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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精8-學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精PAGE課時(shí)跟蹤檢測(cè)(十六)三角函數(shù)與解三角形1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a+b+c=8。(1)若a=2,b=eq\f(5,2),求cosC的值;(2)若sinA+sinB=3sinC,且△ABC的面積S=eq\f(9,2)sinC,求a和b的值.解:(1)由題意可知c=8-(a+b)=eq\f(7,2)。由余弦定理得,cosC=eq\f(a2+b2-c2,2ab)=eq\f(22+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))2,2×2×\f(5,2))=-eq\f(1,5)。即cosC=-eq\f(1,5).(2)因?yàn)閟inA+sinB=3sinC.由正弦定理可知a+b=3c。又因?yàn)閍+b+c=8,故a+b=6.①由于S=eq\f(1,2)absinC=eq\f(9,2)sinC,所以ab=9,②由①②解得a=3,b=3.2.(2017·西安八校聯(lián)考)已知△ABC內(nèi)接于單位圓,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2acosA=ccosB+bcosC。(1)求cosA的值;(2)若b2+c2=4,求△ABC的面積.解:(1)∵2acosA=ccosB+bcosC,∴2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC,即2sinAcosA=sin(B+C)=sinA.又0<A<π,∴sinA≠0?!?cosA=1,cosA=eq\f(1,2).(2)由(1)知cosA=eq\f(1,2),∴sinA=eq\f(\r(3),2)?!遝q\f(a,sinA)=2,∴a=2sinA=eq\r(3)。由a2=b2+c2-2bccosA,得bc=b2+c2-a2=4-3=1,∴S△ABC=eq\f(1,2)bcsinA=eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)=eq\f(\r(3),4).3.(2017·天津模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若sinA+cosA=1-sineq\f(A,2).(1)求sinA的值;(2)若c2-a2=2b,且sinB=3cosC,求b.解:(1)由已知,2sineq\f(A,2)coseq\f(A,2)+1-2sin2eq\f(A,2)=1-sineq\f(A,2),在△ABC中,sineq\f(A,2)≠0,因而sineq\f(A,2)-coseq\f(A,2)=eq\f(1,2),則sin2eq\f(A,2)-2sineq\f(A,2)coseq\f(A,2)+cos2eq\f(A,2)=eq\f(1,4),因而sinA=eq\f(3,4).(2)由已知sinB=3cosC,結(jié)合(1),得sinB=4cosCsinA。法一:利用正弦定理和余弦定理得b=eq\f(4a2+b2-c2,2ab)×a,整理得b2=2(c2-a2).又c2-a2=2b,∴b2=4b,在△ABC中,b≠0,∴b=4。法二:∵c2=a2+b2-2abcosC,∴2b=b2-2abcosC,在△ABC中,b≠0,∴b=2+2acosC,①又sinB=4cosCsinA,由正弦定理,得b=4acosC,②由①②解得b=4.4.(2017·天津五區(qū)縣模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且8sin2eq\f(A+B,2)-2cos2C=7.(1)求tanC的值;(2)若c=eq\r(3),sinB=2sinA,求a,b的值.解:(1)在△ABC中,因?yàn)锳+B+C=π,所以eq\f(A+B,2)=eq\f(π,2)-eq\f(C,2),則sineq\f(A+B,2)=coseq\f(C,2)。由8sin2eq\f(A+B,2)-2cos2C=7,得8cos2eq\f(C,2)-2cos2C=7,所以4(1+cosC)-2(2cos2C-1)=7,即(2cosC-1)2=0,所以cosC=eq\f(1,2)。因?yàn)?<C<π,所以C=eq\f(π,3),于是tanC=taneq\f(π,3)=eq\r(3)。(2)由sinB=2sinA,得b=2a.①又c=eq\r(3),由余弦定理得c2=a2+b2-2abcoseq\f(π,3),即a2+b2-ab=3.②聯(lián)立①②,解得a=1,b=2.5.(2018屆高三·湘中名校聯(lián)考)設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=2bsinA。(1)求B的大??;(2)求cosA+sinC的取值范圍.解:(1)∵a=2bsinA,根據(jù)正弦定理得sinA=2sinBsinA,∵sinA≠0,∴sinB=eq\f(1,2).又△ABC為銳角三角形,∴B=eq\f(π,6)。(2)∵B=eq\f(π,6),∴cosA+sinC=cosA+sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π-\f(π,6)-A))=cosA+sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)+A))=cosA+eq\f(1,2)cosA+eq\f(\r(3),2)sinA=eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A+\f(π,3)))。由△ABC為銳角三角形知,A+B>eq\f(π,2),∴eq\f(π,3)<A<eq\f(π,2),∴eq\f(2π,3)<A+eq\f(π,3)<eq\f(5π,6),∴eq\f(1,2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A+\f(π,3)))<eq\f(\r(3),2),∴eq\f(\r(3),2)<eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A+\f(π,3)))<eq\f(3,2),∴cosA+sinC的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2),\f(3,2))).6.(2017·洛陽模擬)如圖,平面四邊形ABDC中,∠CAD=∠BAD=30°.(1)若∠ABC=75°,AB=10,且AC∥BD,求CD的長;(2)若BC=10,求AC+AB的取值范圍.解:(1)由已知,易得∠ACB=45°,在△ABC中,eq\f(10,sin45°)=eq\f(CB,sin60°),解得CB=5eq\r(6).因?yàn)锳C∥BD,所以∠ADB=∠CAD=30°,∠CBD=∠ACB=45°,在△ABD中,∠ADB=30°=∠BAD,所以DB=AB=10.在△BCD中,CD=eq\r(CB2+DB2-2CB·DBcos45°)=5eq\r(10-4\r(3)).(2)AC+AB>BC=10,由余弦定理得cos60°=eq\f(AB2+AC2-100,2AB·AC),即(AB+AC)2-100=3AB·AC。又AB·AC≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB+AC,2)))2,所以eq\f(AB+AC2-100
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