備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)綜合練習(xí)題及答案

一、二次函數(shù)真題與模擬題分類匯編（難題易錯(cuò)題）1．一座拱橋的輪廓是拋物線型(如圖所示)，拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m.(1)將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中(如圖所示)，其表達(dá)式是的形式.請(qǐng)根據(jù)所給的數(shù)據(jù)求出a，c的值.(2)求支柱MN的長度.(3)拱橋下地平面是雙向行車道(正中間是一條寬2m的隔離帶)，其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車(汽車間的間隔忽略不計(jì))？請(qǐng)說說你的理由.【答案】（1）y=-x2+6；（2）5.5米；（3）一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車．【解析】試題分析：（1）根據(jù)題目可知A．B，C的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的解析式代入可求解．（2）設(shè)N點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，yN）可求出支柱MN的長度．（3）設(shè)DN是隔離帶的寬，NG是三輛車的寬度和．做GH垂直AB交拋物線于H則可求解．試題解析：(1)根據(jù)題目條件，A、B、C的坐標(biāo)分別是(-10,0)、(0,6)、(10,0).將B、C的坐標(biāo)代入，得解得.∴拋物線的表達(dá)式是.(2)可設(shè)N(5,)，于是.從而支柱MN的長度是10-4.5=5.5米.(3)設(shè)DE是隔離帶的寬，EG是三輛車的寬度和，則G點(diǎn)坐標(biāo)是(7,0)(7=2÷2＋2×3).過G點(diǎn)作GH垂直AB交拋物線于H，則.根據(jù)拋物線的特點(diǎn)，可知一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車.2．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A(-1，0)、B(3，0)兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C.（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖②，用寬為4個(gè)單位長度的直尺垂直于x軸，并沿x軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)），連接PQ，在線段PQ上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D，連接DP、DQ.①若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，求△DPQ面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；②直尺在平移過程中，△DPQ面積是否有最大值？若有，求出面積的最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）拋物線y=-x2+2x+3；（2）①點(diǎn)D（）；②△PQD面積的最大值為8【解析】分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；

（2）（I）由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)可得出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的表達(dá)式，過點(diǎn)D作DE∥y軸交直線PQ于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x2+2x+3），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-x+），進(jìn)而即可得出DE的長度，利用三角形的面積公式可得出S△DPQ=-2x2+6x+，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；

（II）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為4+t，進(jìn)而可得出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x2+2x+3），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），進(jìn)而即可得出DE的長度，利用三角形的面積公式可得出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．詳解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：，解得：，

∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3．

（2）（I）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，-）．

設(shè)直線PQ的表達(dá)式為y=mx+n，

將P（-，）、Q（，-）代入y=mx+n，得：，解得：，∴直線PQ的表達(dá)式為y=-x+．

如圖②，過點(diǎn)D作DE∥y軸交直線PQ于點(diǎn)E，

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x2+2x+3），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-x+），

∴DE=-x2+2x+3-（-x+）=-x2+3x+，

∴S△DPQ=DE?（xQ-xP）=-2x2+6x+=-2（x-）2+8．

∵-2＜0，

∴當(dāng)x=時(shí)，△DPQ的面積取最大值，最大值為8，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）．

（II）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為4+t，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，-t2+2t+3），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），

利用待定系數(shù)法易知，直線PQ的表達(dá)式為y=-2（t+1）x+t2+4t+3．

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x2+2x+3），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），

∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，

∴S△DPQ=DE?（xQ-xP）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．

∵-2＜0，

∴當(dāng)x=t+2時(shí)，△DPQ的面積取最大值，最大值為8．

∴假設(shè)成立，即直尺在平移過程中，△DPQ面積有最大值，面積的最大值為8．點(diǎn)睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積以及二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達(dá)式；（2）（I）利用三角形的面積公式找出S△DPQ=-2x2+6x+；（II）利用三角形的面積公式找出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t．3．如圖，直線y＝-x-3與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，C，經(jīng)過點(diǎn)A，C的拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B(2，0)，點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，連接AD，DC．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)D在第三象限，設(shè)△DAC的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)連接BC，若∠EAD＝∠OBC，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)y＝x2+x﹣3；(2)S△ADC=﹣(m+3)2+；△ADC的面積最大值為；此時(shí)D(﹣3，﹣)；(3)滿足條件的點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣4，﹣3)或(8，21).【解析】【分析】（1）求出A坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解析式；（2）設(shè)DE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(m，m2+m﹣3)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為：(m，﹣m﹣3)，根據(jù)S△ADC＝S△ADF+S△DFC求出解析式，再求最值；（3）①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，D(﹣4，﹣3)，根據(jù)對(duì)稱性此時(shí)∠EAD＝∠ABC．②作點(diǎn)D(﹣4，﹣3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′(﹣4，3)，直線AD′的解析式為y＝x+9，解方程組求出函數(shù)圖像交點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】解：(1)在y＝﹣x﹣3中，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣6，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為：(﹣6，0)，將A(﹣6，0)，B(2，0)代入y＝ax2+bx﹣3得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝x2+x﹣3；(2)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(m，m2+m﹣3)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為：(m，﹣m﹣3)，設(shè)DE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F.∴DF＝﹣m﹣3﹣(m2+m﹣3)＝﹣m2﹣m，∴S△ADC＝S△ADF+S△DFC＝DF?AE+?DF?OE＝DF?OA＝×(﹣m2﹣m)×6＝﹣m2﹣m＝﹣(m+3)2+，∵a＝﹣＜0，∴拋物線開口向下，∴當(dāng)m＝﹣3時(shí)，S△ADC存在最大值，又∵當(dāng)m＝﹣3時(shí)，m2+m﹣3＝﹣，∴存在點(diǎn)D(﹣3，﹣)，使得△ADC的面積最大，最大值為；(3)①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，D(﹣4，﹣3)，根據(jù)對(duì)稱性此時(shí)∠EAD＝∠ABC．②作點(diǎn)D(﹣4，﹣3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′(﹣4，3)，直線AD′的解析式為y＝x+9，由，解得或，此時(shí)直線AD′與拋物線交于D(8，21)，滿足條件，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣4，﹣3)或(8，21)【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)解決實(shí)際問題，屬于中考?jí)狠S題．.4．如果一條拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”，[a，b，c]稱為“拋物線系數(shù)”．(1)任意拋物線都有“拋物線三角形”是(填“真”或“假”)命題；(2)若一條拋物線系數(shù)為[1，0，﹣2]，則其“拋物線三角形”的面積為；(3)若一條拋物線系數(shù)為[﹣1，2b，0]，其“拋物線三角形”是個(gè)直角三角形，求該拋物線的解析式；(4)在(3)的前提下，該拋物線的頂點(diǎn)為A，與x軸交于O，B兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，過P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，使得△BPQ∽△OAB？如果存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）假；（2）；（3）y＝－x2＋2x或y＝－x2－2x；（4）P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3）或（－1，1）．【解析】分析：（1）當(dāng)△＞0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，由此可得出結(jié)論；（2）根據(jù)“拋物線三角形”定義得到，由此可得出結(jié)論；（3）根據(jù)“拋物線三角形”定義得到y(tǒng)＝－x2＋2bx，它與x軸交于點(diǎn)（0，0）和（2b，0）；當(dāng)拋物線三角形是直角三角形時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可知它一定是等腰直角三角形，由拋物線頂點(diǎn)為（b，b2），以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，解方程即可得到結(jié)論；（4）分兩種情況討論：①當(dāng)拋物線為y＝－x2＋2x時(shí)，②當(dāng)拋物線為y＝－x2－2x時(shí)．