廣東省珠海市北大希望之星實驗學校2022年高三數(shù)學理期末試題含解析

廣東省珠海市北大希望之星實驗學校2022年高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.為虛數(shù)單位，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=(1+)(2+)的點在(

)A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：A略2.若函數(shù)的圖象如下圖，其中為常數(shù)，則函數(shù)的大致圖象是（

）參考答案：D3.下列各式的值為的是------------------------------------（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D4.若a＞1，則在同一坐標系中，函數(shù)f（x）=a﹣x與函數(shù)g（x）=logax的圖象可能是(

) A． B． C． D．參考答案：C考點：函數(shù)的圖象．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：根據(jù)a＞1，把函數(shù)等價變形：y=a﹣x=為指數(shù)函數(shù)且為減函數(shù)，再利用y=logax為對數(shù)函數(shù)，即可得到答案．解答： 解：當a＞1時，y=a﹣x=為指數(shù)函數(shù)且為減函數(shù)，y=logax為對數(shù)函數(shù)且為增函數(shù)，只有C符合，其它均不符合，故選：C．點評：本題考查的知識是對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握底數(shù)與指數(shù)（對數(shù)）函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．5.設(shè)f（x）=，則f（x）dx的值為（）A．+ B．+3 C．+ D．+3參考答案：A【考點】67：定積分．【分析】根據(jù)定積分性質(zhì)可得f（x）dx=+，然后根據(jù)定積分可得．【解答】解：根據(jù)定積分性質(zhì)可得f（x）dx=+，根據(jù)定積分的幾何意義，是以原點為圓心，以1為半徑圓面積的，=，∴f（x）dx=+（），=+，故答案選：A．6.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(1,2)對稱,若函數(shù)有四個零點則(

)A.2

B.4

C.6

D.8參考答案：B7.設(shè)偶函數(shù)滿足，則不等式＞0的解集為（

）A.＜0或＞

B.＜或＞ C.＜0或＞ D.＜或＞ 參考答案：A略8.右圖中，小方格是邊長為1的正方形，圖中粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A．

B．

C．

D．參考答案：D9.若函數(shù)滿足，且時，，函數(shù)，則函數(shù)的零點的個數(shù)為A．10 B．9 C．8 D．7參考答案：A略10.設(shè)x、y是兩個實數(shù)，命題“x、y中至少有一個數(shù)大于1”成立的充分不必要條件是（）A．x+y=2 B．x+y＞2 C．x2+y2＞2 D．xy＞1參考答案：B考點：充要條件．分析：先求出的必要不充分條件；利用逆否命題的真假一致，求出命題“x、y中至少有一個數(shù)大于1”成立的充分不必要條件．解答：解：若時有x+y≤2但反之不成立，例如當x=3，y=﹣10滿足x+y≤2當不滿足所以是x+y≤2的充分不必要條件．所以x+y＞2是x、y中至少有一個數(shù)大于1成立的充分不必要條件．故選B點評：本題考查逆否命題的真假是相同的，注意要說明一個命題不成立，常通過舉反例．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個正三棱柱的三視圖如圖所示,如果左視圖的面積為,則這個三棱柱的體積為________．

參考答案：略12.已知隨機變量的分布列如右表，12Pm則m=

；

.參考答案：，13.在空間直角坐標系中，點A（2，1，2）到原點O的距離為，點A關(guān)于原點O對稱的點的坐標為．參考答案：3,（﹣2，﹣1，﹣2）.【考點】空間中的點的坐標．【分析】利用兩點間矩離公式、對稱的性質(zhì)直接求解．【解答】解：點A（2，1，2）到原點O的距離d==3，點A（2，1，2）關(guān)于原點O對稱的點的坐標為（﹣2，﹣1，﹣2）．故答案為：3，（﹣2，﹣1，﹣2）．【點評】本題考查點的坐標的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式、對稱性質(zhì)的合理運用．14.若的最小值為3,則實數(shù)的值是_____.參考答案：或15.函數(shù)的定義域為____________________．參考答案：16.已知在直角坐標平面中，圓C的方程為x2+y2﹣4x+2y+4=0，若在直線y=kx+2上存在點使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則實數(shù)k的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，﹣]考點：直線與圓的位置關(guān)系．專題：直線與圓．分析：由已知得圓心C（2，﹣1）到直線y=kx+2的距離：d=≤2，由此能求出實數(shù)k的取值范圍．解答： 解：圓x2+y2﹣4x+2y+4=0的圓心C（2，﹣1），半徑r==1，∵在直線y=kx+2上存在點使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，∴圓心C（2，﹣1）到直線y=kx+2的距離：d=≤2，解得k≤﹣．∴實數(shù)k的取值范圍是（﹣∞，﹣]．故答案為：（﹣∞，﹣]．點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．17.已知實數(shù)x，y滿足,則的最大值等于________．參考答案：12

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題共13分）已知函數(shù)，為其導函數(shù)，且時有極小值．（Ⅰ）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）若不等式（為正整數(shù)）對任意正實數(shù)恒成立，求的最大值．（解答過程可參考使用以下數(shù)據(jù)：）參考答案：（Ⅰ）由，因為函數(shù)在時有極小值，所以，從而得，

………………2分所求的，所以，由解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.

