數(shù)學(xué)中考專(zhuān)題訓(xùn)練-勾股定理的應(yīng)用

中考專(zhuān)題訓(xùn)練——勾股定理的應(yīng)用

1.如圖，在把易拉罐中水倒入一個(gè)圓水杯的過(guò)程中，若水杯中的水在點(diǎn)P與易拉罐剛好接

觸，求此時(shí)水杯中的水深為多少？（結(jié)果用根式表示）

三三；80°

［杯

2.《中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例》規(guī)定：小汽車(chē)在城市街道上的行駛速度不得超過(guò)

70千米/時(shí)，如圖，一輛小汽車(chē)在某城市街道直道上行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面

車(chē)速檢測(cè)儀A（觀測(cè)點(diǎn)）正前方30米處的C處，過(guò)了2秒鐘后，測(cè)得小汽車(chē)與車(chē)速檢測(cè)

儀間的距離為50米，問(wèn)：這輛小汽車(chē)超速了嗎？（參考數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換：lm/s=3.6h"〃?）

小汽車(chē)小汽車(chē)

布II點(diǎn)

3.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師組織學(xué)生測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂

到了地面還多1米，當(dāng)同學(xué)們把繩子的下端拉開(kāi)5米后，發(fā)現(xiàn)繩子下端剛好接觸地面，

請(qǐng)你根據(jù)題意畫(huà)出圖形，并求旗桿的高度.

4.如圖，一幢居民樓與馬路平行且相距9米，在距離載重汽車(chē)41米處（圖中B點(diǎn)位置）

就會(huì)受到噪音影響，試求在馬路上以4米/秒速度行駛的載重汽車(chē)，給這幢居民樓帶來(lái)多

長(zhǎng)時(shí)間的噪音影響？若影響時(shí)間超過(guò)25秒，則此路禁止該車(chē)通行，那么載重汽車(chē)可以在

這條路上通行嗎？

|71號(hào)民樓

5.甲、乙兩船從位于南北走向的海岸線上的港口A同時(shí)出發(fā)，甲以每小時(shí)15海里的速度

向北偏東40°方向航行，乙船以每小時(shí)20海里的速度向另一方向航行，4小時(shí)后甲船到

達(dá)C島，乙船到達(dá)B島，已知8、C兩島相距100海里，判斷乙船航行的方向，并說(shuō)明

理由.

6.如圖，有一個(gè)三角形花圃，NC=90°,AC=20m,BC=10m,兩個(gè)人同時(shí)從點(diǎn)8處出

發(fā)，以相同速度沿著花圃四周散步，一個(gè)沿著B(niǎo)Q,D4方向走，另一個(gè)沿著B(niǎo)C,。方

向走，結(jié)果他們?cè)邳c(diǎn)A處首次相遇，你能據(jù)此求出4。的長(zhǎng)嗎？試試看.

U

7.如圖是校園內(nèi)的一塊菜地，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)量得：/ADC=90°,40=40%,CD

=30m，BC=l20m,AB=130m,求這塊菜地的面積.

8.如圖，是位于公路邊的電線桿，高為10米，為了使電線COE不影響汽車(chē)的正常行駛,

電力部門(mén)在公路的另一邊豎立了一根水泥撐桿BD,用于撐起電線.已知兩桿之間的距

離是8米，電線OE的長(zhǎng)度為10米，求水泥撐桿的高度（電線桿、水泥桿的粗細(xì)忽

略不計(jì)）.

9.某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開(kāi)辟為生物園，如圖所示，NACB=90°,AC=

80m,BC=f>0m.線段CD是一條水渠，且。點(diǎn)在邊AB上，已知水渠的造價(jià)為1000元

/〃?，問(wèn)：當(dāng)水渠的造價(jià)最低時(shí)，CO長(zhǎng)為多少米？最低造價(jià)是多少元？

10.如圖，一棵樹(shù)8,在其6〃?高的點(diǎn)B處有兩只猴子，它們都要到A處池塘邊喝水，其

中一只猴子沿樹(shù)爬下走到離樹(shù)12巾處的池塘A處，另一只猴子爬到樹(shù)頂。后直線躍向池

塘的A處.如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的路程相等，試問(wèn)這棵樹(shù)有多高？

