湖南省懷化市2020年中考數(shù)學試題（含解析+答案）

湖南省懷化市2020年中考數(shù)學真題

一、選擇題（每小題的四個選項中只有一項是正確的，請將正確選項的代號填涂在答題卡的

相應位置上）

1.下列數(shù)中，是無理數(shù)的是（）

A.-3B.0C.-D.77

3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)無理數(shù)的三種形式求解即可.

【詳解】解：-3,0,:是有理數(shù)，療是無理數(shù).

故選：D.

【點睛】本題考查了無理數(shù)的知識，解答本題的關鍵是掌握無理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無

限不循環(huán)小數(shù)，③含有兀的數(shù).

2.下列運算正確的是（）

A.a2+a3=a5B.a6-i-a2=a4C.（2a，=6a%3D.a2-a3=a6

【答案】B

【解析】

【分析】分別根據(jù)合并同類項的法則、同底數(shù)基的除法法則、積的乘方與同底數(shù)幕的乘法法則計算各項，

進而可得答案.

【詳解】解：A、/與/不是同類項，不能合并，所以本選項計算錯誤，不符合題意；

B、所以本選項計算正確，符合題意；

C、（2出?）3=8。3/73/6/〃，所以本選項計算錯誤，不符合題意；

D、所以本選項計算錯誤，不符合題意.

故選：B.

【點睛】本題考查了合并同類項、同底數(shù)塞的除法和乘法以及積的乘方等運算法則，屬于基本題型，熟練

掌握上述基礎知識是關鍵.

3.《三國演義》《紅樓夢》《水滸傳》《西游記》是我國古典長篇小說四大名著.其中2016年光明日報出版

社出版的《紅樓夢》有350萬字，則“350萬”用科學記數(shù)法表示為（）

A.3.5xlO6B.0.35xlO7C.3.5xlO2D.350xlO4

【答案】A

【解析】

【分析】科學記數(shù)法的形式是：axlO",其中1W同＜10,"為整數(shù).所以。=3.5,“取決于原數(shù)小數(shù)

點的移動位數(shù)與移動方向，”是小數(shù)點的移動位數(shù)，往左移動，〃為正整數(shù)，往右移動，〃為負整數(shù)。本題

小數(shù)點往左移動到3的后面，所以〃=6.

【詳解】解：350萬=350x1()4=3.5x102x1()4=3.5x102

故選A

【點睛】本題考查的知識點是用科學記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)，關鍵是在理解科學記數(shù)法的基礎上確定

好。，〃的值，同時掌握小數(shù)點移動對一個數(shù)的影響.

4.若一個多邊形的內(nèi)角和為1080°,則這個多邊形的邊數(shù)為()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

【詳解】解：設這個多邊形的邊數(shù)為〃，由〃邊形的內(nèi)角和等于180°(n-2),

可得方程180(〃-2)=1080,

解得：”=8.

故選C.

【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，解題的關鍵是根據(jù)題意列出一元一次方程.

5.如圖，己知直線a,8被直線c所截，且。//人若Na=40°，則N月的度數(shù)為()

A.140"B.50"C.60°D.40°

【答案】D

【解析】

【分析】首先根據(jù)對頂角相等可得N1的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N/的度數(shù).

【詳解】解：Na=40。

.?.Nl=Na=40°,

，4?=N1=4O°,

故選：D.

【點睛】此題主要考查了對頂角相等和平行線的性質(zhì)，關鍵是掌握兩直線平行，同位角相等.

6.小明到某公司應聘，他想了解自己入職后的工資情況，他需要關注該公司所有員工工資的（）

A.眾數(shù)B.中位數(shù)C.方差D.平均數(shù)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合該公司所有員工工資的情況，從統(tǒng)計量的角度分析可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，小明到某公司應聘，了解這家公司的員工的工資情況，就要全面的了解中間員工

的工資水平，故最應該關注的數(shù)據(jù)是中位數(shù)，

故選:B.