………………4分（Ⅱ）因為，所以等價于，即，

……………6分記，則，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，

……………8分對任意正實數(shù)恒成立，等價于，即.

……………10分記，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以的最大值為．

……………13分

【注：若有其它解法，請酌情給分．】19.在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．

（Ⅰ）請在線段CE上找到點F的位置，使得恰有直線BF∥平面ACD，并證明這一事實；（Ⅱ）求多面體ABCDE的體積．參考答案：略20.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求證：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD與平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一點F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，說明理由．參考答案：【考點】點、線、面間的距離計算；直線與平面平行的判定；直線與平面所成的角．【分析】（Ⅰ）設(shè)PA中點為G，連結(jié)EG，DG，可證四邊形BEGA為平行四邊形，又正方形ABCD，可證四邊形CDGE為平行四邊形，得CE∥DG，由DG?平面PAD，CE?平面PAD，即證明CE∥平面PAD．（Ⅱ）如圖建立空間坐標系，設(shè)平面PCE的一個法向量為=（x，y，z），由，令x=1，則可得=（1，1，2），設(shè)PD與平面PCE所成角為a，由向量的夾角公式即可得解．（Ⅲ）設(shè)平面DEF的一個法向量為=（x，y，z），由，可得，由?=0，可解a，然后求得的值．【解答】（本小題共14分）解：（Ⅰ）設(shè)PA中點為G，連結(jié)EG，DG．因為PA∥BE，且PA=4，BE=2，所以BE∥AG且BE=AG，所以四邊形BEGA為平行四邊形．所以EG∥AB，且EG=AB．因為正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB，所以EG∥CD，且EG=CD．所以四邊形CDGE為平行四邊形．所以CE∥DG．因為DG?平面PAD，CE?平面PAD，所以CE∥平面PAD．…（Ⅱ）如圖建立空間坐標系，則B（4，0，0），C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），所以=（4，4，﹣4），=（4，0，﹣2），=（0，4，﹣4）．設(shè)平面PCE的一個法向量為=（x，y，z），所以，可得．令x=1，則，所以=（1，1，2）．設(shè)PD與平面PCE所成角為a，則sinα=|cos＜，＞|=|=||=．．所以PD與平面PCE所成角的正弦值是．

…（Ⅲ）依題意，可設(shè)F（a，0，0），則，=（4，﹣4，2）．設(shè)平面DEF的一個法向量為=（x，y，z），則．令x=2，則，所以=（2，，a﹣4）．因為平面DEF⊥平面PCE，所以?=0，即2++2a﹣8=0，所以a=＜4，點．所以．

…21.張林在李明的農(nóng)場附近建了一個小型工廠，由于工廠生產(chǎn)須占用農(nóng)場的部分資源，因此李明每年向張林索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定凈收入．工廠在不賠付農(nóng)場的情況下，工廠的年利潤（元）與年產(chǎn)量（噸）滿足函數(shù)關(guān)系．若工廠每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付農(nóng)場元（以下稱為賠付價格）．（1）將工廠的年利潤（元）表示為年產(chǎn)量（噸）的函數(shù)，并求出工廠獲得最大利潤的年產(chǎn)量；（2）若農(nóng)場每年受工廠生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失金額（元），在工廠按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下，農(nóng)場要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向張林的工廠要求賠付價格是多少？參考答案：解：（Ⅰ）工廠的實際年利潤為：()．……………3分，…………5分當時，取得最大值．

所以工廠取得最大年利潤的年產(chǎn)量

(噸)．

……………6分

（Ⅱ）設(shè)農(nóng)場凈收入為元，則．將代入上式，得：．………9分又令，得．…………11分當時，；當時，，所以時，取得最大值．因此李明向張林要求賠付價格

(元／噸)時，獲最大凈收入.………12分略22.（本小題滿分13分）某高校在2013年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組得到的頻率分布表如下：組號分組頻數(shù)頻率第一組[160,165)50．050第二組[165,170)0．350第三組[170,175)30第四組[175,180)0．200第五組[180,185]100．100合計

1001．00（1）為了能選拔出優(yōu)秀的學生，高校決定在筆試成績高的第三、四、五組中用分層抽樣法抽取6名學生進入第二輪面試，試確定，，的值并求第三、四、五組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試；（2）在（1）的前提下，學校決定在6名學生中隨機抽取2名學生接受A考官的面試，求第四組中至少有一名學生被A考官面試的概率.參考答案：（1）由頻率分布表知，，

因為第三、四、五組共有60名學生，所以利用分層抽樣法在60名學生中抽取6名學生，每組分別為：第三組人，第四組人，第五組人．所以第三、四、五組分別抽取3人、2人、1人進入第二輪面試.（2）設(shè)第三組