11.如圖，是斜坡AC上的一根電線桿A8用鋼絲繩BC進(jìn)行固定的平面圖.已知斜坡AC

的長(zhǎng)度為4a，鋼絲繩BC的長(zhǎng)度為5MABLA。于點(diǎn)A,CCA。于點(diǎn)。，若8=2相，

則電線桿A8的高度是多少.（結(jié)果保留根號(hào)）

12.如圖，要修建一個(gè)育苗棚，棚高人=3"?,棚寬〃=4〃3棚長(zhǎng)4=12機(jī)，現(xiàn)要在育苗棚的

整個(gè)表面（除底面外所有的面）覆蓋一層塑料薄膜，試求至少需要多少平方米塑料薄膜？

（接縫處不計(jì)）

13.一種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測(cè)得內(nèi)部底面直徑為5c7”，高為12c%,吸管放進(jìn)杯

里，杯口外面露出5c,〃.問(wèn)吸管要做多長(zhǎng)？

14.如圖，一架10米長(zhǎng)的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AC上，梯子的頂端距地面的垂直距

離為8米，如果梯子的頂端沿墻下滑1米.

(1)求它的底端滑動(dòng)多少米？

(2)為了防止梯子下滑，保證安全，小強(qiáng)用一根繩子連接在墻角C與梯子的中點(diǎn)。處,

你認(rèn)為這樣效果如何？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

15.如圖，已知AC、BO為數(shù)值的墻面，一架梯子從點(diǎn)。豎起，當(dāng)靠在墻面AC上時(shí)，梯

子的另一端落在點(diǎn)A處，此時(shí)N4OC=60°,當(dāng)靠在墻面上時(shí)，梯子的另一端落在

點(diǎn)3處，此時(shí)/8。。=45°,且。0=3加米.

(1)求梯子的長(zhǎng)；

(2)求。C、AC的長(zhǎng).

16.如圖一架云梯AB斜靠在一面墻上，梯子的底端B離墻根0的距離。8長(zhǎng)為7米，梯子

的頂端A到地面的距離0A為24米.

(1)求這個(gè)梯子A8的長(zhǎng)；

(2)如果梯子的頂端A下滑4米到A'點(diǎn)，梯子的底端B向右滑動(dòng)到夕點(diǎn)，試求

的長(zhǎng).

17.如圖，有兩條公路OM,ON相交成30°角.沿公路0M方向離。點(diǎn)80米處有一所學(xué)

校A,當(dāng)重型運(yùn)輸卡車(chē)P沿道路ON方向行駛時(shí)，在以P為圓心50米長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)

域內(nèi)都會(huì)受到卡車(chē)噪聲的影響，且卡車(chē)戶(hù)與學(xué)校A的距離越近噪聲影響越大.若已知重

型運(yùn)輸卡車(chē)P沿道路ON方向行駛的速度為18千米/時(shí).

(1)求對(duì)學(xué)校A的噪聲影響最大時(shí)卡車(chē)P與學(xué)校A的距離；

(2)求卡車(chē)P沿道路ON方向行駛一次給學(xué)校A帶來(lái)噪聲影響的時(shí)間.

18.某港口位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自

沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海

里.它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里.

(1)求PQ、PR的長(zhǎng).

(2)如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行？為什

19.如圖所示，A、8兩塊試驗(yàn)田相距200米，C為水源地，AC=160〃?，BC=120，m為了

方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠.

甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、&

乙方案；過(guò)點(diǎn)C作A8的垂線，垂足為H,先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上

的“處，再?gòu)摹狈謩e向A、B進(jìn)行修筑.

(1)請(qǐng)判斷△48C的形狀(要求寫(xiě)出推理過(guò)程)；

(2)兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.