【點睛】本題考查的是平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，方差的含義，以及在實際情境中統(tǒng)計意義，掌握以上知識

是解題的關鍵.

7.在RhABC中，NB=90°，A。平分/a4C,交BC于點、D,DE±AC,垂足為點E，若BD=3,

則OE的長為（）

D.6

2

【答案】A

【解析】

【分析】證明4ABD絲Z\AED即可得出DE的長.

【詳解】；DELAC,

.".ZAED=ZB=90°,

,?AD平分NBAC,

NBAD=/EAD,

又：AD=AD,

.".△ABD^AAED,

，DE=BE=3,

故選：A.

【點睛】本題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是解題關鍵.

8.已知一元二次方程V一履+4=0有兩個相等的實數(shù)根，則％的值為（）

A.k=4B.k=TC.k=±4D.k=±2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得方程的判別式△=（）,進而可得關于左的方程，解方程即得答案.

【詳解】解：由題意，得：△=（—%）?—16=0,解得：k=±4.

故選：C.

【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，屬于基礎題型，熟知一元二次方程的根的判別式與方程

根的個數(shù)的關系是解題關鍵.

9.在矩形A8CO中，AC.相交于點。，若AAQR的面積為2,則矩形ABC。的面積為（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【解析】

【分析1根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OA=OB=OC=OD,推出凡仞。=5/8=1°。=5?3。=2,即可求出矩形

ABCD的面積.

【詳解】???四邊形ABCD是矩形，對角線AC、相交于點。

：.AC=BD,且OA=OB=OC=OD

S.AOO=S&BCO=S?CDO=S"6O=2

，矩形A8CO的面積為4S,AB。=8

故選：C

【點睛】此題考查矩形的性質(zhì)：矩形的對角線相等，且互相平分，由此可以將矩形的面積四等分，由此可

以解決問題，熟記矩形的性質(zhì)定理是解題的關鍵.

10.在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)乂=勺％+人與反比例函數(shù)為=2（x>0）的圖像如圖所示、則

x

當x>%時，自變量X的取值范圍為（）

A.x<lB.x>3C.0<x<lD.l<x<3

【答案】D

【解析】

【分析】觀察圖像得到兩個交點的橫坐標，再觀察一次函數(shù)函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像上方的區(qū)段，從而

可得答案.

【詳解】解：由圖像可得：兩個交點的橫坐標分別是：1,3,

所以：當%>當時，

,41<x<3,

故選D.

【點睛】本題考查的是利用一次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像解不等式，掌握數(shù)型結(jié)合的方法是解題的關鍵.

二、填空題（請將答案直接填寫在答題卡的相應位置上）

11.代數(shù)式方二有意義，則x的取值范圍是..

【答案】x>\

【解析】

【分析】根據(jù)被開方式大于零列式解答即可.

【詳解】解：由題意得：x-1>0,

解得：%>1,

故答案為x>l.

【點睛】本題考查了代數(shù)式有意義時字母的取值范圍，代數(shù)式有意義時字母的取值范圍一般從幾個方面考

慮：①當代數(shù)式是整式時，字母可取全體實數(shù)；②當代數(shù)式是分式時，考慮分式的分母不能為0;③當代數(shù)

式是二次根式時，被開方數(shù)為非負數(shù).

12.因式分解：a3-a=.

【答案】a(a-1)(a+1)

【解析】

【詳解】分析：先提取公因式a,再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解.

解答：解：a3-a,

=a(a2-l),

=a(a+1)(a-1).

13.某校招聘教師，其中一名教師的筆試成績是80分，面試成績是60分，綜合成績筆試占60%,面試占

40%,則該教師的綜合成績?yōu)榉?

【答案】72

【解析】

【分析】根據(jù)綜合成績筆試占60%,面試占40%,即綜合成績等于筆試成績乘以60%,加上面試成績乘以

40%,即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意知，該名老師的綜合成績?yōu)?()x6()%+6()x40%=72(分)

故答案為：72.

