\f（C\o\al（2,6）C\o\al(3，4）,C\o\al(5，10)）＝eq\f(5，21），P（X＝4）＝eq\f（C\o\al（1,6)C\o\al(4,4）,C\o\al(5，10）)＝eq\f(1，42）。因此X的分布列為X01234Peq\f（1，42）eq\f（5,21）eq\f（10,21）eq\f(5,21）eq\f(1,42）X的數(shù)學(xué)期望是EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1）＋2×P(X＝2）＋3×P（X＝3）＋4×P(X＝4)＝0＋1×eq\f(5，21)＋2×eq\f（10,21)＋3×eq\f(5，21)＋4×eq\f（1,42）＝2.18．(2017·北京卷）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組,每組各50名，一組服藥，另一組不服藥．一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)