詳解：（1）當(dāng)△＞0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)拋物線才有“拋物線三角形”，故此命題為假命題；（2）由題意得：，令y=0，得：x=，∴S==；（3）依題意：y＝－x2＋2bx，它與x軸交于點(diǎn)（0，0）和（2b，0）；當(dāng)拋物線三角形是直角三角形時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可知它一定是等腰直角三角形．∵y＝－x2＋2bx=，∴頂點(diǎn)為（b，b2），由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到：，∴，解得：b＝0（舍去）或b＝±1，∴y＝－x2＋2x或y＝－x2－2x．（4）①當(dāng)拋物線為y＝－x2＋2x時(shí)．∵△AOB為等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，∴△BPQ為等腰直角三角形，設(shè)P（a，－a2＋2a），∴Q（（a，0），則｜－a2＋2a｜＝｜2－a｜，即．∵a－2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，1）或（－1，－3）．②當(dāng)拋物線為y＝－x2－2x時(shí)．∵△AOB為等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，∴△BPQ為等腰直角三角形，設(shè)P（a，－a2－2a），∴Q（（a，0），則｜－a2－2a｜＝｜2+a｜，即．∵a+2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，－3，）或（－1，1）．綜上所述：P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3，）或（－1，1）．點(diǎn)睛：本題是二次函數(shù)綜合題．考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及“拋物線三角形”的定義．解題的關(guān)鍵是弄懂“拋物線三角形”的定義以及分類討論．5．若三個(gè)非零實(shí)數(shù)x，y，z滿足：只要其中一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和，則稱這三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z構(gòu)成“和諧三組數(shù)”．(1)實(shí)數(shù)1，2，3可以構(gòu)成“和諧三組數(shù)”嗎？請(qǐng)說明理由；(2)若M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三點(diǎn)均在函數(shù)y＝(k為常數(shù)，k≠0)的圖象上，且這三點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1，y2，y3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”，求實(shí)數(shù)t的值；(3)若直線y＝2bx+2c(bc≠0)與x軸交于點(diǎn)A(x1，0)，與拋物線y＝ax2+3bx+3c(a≠0)交于B(x2，y2)，C(x3，y3)兩點(diǎn)．①求證：A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，x2，x3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；②若a＞2b＞3c，x2＝1，求點(diǎn)P(，)與原點(diǎn)O的距離OP的取值范圍．【答案】(1)不能，理由見解析；(2)t的值為﹣4、﹣2或2；(3)①證明見解析；②≤OP＜且OP≠1．【解析】【分析】（1）由和諧三組數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證即可；（2）把M、N、R三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)解析式，可用t和k分別表示出y1、y2、y3，再由和諧三組數(shù)的定義可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；（3）①由直線解析式可求得x1＝﹣，聯(lián)立直線和拋物線解析式消去y，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求得x2+x3＝﹣，x2x3＝，再利用和諧三數(shù)組的定義證明即可；②由條件可得到a+b+c＝0，可得c＝﹣(a+b)，由a＞2b＞3c可求得的取值范圍，令m＝，利用兩點(diǎn)間距離公式可得到OP2關(guān)于m的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得OP2的取值范圍，從而可求得OP的取值范圍．【詳解】（1）不能，理由如下：∵1、2、3的倒數(shù)分別為1、、，∴+≠1，1+≠，1+≠，∴實(shí)數(shù)1，2，3不可以構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；（2）∵M(jìn)(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三點(diǎn)均在函數(shù)(k為常數(shù)，k≠0)的圖象上，∴y1、y2、y3均不為0，且y1＝，y2＝，y3＝，∴＝，＝，＝，∵y1，y2，y3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”，∴有以下三種情況：當(dāng)＝+時(shí)，則＝+，即t＝t+1+t+3，解得t＝﹣4；當(dāng)＝+時(shí)，則＝+，即t+1＝t+t+3，解得t＝﹣2；當(dāng)＝+時(shí)，則＝+，即t+3＝t+t+1，解得t＝2；∴t的值為﹣4、﹣2或2；（3）①∵a、b、c均不為0，∴x1，x2，x3都不為0，∵直線y＝2bx+2c(bc≠0)與x軸交于點(diǎn)A(x1，0)，∴0＝2bx1+2c，解得x1＝﹣，聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y可得2bx+2c＝ax2+3bx+3c，即ax2+bx+c＝0，∵直線與拋物線交與B(x2，y2)，C(x3，y3)兩點(diǎn)，∴x2、x3是方程ax2+bx+c＝0的兩根，∴x2+x3＝﹣，x2x3＝，∴+＝＝＝﹣＝，∴x1，x2，x3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；②∵x2＝1，∴a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣b，∵a＞2b＞3c，∴a＞2b＞3(﹣a﹣b)，且a＞0，整理可得，解得﹣＜＜，∵P(，)，∴OP2＝()2+()2＝()2+()2＝2()2+2+1＝2(+)2+，令m＝，則﹣＜m＜且m≠0，且OP2＝2(m+)2+，∵2＞0，∴當(dāng)﹣＜m＜﹣時(shí)，OP2隨m的增大而減小，當(dāng)m＝﹣時(shí)，OP2有最大臨界值，當(dāng)m＝﹣時(shí)，OP2有最小臨界值，當(dāng)﹣＜m＜時(shí)，OP2隨m的增大而增大，當(dāng)m＝﹣時(shí)，OP2有最小臨界值，當(dāng)m＝時(shí)，OP2有最大臨界值，∴≤OP2<且OP2≠1，∵P到原點(diǎn)的距離為非負(fù)數(shù)，∴≤OP＜且OP≠1．