【點睛】本題考查加權(quán)平均數(shù)及其計算，是中考的?？贾R點，熟練掌握其計算方法是解題的關鍵.

14.如圖，在AABC和AADC中，AB=AD，BC=DC,N6=130°，則ZD°.

【答案】130

【解析】

【分析】證明aABC絲ZiADC即可.

【詳解】=BC=DC,AC=AC,

.,.△ABC^AADC,

ZD=ZB=130°,

故答案為：130.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握判定定理是解題關鍵.

15.如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)求得這個幾何體的側(cè)面積是(結(jié)果保留萬).

【答案】24兀cn?

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖確定該幾何體是圓柱體，再計算圓柱體的側(cè)面積.

【詳解】解：先由三視圖確定該幾何體是圓柱體，底面半徑是4+2=2cm,高是6cm,

圓柱的側(cè)面展開圖是一個長方形，長方形的長是圓柱的底面周長，長方形的寬是圓柱的高，

且底面周長：2jtX2=4n(cm),

，這個圓柱的側(cè)面積是466=24兀(cm?).

故答案為：24)rcm2.

【點睛】此題主要考查了由三視圖確定幾何體和求圓柱體的側(cè)面積，關鍵是根據(jù)三視圖確定該幾何體是圓

柱體.

16.如圖，△。四4,△4與4，△&B3A3,…，△4,_乃“4,都是一邊在x軸上的等邊三角形，點用，

B2,名，…，紇都在反比例函數(shù)y=1(x>0)的圖象上，點A，4,A3,…，A“，都在X軸上，則4

X

的坐標為

【答案】（2小,0）

【解析】

【分析】如圖，過點Bi作BCJ_x軸于點C,過點B2作B?DJ_x軸于點D,過點B3作BsELx軸于點E,先

在aOCBi中，表示出OC和BiC的長度，表示出B）的坐標，代入反比例函數(shù)，求出OC的長度和OAi的長

度，表示出Ai的坐標，同理可求得A2、A3的坐標，即可發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律.

【詳解】如圖，過點Bi作BiCLx軸于點C,過點B2作BzDLx軸于點D,過點B3作B3E_Lx軸于點E,

?.?△OAIBI為等邊三角形，

AZBiOC=60°,

BC

tanNB]OC=—■—=>/3，BiC=y/3OC,

OC

設OC的長度為X,則B]的坐標為（匕瓜），代入函數(shù)關系式可得：岳2=6,

解得，X=1或x=-l（舍去），

/.OAi=2OC=2,

AAi（2,0）

設AQ的長度為y,同理，B?D為國，B2的坐標表示為（2+y,6y）,

代入函數(shù)關系式可得（2+y）gy=百，

解得：y=V5-l或y=-血-1（舍去）

.".AiD=V2-l>A1A2=2V2-2>OA2=2+20-2=2近

/.A2（2V2>0）

設A2E的長度為z,同理，?為乖,z,B3的坐標表示為僅\/5+z,Gz）,

代入函數(shù)關系式可得僅加+Z）Gz=百，

解得：z=VJ-及或z=-6-逝（舍去）

.-.A2E=V3-V2.A2A3=2石-20，0A3=20+26-20=26

AA3（2百，0）,

綜上可得:An（2y[n，0）,

故答案為：（2薪,0）.

【點睛】本題考查圖形類規(guī)律探索、反比例函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、求解一元二次方程和解直角

三角形，靈活運用各類知識求出Ai、A2、A3的坐標是解題的關鍵.

三、解答題

17.計算：V8+2-2-2COS45°+|2-V2|

9

【答案】

4

【解析】

【分析】按照公式。~°=2（。工0）、特殊角的三角函數(shù)值、化簡二次根式、取絕對值符號進行運算，最后

計算加減即可.

