新設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)人教A版必修四講義第二章平面向量2-4-2

2.4.2內(nèi)容要求1.理解兩個(gè)向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的推導(dǎo)過程，能運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算(重點(diǎn)、難點(diǎn)).2.能根據(jù)向量的坐標(biāo)計(jì)算向量的模、并推導(dǎo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式(重點(diǎn)).3.能根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的夾角及判定兩個(gè)向量垂直(重點(diǎn))．知識(shí)點(diǎn)1兩個(gè)向量的數(shù)量積與兩向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).數(shù)量積兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和即：a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b?x1x2＋y1y2＝0【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】(1)已知a＝(－1,3)，b＝(2,4)，則a·b的值是________．解析a·b＝(－1)×2＋3×4＝10．答案10(2)已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且a⊥b，則x＝________．解析由題意知a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得x＝2．答案2知識(shí)點(diǎn)2與向量的模、夾角相關(guān)的三個(gè)重要公式1．向量的模：設(shè)a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2)．2．兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2)．3．向量的夾角公式：設(shè)兩非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))．【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】(1)已知向量a＝(4，－1)，b＝(x,3)，若|a|＝|b|，則x＝________．解析由|a|＝|b|得eq\r(42＋?－1?2)＝eq\r(x2＋32)，解得x＝±2eq\r(2)．答案±2eq\r(2)(2)已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，則a與b的夾角為________．解析設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(3×1＋?－1?×?－2?,\r(10)·\r(5))＝eq\f(\r(2),2)，又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,4)．答案eq\f(π,4)題型一數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【例1】已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，則(a＋2b)·(a－3b)＝()A．10 B．－10C．3 D．－3解析a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．答案B規(guī)律方法進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，要正確使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能靈活運(yùn)用以下幾個(gè)關(guān)系：①|(zhì)a|2＝a·a；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2【訓(xùn)練1】已知a與b同向，b＝(1,2)，a·b＝10．(1)求a的坐標(biāo)；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c．解(1)設(shè)a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，則有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，∴a(b·c)＝0a(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．題型二平面向量的?！纠?】(1)設(shè)x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|＝()A．eq\r(5) B．eq\r(10)C．2eq\r(5) D．10解析因?yàn)閍⊥c，b∥c，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－4＝0，,2y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2，))所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，所以|a＋b|＝eq\r(10)．答案B(2)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，則|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．解析由題意，不妨設(shè)b＝(2，0)，a＝(cosθ，sinθ)，則a＋b＝(2＋cosθ，sinθ)，a－b＝(cosθ－2，sinθ)．令y＝|a＋b|＋|a－b|＝eq\r(（2＋cosθ）2＋sin2θ)＋eq\r(（cosθ－2）2＋sin2θ)＝eq\r(5＋4cosθ)＋eq\r(5－4cosθ)，則y2＝10＋2eq\r(25－16cos2θ)∈[16，20]．由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝eq\r(20)＝2eq\r(5)，(|a＋b|＋|a－b|)min＝eq\r(16)＝4，即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2eq\r(5).答案42eq\r(5)規(guī)律方法求向量的模的兩種基本策略(1)字母表示下的運(yùn)算：利用|a|2＝a2，將向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題．(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算：若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2)．【訓(xùn)練2】已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，則|b|＝()A．eq\r(5) B．eq\r(10)C．5 D．25解析∵a＝(2,1)，∴a2＝5，又|a＋b|＝5eq\r(2)，∴(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5．答案C考查方向題型三平面向量的夾角和垂直問題方向1向量的夾角問題【例3-1】已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq\r(5)，若(c－b)·a＝eq\f(15,2)，則a與c的夾角為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)解析由a·b＝－10，得(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝eq\f(15,2)，∴c·a＝－eq\f(5,2)，設(shè)a與c的夾角為θ，cosθ＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(－\f(5,2),\r(5)×\r(5))＝－eq\f(1,2)．∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3).答案C方向2向量垂直問題【例3-2】已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c滿足(a＋c)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝()A．(eq\f(7,9)，eq\f(7,3)) B．(－eq\f(7,3)，eq\f(7,9))C．(eq\f(7,3)，eq\f(7,9)) D．(－eq\f(7,9)，－eq\f(7,3))解析設(shè)c＝(x，y)，則a＋c＝(x＋1，y＋2)，a＋b＝(3，－1)，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3?x＋1?－2?y＋2?＝0，,3x－y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(7,9)，,y＝－\f(7,3).))即c＝(－eq\f(7,9)，－eq\f(7,3))．答案D規(guī)律方法解決向量夾角問題的方法及注意事項(xiàng)(1)求解方法：先利用平面向量的坐標(biāo)表示出這兩個(gè)向量的數(shù)量積a·b及|a||b|，再由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))直接求出cosθ．(2)注意事項(xiàng)：利用三角函數(shù)值cosθ求θ的值時(shí)，應(yīng)注意角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.利用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)判斷θ的值時(shí)，要注意cosθ<0時(shí)，有兩種情況：一是θ是鈍角，二是θ為180°；cosθ>0時(shí)，也有兩種情況：一是θ是銳角，二是θ為0°．【訓(xùn)練3】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分別確定實(shí)數(shù)λ的取值范圍，使得：(1)a與b的夾角為直角；(2)a與b的夾角為鈍角；(3)a與b的夾角為銳角．解設(shè)a與b的夾角為θ，則a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ．(1)因?yàn)閍與b的夾角為直角，所以cosθ＝0，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－eq\f(1,2)．(2)因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，所以cosθ<0且cosθ≠－1，所以a·b<0且a與b不反向．由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－eq\f(1,2)，由a與b共線得λ＝2，故a與b不可能反向．所以λ的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))．(3)因?yàn)閍與b的夾角為銳角，所以cosθ>0，且cosθ≠1，所以a·b>0且a，b不同向．由a·b>0，得λ>－eq\f(1,2)，由a與b同向得λ＝2．所以λ的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．課堂達(dá)標(biāo)1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，則x＝()A．3 B．－3C．eq\f(5,3) D．－eq\f(5,3)解析a·b＝－x＋6＝3，故x＝3．答案A2．已知a＝(－eq\r(3)，－1)，b＝(1，eq\r(3))，那么a，b的夾角θ＝()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)解析cosθ＝eq\f(－\r(3)－\r(3),2×2)＝－eq\f(\r(3),2)，又因?yàn)棣取蔥0，π]，所以θ＝eq\f(5π,6).答案D3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b與b垂直，則|a|等于A．1 B．eq\r(2)C．2 D．4解析∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，∴n＝±eq\r(3)．∴|a|＝eq\r(12＋n2)＝2．答案C4．已知向量b與向量a＝(1，－2)的夾角是180°，且|b|＝3eq\r(5)，則b＝()A．(－3,6) B．(3，－6)C．(6，－3) D．(－6,3)解析由題意，設(shè)b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，由于|b|＝3eq\r(5)．∴|b|＝eq\r(λ2＋?－2λ?2)＝eq\r(5λ2)＝3eq\r(5)，∴λ＝－3，即b＝(－3,6)．答案A5．已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，試求b解∵a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，∴5a－b＝(－11，－10－kb－3a＝(5，k＋6)∴(5a－b)·(b－3a)＝(－11，－10－k)·(5，k＝－55－(k＋10)(k＋6)＝－55，∴(k＋10)(k＋6)＝0，∴k＝－10或k＝－6，∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6)．課堂小結(jié)1．注意掌握平面向量的數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示方法及相關(guān)問題：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則：①a·b＝x1x2＋y1y2，②a⊥b?x1x2＋y1y2＝0，③cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))．2．注意區(qū)分兩向量平行與垂直的坐標(biāo)形式，二者不能混淆，可以對(duì)比學(xué)習(xí)、記憶．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．基礎(chǔ)過關(guān)1．設(shè)向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，則下列結(jié)論中正確的是()A．|a|＝|b| B．a(chǎn)·b＝0C．a(chǎn)∥b D．(a－b)⊥b解析a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b．答案D2．平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2,0)，|b|＝1，則|a＋2b|等于()A．eq\r(3) B．2eq\r(3)C．4 D．12解析a＝(2,0)，|b|＝1，∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos60°＝1．∴|a＋2b|＝eq\r(a2＋4×a·b＋4b2)＝2eq\r(3)．答案B3．已知A，B，C是銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角，向量p＝(sinA,1)，q＝(1，－cosB)，則p與q的夾角是()A．銳角 B．鈍角C．直角 D．不確定解析因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以A＋B>eq\f(π,2)，即A>eq\f(π,2)－B．