20.中國(guó)對(duì)南沙群島及其附近海域擁有無(wú)可爭(zhēng)辯的主權(quán).2015年10月27日，美國(guó)拉森號(hào)

軍艦未經(jīng)中國(guó)政府允許，非法進(jìn)入中國(guó)南沙群島有關(guān)島礁鄰近海域.中國(guó)海軍鹽城艦加

大南沙海域的巡航維權(quán)力度.如圖，OALOB,OA=45海里，。8=15海里，渚碧礁位

于。點(diǎn)，鹽城艦在點(diǎn)8處發(fā)現(xiàn)美國(guó)拉森號(hào)軍艦，自4點(diǎn)出發(fā)沿著AO方向勻速駛向渚碧

礁所在地。點(diǎn)，鹽城艦立即從8處出發(fā)以相同的速度沿某直線去攔截拉森號(hào)軍艦，結(jié)果

在點(diǎn)C處截住了拉森號(hào)軍艦.

(1)請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出C處的位置；

(2)求鹽城艦行駛的航程的長(zhǎng).

B

A

參考答案：

I.如圖，在把易拉罐中水倒入一個(gè)圓水杯的過(guò)程中，若水杯中的水在點(diǎn)P與易拉罐剛好接

觸，求此時(shí)水杯中的水深為多少？（結(jié)果用根式表示）

【分析】直接利用勾股定理得出P8的長(zhǎng)，再利用三角形面積求出答案.

【解答】解：過(guò)尸作于

在中，ZABP=30a

則AP=8X工=4

2

由勾股定理得：不=4y，

由得：

22

▲X8?PM=2X4X4\B，

22

解得：PM=?M'

故水深為(10-2)cm,

答：此時(shí)水杯中的水深為(10-2/§)cm.

2.《中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例》規(guī)定：小汽車(chē)在城市街道上的行駛速度不得超過(guò)

70千米/時(shí)，如圖，一輛小汽車(chē)在某城市街道直道上行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面

車(chē)速檢測(cè)儀A(觀測(cè)點(diǎn))正前方30米處的C處，過(guò)了2秒鐘后，測(cè)得小汽車(chē)與車(chē)速檢測(cè)

儀間的距離為50米，問(wèn)：這輛小汽車(chē)超速了嗎？(參考數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換：I〃?/s=3.6h"http://i)

小汽車(chē)小汽車(chē)

B9--...........................<C

瀛點(diǎn)-

【分析】直角三角形48c中，有斜邊AB的長(zhǎng)，有直角邊AC的長(zhǎng)，那么BC的長(zhǎng)就很容

易求得，根據(jù)小汽車(chē)用2s行駛的路程為BC,那么可求出小汽車(chē)的速度，然后再判斷是

否超速了.

【解答】解：在RtZ\ABC中，AC=30m,AB=50m,

由勾股定理可得：BC=N/_蛻2=40(〃?)，

.?.小汽車(chē)的速度為.=40+2=20Cm/s)=20X3.6(.km/h)=72(km/h),

V72(.km/h)>70(.km/h'),

.?.這輛小汽車(chē)超速行駛.

答：這輛小汽車(chē)超速了.

3.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師組織學(xué)生測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂

到了地面還多1米，當(dāng)同學(xué)們把繩子的下端拉開(kāi)5米后，發(fā)現(xiàn)繩子下端剛好接觸地面，

請(qǐng)你根據(jù)題意畫(huà)出圖形，并求旗桿的高度.

A

【分析】因?yàn)槠鞐U、繩子、地面正好構(gòu)成直角三角形，設(shè)旗桿的高度為x米，則繩子的

長(zhǎng)度為（x+1）米，根據(jù)勾股定理即可求得旗桿的高度.

【解答】解：設(shè)旗桿的高度為X米，則繩子的長(zhǎng)度為（X+1）米，

根據(jù)勾股定理可得：/+5?=（x+1）2,

解得，X=}2.

答：旗桿的高度為12米.

4.如圖，一幢居民樓與馬路平行且相距9米，在距離載重汽車(chē)41米處（圖中B點(diǎn)位置）

就會(huì)受到噪音影響，試求在馬路上以4米/秒速度行駛的載重汽車(chē)，給這幢居民樓帶來(lái)多

長(zhǎng)時(shí)間的噪音影響？若影響時(shí)間超過(guò)25秒，則此路禁止該車(chē)通行，那么載重汽車(chē)可以在

這條路上通行嗎？

馬路

【分析】先根據(jù)勾股定理求出BC及。C的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出的長(zhǎng)，根據(jù)載重汽車(chē)的速

度是4m/s即可得出受噪音影響的時(shí)間，與25秒相比較即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)C,

;由題意得AC=9,AB=AD=A\,ACLBD,

.?.RtZXACB中，此="]2_92,

AC。中，DC=y/4]2_鏟,

.,.87）=80,

.*.804-4=20（s）,

受影響時(shí)間為20s；

V20<25,

可以通行.