【詳解】解：原式=2&+-V-2x也+2—近

222

=2V2+--V2+2-V2

4

=，+2

4

9

-4,

9

故答案為

4

【點睛】本題主要考查實數(shù)的運算，解題的關鍵是掌握零指數(shù)基、負指數(shù)事公式、熟記特殊銳角三角函數(shù)

值及二次根式與絕對值的性質(zhì)等.

18.先化簡，再求值：（一二一一十學:，然后從-1，0,1中選擇適當?shù)臄?shù)代入求值.

Ix-lX+1）x--\

【答案】系」

【解析】

【分析】根據(jù)分式的運算法則進行運算求解，最后代入x=()求值即可.

.X+1x-\x+2

【詳解】解:原式=

(X—1)0+1)(x—l)(x+l)(x—l)(x+l)

x+1—X+1(x—l)(x+l)

__(x-l)(x+l)JX-x+2

_21(x-l)(x+l)

(x—l)(x+l)x+2

2

x+2

；x+l邦且x-1并且產(chǎn)2加，

?,."-l且且"-2,

當x=0時，分母不為0,代入：

【點睛】本題考查分式的加減乘除混合運算，解題的關鍵是掌握運算順序為：先算乘除，再算加減，有括

號先算括號內(nèi)的；另外本題選擇合適的數(shù)時要注意選擇的數(shù)不能使分母為0.

19.為了豐富學生們的課余生活，學校準備開展第二課堂，有四類課程可供選擇，分別是“A.書畫類、B.文

藝類、C.社會實踐類、D.體育類”.現(xiàn)隨機抽取了七年級部分學生對報名意向進行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)

果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)圖表信息回答下列問題：

(1)本次被抽查的學生共有名，扇形統(tǒng)計圖中“A.書畫類”所占扇形的圓心角的度數(shù)為

__________K;

(2)請你將條形統(tǒng)計圖補全；

(3)若該校七年級共有600名學生，請根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果估計該校學生選擇“C.社會實踐類”的學生共

有多少名？

（4）本次調(diào)查中抽中了七（1）班王芳和小穎兩名學生，請用列表法或畫樹狀圖法求她們選擇同一個項目

的概率.

【答案】（1）50,72；（2）見解析；（3）96名；（4）

4

【解析】

【分析】（1）用條形統(tǒng)計圖中D類的人數(shù)除以扇形統(tǒng)計圖中D類所占百分比即可求出被抽查的總?cè)藬?shù)，用

條形統(tǒng)計圖中A類的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)再乘以360。即可求出扇形統(tǒng)計圖中A類所占扇形的圓心角的度數(shù)；

（2）用總?cè)藬?shù)減去其它三類人數(shù)即得B類人數(shù)，進而可補全條形統(tǒng)計圖；

（3）用C類人數(shù)除以總?cè)藬?shù)再乘以600即可求出結(jié)果；

（4）先利用列表法求出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再找出王芳和小穎兩名學生選擇同一個項目的結(jié)果數(shù)，然后

根據(jù)概率公式計算即可.

【詳解】解：⑴本次被抽查的學生共有：20+40%=50名，扇形統(tǒng)計圖中“A.書畫類”所占扇形的圓心

角的度數(shù)為Wx3600=72。；

50

故答案為：50,72；

（2）B類人數(shù)是：50—10—8—20=12名，補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：

50

答：估計該校學生選擇“C.社會實踐類”的學生共有96名;

（4）所有可能的情況如下表所示:

ABCD

A”，A)(B.A)(C,A)(D,X)

B(A.B)(B.B)(C,B)(D.B)

C(A.C)(B.C)(C,C)(￡>.C)

D(A.D)(B,D)(c,D)(D,D)

由表格可得：共有16種等可能的結(jié)果，其中王芳和小穎兩名學生選擇同一個項目的結(jié)果有4種，

41

王芳和小穎兩名學生選擇同一個項目的概率=一=一.

