新教材人教b版選擇性必修第三冊5.4數(shù)列的應(yīng)用課件

數(shù)列的應(yīng)用核心互動探究探究點(diǎn)一等差數(shù)列的應(yīng)用【典例1】某單位用分期付款的方式為職工購買40套住房,共需1150萬元,購買當(dāng)天先付150萬元,以后每月這一天都交付50萬元,并加付欠款利息,月利率為1%,若交付150萬元后的第一個月開始算分期付款的第一個月,問分期付款的第10個月應(yīng)付多少錢?全部按期付清后,買這40套住房實際花了多少錢?【思維導(dǎo)引】由題意知還款方式為“等額本金還款法”.設(shè)每次付款的金額順次構(gòu)成數(shù)列{an},則{an}是等差數(shù)列.【解析】因購房時付150萬元,則欠款1000萬元,依題意分20次付款,則每次付款的數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列{an}.則a1=50+1000×1%=60,a2=50+(1000-50)×1%=59.5,a3=50+(1000-50×2)×1%=59,a4=50+(1000-50×3)×1%=58.5,…所以an=50+[1000-50(n-1)]×1%=60-(n-1)(1≤n≤20,n∈N+).所以{an}是以60為首項,-為公差的等差數(shù)列.所以a10=60-9×=55.5.所以第10個月應(yīng)付萬元.a20=60-19×=50.5.所以S20=×(a1+a20)×20=10×(60+50.5)=1105.所以實際共付1105+150=1255(萬元).【類題通法】按等額本金還款問題的三個關(guān)鍵問題(1)規(guī)定多少時間還清全部款額.(2)在規(guī)定的時間內(nèi)分幾期付款.(3)每期結(jié)算利息的計算公式.【解析】選B.由題意,可知:該大學(xué)畢業(yè)生兩種還款方式所還的本金最終都是240000元,所以兩種還款方式的本金沒有差額.因為該大學(xué)畢業(yè)生決定2019年8月初將剩余貸款全部一次還清.所以從2014年9月初第一次還款到2019年8月初這5整年即60個月兩種還款方式所還的利息也是一樣的.所以按原約定所有還款數(shù)額-按現(xiàn)計劃的所有還款數(shù)額=原約定還款方式從2019年9月起到最后還完這整60個月所還的利息.因為每月應(yīng)還本金:240000÷120=2000(元).2019年8月還完后本金還剩240000-2000×60=120000(元),所以2019年9月應(yīng)還利息為120000×0.5%,2019年10月應(yīng)還利息為:×0.5%,2019年11月應(yīng)還利息為:×0.5%,…

最后一次應(yīng)還利息為:×0.5%.后60個月所還的利息為:120000×0.5%+×0.5%+×0.5%+…+×0.5%=0.5%×

=0.5%×=18300(元).【知識拓展】銀行存款計息方式單利:單利的計算是僅在原有本金上計算利息,對本金所產(chǎn)生的利息不再計算利息.其公式為:利息=本金×利率×存期.以符號P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下簡稱本利和),則有S=P(1+n·r).復(fù)利:把上期末的本利和作為下一期的本金,在計算時每一期本金的數(shù)額是不同的.復(fù)利的計算公式是S=P(1+r)n.零存整取模型銀行有一種叫作零存整取的儲蓄業(yè)務(wù),即每月定時存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金,這是零存;到約定日期,可以取出全部本利和,這是整取.定期自動轉(zhuǎn)存模型客戶存款到期后,客戶如不前往銀行辦理轉(zhuǎn)存手續(xù),銀行可自動將到期的存款本息按相同存期一并轉(zhuǎn)存.探究點(diǎn)二等比數(shù)列的應(yīng)用【典例2】某汽車銷售公司為促銷,采取了較為靈活的付款方式,對購買一輛10萬元的轎車在1年內(nèi)將款全部付清的前提下,可分3次付清,購買4個月第1次付款,再過4個月第2次付款,再過4個月第3次付款,規(guī)定分期付款中,每期付款額相同,月利率為0.8%,每月利息按復(fù)利計算,即指上月利息要記入下月本金,問付款總額是多少?【解析】設(shè)每次付款額為x萬元,第一次付款的現(xiàn)值為萬元,第二次付款的現(xiàn)值為萬元,第三次付款的現(xiàn)值為萬元,則