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及新定義、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想等知識(shí)．在(1)中注意利用和諧三數(shù)組的定義，在(2)中由和諧三數(shù)組得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵，在(3)①中用a、b、c分別表示出x1，x2，x3是解題的關(guān)鍵，在(3)②中把OP2表示成二次函數(shù)的形式是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，特別是最后一問，難度很大．6．如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=x﹣與x軸交于點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線y=ax2﹣3x+c的對(duì)稱軸是x=．（1）求拋物線的解析式；（2）平移直線l經(jīng)過原點(diǎn)O，得到直線m，點(diǎn)P是直線m上任意一點(diǎn)，PB⊥x軸于點(diǎn)B，PC⊥y軸于點(diǎn)C，若點(diǎn)E在線段OB上，點(diǎn)F在線段OC的延長線上，連接PE，PF，且PE=3PF．求證：PE⊥PF；（3）若（2）中的點(diǎn)P坐標(biāo)為（6，2），點(diǎn)E是x軸上的點(diǎn)，點(diǎn)F是y軸上的點(diǎn)，當(dāng)PE⊥PF時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使四邊形PEQF是矩形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4；（2）證明見解析；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后依據(jù)拋物線過點(diǎn)A，對(duì)稱軸是x=列出關(guān)于a、c的方程組求解即可；（2）設(shè)P（3a，a），則PC=3a，PB=a，然后再證明∠FPC=∠EPB，最后通過等量代換進(jìn)行證明即可；（3）設(shè)E（a，0），然后用含a的式子表示BE的長，從而可得到CF的長，于是可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得到，，從而可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含a的式子表示），最后，將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得a的值即可．【詳解】（1）當(dāng)y=0時(shí)，，解得x=4，即A（4，0），拋物線過點(diǎn)A，對(duì)稱軸是x=，得，解得，拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直線l經(jīng)過原點(diǎn)O，得到直線m，∴直線m的解析式為y=x．∵點(diǎn)P是直線1上任意一點(diǎn)，∴設(shè)P（3a，a），則PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如圖所示，點(diǎn)E在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，設(shè)E（a，0），則BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF為矩形，∴，，∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下圖所示：當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，設(shè)E（a，0），則BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF為矩形，∴，，∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，6）或（2，﹣6）．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，用含a的式子表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，對(duì)稱軸為直線的拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，0）．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）已知，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)．①若點(diǎn)P在拋物線上，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長度的最大值．【答案】（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）.（2）①點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）或（－4，5）.②線段QD長度的最大值為.【解析】【分析】（1）由拋物線的對(duì)稱性直接得點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）①用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，從而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，得到，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)列式求解即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．②用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，由點(diǎn)Q在線段AC上，可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(q,-q-3)，從而由QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(q,q2+2q-3)，從而線段QD等于兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差，列出函數(shù)關(guān)系式應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求解.【詳解】解：（1）∵A、B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且A點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，0），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）.