164

【點睛】本題是統(tǒng)計與概率類綜合題，主要考查了條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、利用樣本估計總體和求兩次

事件的概率等知識，屬于?？碱}型，正確理解題意、熟練掌握上述基本知識是解題的關鍵.

20.如圖，某數(shù)學興趣小組為測量一棵古樹的高度，在距離古樹A點處測得古樹頂端D的仰角為30。，然后

向古樹底端C步行20米到達點B處，測得古樹頂端D的仰角為45。，且點A、B、C在同一直線上求古樹

CD的高度.（已知：72=1.414,73?1.732,結(jié)果保留整數(shù)）

【答案】27米

【解析】

CD

【分析】設CB=CD=x,根據(jù)tan30*——即可得出答案.

CA

【詳解】解：由題意可知，AB=20,NDAB=30。，ZC=90°,ZDBC=45°,

,/△BCD是等腰直角三角形，

.?.設CB=CD=x,

CDCDx_73

tan30°=-------

CAAB+CB20+x3

解得x=1073+10=10x1.732+10=27.32-27,

；.CD=27,

答：CD的高度為27米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用，等腰三角形的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形是解題關鍵.

21.定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形.

（1）下面四邊形是垂等四邊形的是（填序號）

①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形

（2）圖形判定：如圖1,在四邊形ABC。中，AD//BC,ACVBD,過點D作BD垂線交BC的延長線

于點E,且“80=45°,證明：四邊形43C。是垂等四邊形.

（3）由菱形面積公式易知性質(zhì)：垂等四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半.應用：在圖2中，面積為

24的垂等四邊形ABCD內(nèi)接于。O中，ZBCD=60°.求。0的半徑.

【答案】（1）④；（2）證明過程見解析；③4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)垂等四邊形的性質(zhì)對每個圖形判斷即可；

（2）根據(jù)已知條件可證明四邊形ACED是平行四邊形，即可得到AC=DE,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)

即可得到結(jié)果；

（3）過點O作根據(jù)面積公式可求得BD的長，根據(jù)垂徑定理即可得到答案.

【詳解】（1）①平行四邊形的對角線互相平分但不垂直和相等，故不是；②矩形對角線相等但不垂直；③

菱形的對角線互相垂直但不相等；④正方形的對角線互相垂直且相等，故正方形是垂等四邊形；

（2）VACLBD,EDLBD，

；.AC〃DE,

又?:AD//BC,

：.四邊形ADEC是平行四邊形，

；.AC=DE,

又?:NDBC=45。,

???△BDE是等腰直角三角形，

；.BD=DE,

；.BD=AC,

四邊形ABCD是垂等四邊形.

(3)如圖，過點0作QELBD,

圖2

V四邊形ABCO是垂等四邊形，

；.AC=BD,

又???垂等四邊形的面積是24,,根據(jù)垂等四邊形的面積計算方法得:

AC=BD=40,

又：NBCD=6()°,

；?ZDOE=60°,

設半徑為r,根據(jù)垂徑定理可得：

在△ODE中，OD=r,DE=2>/3>

DE2A/3，

/，—_______—____—4

sin60°y/3>

~2

：.QO的半徑為4.

【點睛】本題主要考查了四邊形性質(zhì)與圓的垂徑定理應用，準確理解新定義的垂等四邊形的性質(zhì)是解題的

關鍵.

22.某商店計劃采購甲、乙兩種不同型號的平板電腦共20臺，已知甲型平板電腦進價1600元，售價2000

元；乙型平板電腦進價為2500元，售價3000元.

(1)設該商店購進甲型平板電腦x臺，請寫出全部售出后該商店獲利y與x之間函數(shù)表達式.

(2)若該商店采購兩種平板電腦的總費用不超過39200元，全部售出所獲利潤不低于8500元，請設計出所

有采購方案，并求出使商店獲得最大利潤的采購方案及最大利潤.