++=10,所以x=≈3.552(萬元).付款總額為萬元.【互動探究】在本例中,若分12次付清,其他條件不變,付款總額又是多少?【解析】設(shè)每次付款額為m萬元,第一次付款的現(xiàn)值為萬元,第二次付款的現(xiàn)值為萬元,…,第12次付款的現(xiàn)值為萬元,則++…+=10,所以m=≈0.877(萬元).付款總額為12×0.877≈10.524(萬元).【類題通法】等額本息還款問題的三個關(guān)鍵(1)規(guī)定多少時間還清全部款額.(2)在規(guī)定的時間內(nèi)分幾期付款.(3)每期所還錢的現(xiàn)值.【解析】設(shè)每次付款額為x元,第一次付款的現(xiàn)值為元,第二次付款的現(xiàn)值為元,…,第10次付款的現(xiàn)值為元,則++…+=[1000×92-(28800+14400)],所以10×≈7100(元).故每年需交款7100元.探究點(diǎn)三數(shù)列的綜合應(yīng)用【典例3】沿海某市為了進(jìn)一步完善海防生態(tài)防護(hù)體系,林業(yè)部門計劃在沿海新建防護(hù)林3萬畝,從2020年開始,每年春季在規(guī)劃的區(qū)域內(nèi)植樹造林,第一年植樹1200畝,以后每一年比上一年多植樹400畝,假設(shè)所植樹木全部成活.(1)求到哪一年春季新建防護(hù)林計劃全部完成;(2)若每畝新植樹苗的木材量為2立方米,且所植樹木每一年從春季開始生長,到年底停止生長時木材量的年自然增長率為10%,到新建防護(hù)林計劃全部完成的那一年底,新建防護(hù)林的木材總量為多少立方米.(參考數(shù)據(jù)11≈3)【思維導(dǎo)引】(1)設(shè)第n年春季植樹為an畝,由題意知數(shù)列是首項為1200,公差為400的等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的求和公式可得出方程,解出正整數(shù)的值,即可得出結(jié)論;(2)設(shè)從2020年開始第n年年底的木材量為數(shù)列{bn},根據(jù)題意分別計算出b1,b2,…,b10,并設(shè)S=b1+b2+…+b10,利用錯位相減法可求得S,進(jìn)而可得出結(jié)果.【解析】(1)設(shè)第n年春季植樹為an畝,由題意可知a1=1200,an+1-an=400=d(常數(shù)),所以為等差數(shù)列.設(shè)植樹m年新建防護(hù)林計劃全部完成,則1200m+×400=30000,化簡得m2+5m-150=0,所以m=10.因為2020+10-1=2029,所以到2029年新建防護(hù)林計劃全部完成.(2)設(shè)從2020年開始第n年年底的木材量為數(shù)列{bn},則b10=a10×2×1.1,b9=a92,…,b1=a110.則木材總量S=b1+b2+…+b10=2,1.1S=2,所以=2≈=10960,解得S=109600,所以到2029年底新建防護(hù)林的木材總量為109600立方米.【類題通法】解決與數(shù)列有關(guān)的實際應(yīng)用題時,一定要理清各個量之間的關(guān)系,正確地將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,在數(shù)列求和時,首先要分清是何種數(shù)列,然后再利用相應(yīng)公式求和.【定向訓(xùn)練】某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造,有兩種方案:甲方案,一次性貸款10萬元,第一年便可獲利1萬元,以后每年比上一年增加30%的利潤;乙方案,每年貸款1萬元,第一年便可獲利1萬元,以后每年比上一年多獲利5千元.兩種方案,使用期限都是十年,到期一次性歸還本息,若銀行貸款利息按年息10%的復(fù)利計算,比較兩種方案,哪個獲利更多?(計算數(shù)據(jù)精確到千元1010≈13.786)【解析】方案甲:十年獲利中,每年獲利數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,首項為1,公比為1+30%,前10項和為S10=1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9,所以S10=≈42.62(萬元).又貸款本息總數(shù)為10(1+10%)1010≈25.94(萬元),甲方案凈獲利42.62-25.94≈16.7(萬元).乙方案獲利構(gòu)成等差數(shù)列,首項為1,公差為,前10項和為

=32.50(萬元),而貸款本息總數(shù)為1.1×[1+(1+10%)+…+(1+10%)9]=1.1×≈17.53(萬元),乙方案凈獲利32.50-17.53≈15.0(萬元).比較兩方案可得甲方案獲利較多.【補(bǔ)償訓(xùn)練】政府鼓勵創(chuàng)新、創(chuàng)業(yè),銀行給予低息貸款.一位大學(xué)畢業(yè)生想自主創(chuàng)業(yè),經(jīng)過市場調(diào)研、測算,有兩個方案可供選擇.方案1:開設(shè)一個科技小微企業(yè),需要一次性貸款40萬元,第一年獲利是貸款額的10%,以后每年比上一年增加25%的利潤.方案2:開設(shè)一家食品小店,需要一次性貸款20萬元,第一年獲利是貸款額的15%,以后每年都比上一年增加利潤萬元.兩種方案使用期限都是10年,到期一次性還本付息,兩種方案均按年息2%的復(fù)利計算.試比較哪種方案凈獲利更多?(參考數(shù)據(jù)910910≈1.22)【解析】方案1:由題意知,每年的獲利an成等比數(shù)列,且a1=4,公比q=1+25%=1.25,n=10,收入S1=≈=132.8(萬元);凈獲利W1=132.8-40(1+2%)10≈132.8-48.8=84(萬元);方案2:由題意,每年的獲利記為數(shù)列{bn},它是等差數(shù)列,且b1=3,公差為1.5,n=10,收入S2=10×3+×10×9×1.5=30+67.5=97.5(萬元).凈獲利:W2=97.5-20(1+2%)10≈97.5-24.4=73.1(萬元),所以方案1凈獲利更多.【課堂小結(jié)】課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.某企業(yè)在2019年年初貸款M萬元,年利率為m,從該年年末開始,每年償還的金額都是a萬元,并恰好在10年間還清,則a的值等于 (

)【解析】選C.由已知條件和分期付款公式可得,

所以a=.2.一個凸多邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列,其中最小的內(nèi)角為120°,公差為5°,那么這個多邊形的邊數(shù)n等于 (

)或9【解析】選C.依題意可知,凸多邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列,故內(nèi)角和為n·120°+·5°=·180°,解得n=9或n=16.由于內(nèi)角小于180°,所以120°+·5°<180°,n<13,所以n=9,故選C.3.一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機(jī)病毒開始時占據(jù)內(nèi)存2KB,然后每3分鐘自身復(fù)制一次,復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍,那么開機(jī)后________分,該病毒占據(jù)64MB(1MB=210KB).

【解析】由題意可得每3分鐘病毒占的內(nèi)存容量構(gòu)成一個等比數(shù)列,設(shè)病毒占據(jù)64MB時自身復(fù)制了n次,即2×2n=64×210=216,解得n=15,從而復(fù)制的時間為15×3=45(分).答案:454.某科研單位欲拿出一定的經(jīng)費(fèi)獎勵科研人員,第1名得全部資金的一半多一萬元,第2名得剩下的一半多一萬元,以名次類推都