（2）①∵拋物線，對(duì)稱軸為，經(jīng)過點(diǎn)A（－3，0），∴，解得.∴拋物線的解析式為.∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p,p2+2p-3)，則.∵，∴，解得.當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）或（－4，5）.②設(shè)直線AC的解析式為，將點(diǎn)A，C的坐標(biāo)代入，得：，解得：.∴直線AC的解析式為.∵點(diǎn)Q在線段AC上，∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(q,-q-3).又∵QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(q,q2+2q-3).∴.∵，∴線段QD長度的最大值為.8．（14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）與y軸的交點(diǎn)為A，與x軸的交點(diǎn)分別為B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直線AD∥x軸，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（t，0）過點(diǎn)E作平行于y軸的直線l與拋物線、直線AD的交點(diǎn)分別為P、Q．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)0＜t≤8時(shí)，求△APC面積的最大值；（3）當(dāng)t＞2時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）y=14x2-2x+3【解析】試題分析：（1）首先利用根與系數(shù)的關(guān)系得出：x1+x2=8試題解析：解：（1）由題意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的兩根，∴x1+x2=8，由．解得：．∴B（2，0）、C（6，0）則4m﹣16m+4m+2=0，解得：m=，∴該拋物線解析式為：y=；．（2）可求得A（0，3）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，∵∴∴直線AC的解析式為：y=﹣x+3，要構(gòu)成△APC，顯然t≠6，分兩種情況討論：當(dāng)0＜t＜6時(shí)，設(shè)直線l與AC交點(diǎn)為F，則：F（t，﹣），∵P（t，），∴PF=，∴S△APC=S△APF+S△CPF===，此時(shí)最大值為：，②當(dāng)6≤t≤8時(shí)，設(shè)直線l與AC交點(diǎn)為M，則：M（t，﹣），∵P（t，），∴PM=，∴S△APC=S△APF﹣S△CPF===，當(dāng)t=8時(shí)，取最大值，最大值為：12，綜上可知，當(dāng)0＜t≤8時(shí)，△APC面積的最大值為12；（3）如圖，連接AB，則△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，Q（t，3），P（t，），①當(dāng)2＜t≤6時(shí)，AQ=t，PQ=，若：△AOB∽△AQP，則：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，則：，即：，∴t=0（舍）或t=2（舍），②當(dāng)t＞6時(shí)，AQ′=t，PQ′=，若：△AOB∽△AQP，則：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，則：，即：，∴t=0（舍）或t=14，∴t=或t=或t=14．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．9．如圖，矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），拋物線y=ax2+bx+4過點(diǎn)B，C兩點(diǎn)，且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為D（﹣2，0），點(diǎn)P是線段CB上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)CP=t（0＜t＜10）．（1）請(qǐng)直接寫出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)P作PE⊥BC，交拋物線于點(diǎn)E，連接BE，當(dāng)t為何值時(shí)，∠PBE=∠OCD？（3）點(diǎn)Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM∥BQ，交CQ于點(diǎn)M，作PN∥CQ，交BQ于點(diǎn)N，當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，請(qǐng)求出t的值．【答案】（1）B（10，4），C（0，4），；（2）3；（3）或.【解析】試題分析：（1）由拋物線的解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，由矩形的性質(zhì)可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由B、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）可設(shè)P（t，4），則可表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出PB、PE的長，由條件可證得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；（3）當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，則可證得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性質(zhì)可求得CQ的長，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，則可用t分別表示出PM和PN，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．試題解析：解：（1）在y＝ax2＋bx＋4中，令x＝0可得y＝4，∴C（0，4），∵四邊形OABC為矩形，且A（10，0），∴B（10，4），把B、D坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得，∴拋物線解析式為y＝x2＋x＋4；（2）由題意可設(shè)P（t，4），則E（t，t2＋t＋4），∴PB＝10﹣t，PE＝t2＋t＋4﹣4＝t2＋t，∵∠BPE＝∠COD＝90°，當(dāng)∠PBE＝∠OCD時(shí)，則△PBE∽△OCD，∴，即BP?OD＝CO?PE，∴2（10﹣t）＝4（t2＋t），解得t＝3或t＝10（不合題意，舍去），∴當(dāng)t＝3時(shí)，∠PBE＝∠OCD；當(dāng)∠PBE＝∠CDO時(shí)，則△PBE∽△ODC，∴，即BP?OC＝DO?PE，∴4（10﹣t）＝2（t2＋t），解得t＝12或t＝10（均不合題意，舍去）綜上所述∴當(dāng)t＝3時(shí)，∠PBE＝∠OCD；