【答案】(1)y=-100x+1000()；(2)共有四種采購方案：①甲型電腦12臺，乙型電腦8臺，②甲型電腦13

臺，乙型電腦7臺，③甲型電腦14臺，乙型電腦6臺，④甲型電腦15臺，乙型電腦5臺，采購甲型電腦12

臺，乙型電腦8臺時商店獲得最大利潤，最大利潤是8800元.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)利潤等于每臺電腦的利潤乘以臺數(shù)列得函數(shù)關系式即可；

(2)根據(jù)題意列不等式組，求出解集，根據(jù)解集即可得到四種采購方案，由(1)的函數(shù)關系式得到當x取最

小值時，y有最大值，將X=12代入函數(shù)解析式求出結(jié)果即可.

【詳解】(1)由題意得:y=(2000-1600)x+(3000-2500)(20-x)=-100x+10000,

.?.全部售出后該商店獲利y與x之間函數(shù)表達式為y=-100x+10000；

‘1600x+2500(20-x)439200

(2)由題意得：<

400^+500(20-^)>8500

解得12WXW15,

???x為正整數(shù)，

；.x=12、13、14、15,

共有四種采購方案：

①甲型電腦12臺，乙型電腦8臺，

②甲型電腦13臺，乙型電腦7臺，

③甲型電腦14臺，乙型電腦6臺，

④甲型電腦15臺，乙型電腦5臺，

Vy=-100x+10000,1.-100<0,

，y隨x的增大而減小，

當x取最小值時，y有最大值，

即x=12時，y最大值=-100x12+10000=8800，

采購甲型電腦12臺，乙型電腦8臺時商店獲得最大利潤，最大利潤是8800元.

【點睛】此題考查了一次函數(shù)的實際應用，不等式組的應用，方案問題的解決方法，正確理解題意，根據(jù)

題意列出對應的函數(shù)關系式或是不等式組解答問題是解題的關鍵.

23.如圖，在。。中，AB為直徑，點C為圓上一點，延長AB到點D,使CD=CA,且NO=30°.

o

(1)求證：co是。o的切線.

(2)分別過A、B兩點作直線CD的垂線，垂足分別為E、F兩點，過C點作AB的垂線，垂足為點G.求

證：CG2=AEBF.

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

【分析】（1）連接OC,ZCAD=ZD=30°,由OC=OA,進而得到NOCA=NCAD=30。，由三角形外角定理得

至U/COD=/A+NOCA=60。，△OCD中由內(nèi)角和定理可知/OCD=90。即可證明；

⑵證明AC是NEAG的角平分線,CB是/FCG的角平分線，得到CE=CG,CF=CG,再證明△AEC^ACFB,

對應線段成比例即可求解.

【詳解】解：（1）連接0C,如下圖所示：

VCA=CD,且ND=30°,

ZCAD=ZD=30°,

OA=OC,

ZCAD=ZACO=30°,

ZCOD=ZCAD+ZACO=300+30°=60°,

，ZOCD=1800-ZD-ZCOD=180o-30°-60o=90°,

OC±CD,

CD是(DO的切線.

(2)連接BC,如下圖所示：

VZCOB=60°,且OC=OB,

，AOCB為等邊三角形，ZCBG=60°,

又CG_LAD,.,.ZCGB=90°,

ZGCB=ZCGB-ZCBG=30°,

又/GCD=60°,

...CB是NGCD的角平分線，且BFJ_CD,BG±CG,

；.BF=BG,

又BC=BC,

.,.△BCGaBCF,

；.CF=CG.

VZD=30°,AE_LED,ZE=90°,

ZEAD=60°,

又/CAD=30°,

；.AC是NEAG的角平分線，且CE_LAE,CG1AB

，CE=CG,

VZE=ZBFC=90o,ZEAC=30°=ZBCF,

.".△AEC^ACFB,

CE

???——=——，即AEBF=CFCE,

CFBF

又CE=CG,CF=CG,

AEBF=CG2-

【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等，屬于中考?？碱}

型，熟練掌握切線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)是解決此題的關鍵.