又因函數(shù)y＝sinx在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))上單調(diào)遞增，所以sinA>sin(eq\f(π,2)－B)＝cosB，所以p·q＝sinA－cosB>0，又因?yàn)閜與q不共線，所以p與q的夾角是銳角．答案A4．已知a＝(－1,1)，b＝(1,2)，則a·(a＋2b)＝________．解析a＋2b＝(1,5)，a·(a＋2b)＝1×(－1)＋5×1＝4．答案45．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b方向上的投影為________．解析設(shè)a，b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(2×?－4?＋3×7,\r(22＋32)·\r(?－4?2＋72))＝eq\f(\r(5),5)，故a在b方向上的投影為|a|cosθ＝eq\r(13)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(\r(65),5)．或直接根據(jù)eq\f(a·b,|b|)計(jì)算a在b方向上的投影．答案eq\f(\r(65),5)6．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|．解(1)∵a⊥b，∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，解得x＝－1或x＝3．(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0，解得x＝0或x＝－2．當(dāng)x＝0時(shí)，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴a－b＝(－2,0)，∴|a－b|＝2．當(dāng)x＝－2時(shí)，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝2eq\r(5)．∴|a－b|＝2或2eq\r(5)．7．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a與b的夾角α為鈍角，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．解∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，∴|a|＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(1＋λ2)，a·b＝λ－1．∵a，b的夾角α為鈍角．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－1<0，,\r(2)\r(1＋λ2)≠1－λ，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ<1，,λ2＋2λ＋1≠0.))∴λ<1且λ≠－1．∴λ的取值范圍是(－∞，－1)∪(－1,1)．能力提升8．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0,2)且eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是()A．(2,6) B．(－2，－6)C．(2，－6) D．(－2,6)解析設(shè)C(x，y)，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x＋2，y－1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x，y－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)，∵eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))，∴2(x＋2)＝0，①∵eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴2x＋y－2＝0，②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝6，))∴C(－2,6)．答案D9．角α頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)P在α的終邊上，點(diǎn)Q(－3，－4)，且tanα＝－2，則eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OQ,\s\up6(→))夾角的余弦值為()A．－eq\f(\r(5),5) B．eq\f(11\r(5),25)C．eq\f(\r(5),5)或－eq\f(\r(5),5) D．eq\f(11\r(5),25)或eq\f(11\r(5),5)解析∵tanα＝－2，∴可設(shè)P(x，－2x)，cos〈eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(OP,\s\up6(→))·\o(OQ,\s\up6(→)),|\o(OP,\s\up6(→))|·|\o(OQ,\s\up6(→))|)＝eq\f(5x,5\r(5)|x|)，當(dāng)x>0時(shí)，cos〈eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(5),5)，當(dāng)x<0時(shí)，cos〈eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))〉＝－eq\f(\r(5),5).答案C10．設(shè)向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，則m＝________．解析方法一a＋b＝(m＋1,3)，又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2．∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5，解得m＝－2．方法二由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2．答案－211．設(shè)m＝(a，b)，n＝(c，d)，規(guī)定兩向量m，n之間的一個(gè)運(yùn)算“?”為m?n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1,2)，p?q＝(－4，－3)，則q的坐標(biāo)為________．解析設(shè)q＝(x，y)，則p?q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＝－4，,y＋2x＝－3.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.))答案(－2,1)12．已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，當(dāng)k為何值時(shí)，(1)ka－b與a＋b共線？(2)ka－b與a＋b的夾角為120°？解∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．(1)∵ka－b與a＋b共線，∴k＋2－(－k)＝0.∴k＝－1．(2)∵|ka－b|＝eq\r(k2＋?k＋2?2)，|a＋b|＝eq\r(12＋?－1?2)＝eq\r(2)，(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，而ka－b與a＋b的夾角為120°，∴cos120°＝eq\f(?ka－b?·?a＋b?,|ka－b||a＋b|)，即－eq\f(1,2)＝eq\f(－2,\r(2)·\r(k2＋?k＋2?2))，化簡整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±eq\r(3)．13．(選做題)已知三個(gè)點(diǎn)A(2,1)，B