5.甲、乙兩船從位于南北走向的海岸線上的港口4同時(shí)出發(fā)，甲以每小時(shí)15海里的速度

向北偏東40°方向航行，乙船以每小時(shí)20海里的速度向另一方向航行，4小時(shí)后甲船到

達(dá)C島，乙船到達(dá)B島，已知B、C兩島相距100海里，判斷乙船航行的方向，并說(shuō)明

【分析】根據(jù)題意得出AC,AB的長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理得出aBAC是直角三角

形，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：由題意可得：

AC=15X4=60（海里），

48=20X4=80（海里），

AC2+,4B2=602+802=10000,

loooo,

故AC2+AB2=BC2,

??.△54C是直角三角形，

AZBAC=90°,

180°-40°-90°=50°,

，乙船航行的方向是南偏東50°.

6.如圖，有一個(gè)三角形花圃，NC=90°,AC=20m,8c=10,〃，兩個(gè)人同時(shí)從點(diǎn)8處出

發(fā)，以相同速度沿著花圃四周散步，一個(gè)沿著8。，D4方向走，另一個(gè)沿著B(niǎo)C,CA方

向走，結(jié)果他們?cè)邳c(diǎn)A處首次相遇，你能據(jù)此求出AO的長(zhǎng)嗎？試試看.

【分析】設(shè)BL>=x,AD^y,再由BD+AO=BC+AC及勾股定理列出關(guān)于x、y的方程組,

求出y的值即可.

【解答】解：設(shè)B￡)=x,AD=y,

'：BD+AD=BC+AC,AC1+CD1=ADL,AC=20m,BC=10，〃，

x+y=30

：.},解得y=25/n,即AO=25m.

,202+(10+x)2=y

7.如圖是校園內(nèi)的一塊菜地，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)量得：ZADC=90°,AD=4Qm,CD

=30m，8c=120"，AB=130/n,求這塊菜地的面積.

【分析】連接AC,先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△

ACB的形狀，根據(jù)S四邊彩ABC=SzsACB-SAACD即可得出結(jié)論

【解答】解：連接AC,

?.?40=40,CD=30,NA￡)C=90°,

：.AC^yJ4O2+3O2=50,

?.,AB=130,BC=120,

：.AC2+BC2=AB2,

.二△ACB是直角三角形，

2

ASraa?/iBC=SMCB-SAACD=—X50X120-Ax30X40=3000-600=2400(w),

22

答：這塊菜地的面積為2400次.

8.如圖，4E是位于公路邊的電線桿，高為10米，為了使電線CDE不影響汽車(chē)的正常行駛,

電力部門(mén)在公路的另一邊豎立了--根水泥撐桿BD,用于撐起電線.已知兩桿之間的距

離是8米，電線。E的長(zhǎng)度為10米，求水泥撐桿8力的高度(電線桿、水泥桿的粗細(xì)忽

略不計(jì)).

【分析】作于尸，在RtzXEF。中，。尸=AB=8,DE=10,由勾股定理求出E凡

即可得出結(jié)果.

【解答】解：作OFJ_AE于尸，如圖所示：

則在RtZkE尸。中,DF=AB=&,DE=10,

22

：?EF=VDE-DF=V102-82=6,

：.BD=AF=AE-EF=\0-6=4（米）；

答：水泥撐桿B4的高度為4米.

9.某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開(kāi)辟為生物園，如圖所示，ZACB=90°,AC=

80mBC=60/n.線段CD是一條水渠，且。點(diǎn)在邊A8上，已知水渠的造價(jià)為1000元

/〃?，問(wèn)：當(dāng)水渠的造價(jià)最低時(shí)，CD長(zhǎng)為多少米？最低造價(jià)是多少元？

【分析】當(dāng)CD為斜邊上的高時(shí)，CD最短，從而水渠造價(jià)最低，根據(jù)已知條件可將C。

的長(zhǎng)求出，在RlZsAC。中運(yùn)用勾股定理可將A力邊求出.