24.如圖所示，拋物線y=f—2x—3與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C,點M為拋物線的頂點.

(1)求點c及頂點M的坐標.

(2)若點N是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，連接BN、CN求△3CN面積的最大值及此時點N的坐標.

(3)若點D是拋物線對稱軸上的動點，點G是拋物線上的動點，是否存在以點B、C、D、G為頂點的四

邊形是平行四邊形.若存在，求出點G的坐標；若不存在，試說明理由.

(4)直線CM交x軸于點E,若點P是線段EM上的一個動點，是否存在以點P、E、O為頂點的三角形與

△ABC相似.若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

27315

【答案】(1)(0,-3),(1,-4)；(2)y,(3)G點坐標存在，為(2,-3)或(4,5)或(-2,5)；(4)P點坐

39

標存在，為(---,---)或(-1,-2).

44

【解析】

【分析】(1)令拋物線解析式中x=0即可求出C點坐標，由公式(-二b,4-ac—h~)即可求出頂點M坐標;

2a4a

(2)如下圖所示，過N點作x軸的垂線交直線BC于Q點，設N(〃,〃2—2〃—3),求出BC解析式，進而得到

Q點坐標，最后根據(jù)SfjjcN-StMQC+SKNQB即可求解;

(3)設D點坐標為(l,t),G點坐標為(加，加2一2/〃一3),然后分成①DG是對角線；②DB是對角線；③DC是

對角線時三種情況進行討論即可求解;

(4)連接AC,由CE=CB可知/B=NE,求出MC的解析式，設P(x,-x-3),然后根據(jù)△PEO相似△ABC,分

成一EO上=—EP和一EO上=—EP討論即可求解.

BABCBCBA

【詳解】解：⑴令y=——2x—3中x=0,止匕時y=-3,故C點坐標為(0,-3),

又二次函數(shù)的頂點坐標為(__L,4ac—b-),代入數(shù)據(jù)解得M點坐標為(1,-4),

2a4a

故答案為：C點坐標為(0,-3),M點坐標為(1,-4)；

(2)過N點作x軸的垂線交直線BC于Q點，連接BN,CN,如下圖所示:

令y=/-2九一3中)=0,解得B(3,0),A(-l,0),

設直線BC的解析式為：y=ax+b,代入C(0,-3),B(3,0),

—3=ba=l

。=3。+"'解得,，即直線BC的解析式為：>=九-3,

p=-3

設N點坐標(n,n2-2n-3),故Q點坐標為,其中0<〃<3,

貝US^CN=S^QC+S^QB=；?QN?(XQ-XC)+^QN\XB-XQ)

=-QN-(xQ-xc+xB-xQ)

=g.QN(XB-Xc),其中xQ,xc,xB分別表示Q,C,B三點的橫坐標,

且QN—(H—3)——2'—3)—n~+3〃,—X。3,

IQQ33?7

故即”5《一/+3力3=-5〃2+y=一萬(〃—/+9’其中。<〃<3,

327

當〃=不時，SAHCN有最大值為M,

，o

315

此時N的坐標為(一,---),

24

27315

故答案為：S點有最大值為至，N的坐標為勺-7；

（3）設D點坐標為（l,t）,G點坐標為（孫加一2陽一3）,且B（3,0）,C（0,-3）

分類討論:

情況①：當DG為對角線時;則另一對角線是BC,由中點坐標公式可知:

線段DG的中點坐標為（受華，汽兀），即（山」+13-3）,

2222

線段BC的中點坐標為（受孕，筆上），即（孚，等），

2222

此時DG的中點與BC的中點為同一個點，

1+加3

m=2

,解得〈

t+m'-2m-33t=0

22

檢驗此時四邊形DCGB平行四邊形，此時G坐標為（2,-3）；

情況②：當DB為對角線時，則另一對角線是GC,由中點坐標公式可知:

線段DB的中點坐標為（整％,&■