【解答】解：當(dāng)C。為斜邊上的高時(shí)，CO最短，從而水渠造價(jià)最低，

VZACB=90°,AC=80米，8C=60米，

22

?MB=VAC+BC=7602+802=?。。米，

"：CD'AB=AC'BC,HPCD，100=80X60,

.\CD=48米，

...在RtZXAC。中，4c=80,CD=48,

所以，CO長(zhǎng)為48米，水渠的造價(jià)最低，其最低造價(jià)為48000元.

10.如圖，一棵樹(shù)CD在其6m高的點(diǎn)8處有兩只猴子，它們都要到A處池塘邊喝水，其

中一只猴子沿樹(shù)爬下走到離樹(shù)12相處的池塘A處，另一只猴子爬到樹(shù)頂。后直線躍向池

塘的A處.如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的路程相等，試問(wèn)這棵樹(shù)有多高？

【分析】由題意知AD+O8=BC+CA,設(shè)米，則A￡)=(18-x)米，且在直角4

ACD中CD^C^^AD2,代入勾股定理公式中即可求x的值，樹(shù)高CD=6+x.

【解答】解：由題意知AC+OB=BC+CA,且CA=12米，BC=6米，

設(shè)B￡>=x米，則(18-%)米，

在RtZ\ACD中：。。2+°2=4。2,

即(18-%)2=(6+無(wú))2+122,

解得x=3,

故樹(shù)高為CD—6+3=9米.

答：樹(shù)高為9米.

11.如圖，是斜坡AC上的一根電線桿A8用鋼絲繩BC進(jìn)行固定的平面圖.已知斜坡AC

的長(zhǎng)度為4如鋼絲繩BC的長(zhǎng)度為5m。于點(diǎn)A,。于點(diǎn)。，若CO=2/n,

則電線桿AB的高度是多少.(結(jié)果保留根號(hào))

B

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE//AD交AB于點(diǎn)E,得到矩形ADCE,那么AE=CD=2,CE=

AD.先在直角△ACO中利用勾股定理求出AQ,然后在直角△BCE中利用勾股定理求出

BE,那么4B=AE+BE,問(wèn)題得解.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CE〃A。交AB于點(diǎn)E,

?.?A81.A。于點(diǎn)A,COJ_A。于點(diǎn)。，

四邊形AOCE是矩形，

：.AE=CD=2,CE=AD.

在直角△ACD中，

VZADC=90°,

?，MD^VAC2-CD2=2e,

：.CE=AD=2\[2-

在直角△BCE中，；NBEC=9Q°,

22

BE="\/BC-CE=>

AB=AE+BE=2+2V13.

即電線桿AB的高度是（2+J石）m.

12.如圖，要修建一個(gè)育苗棚，棚高〃=3機(jī)，棚寬4=4〃?，棚長(zhǎng)d=12m,現(xiàn)要在育苗棚的

整個(gè)表面（除底面外所有的面）覆蓋一層塑料薄膜，試求至少需要多少平方米塑料薄膜？

（接縫處不計(jì)）

【分析】在側(cè)面的直角三角形中，由勾股定理可得，直角三角形的斜邊長(zhǎng).棚頂是以側(cè)

面的斜邊為寬，棚的長(zhǎng)為長(zhǎng)的矩形，依據(jù)矩形的面積公式即可求解，進(jìn)而可求出需要多

少平方米塑料薄膜.

【解答】解：'：h=3m,a=4m,

=VAC2+BC25（W）'

，需要多少平方米塑料薄膜=5X12+2X^X3X4+3X12=108（wi2）.

13.一種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測(cè)得內(nèi)部底面直徑為5c,",高為12cm,吸管放進(jìn)杯

里，杯口外面露出5cm.問(wèn)吸管要做多長(zhǎng)？

【分析】在吸管(杯內(nèi)部分)、杯底直徑、杯高構(gòu)成的直角三角形中，由勾股定理可求

出杯內(nèi)吸管部分的長(zhǎng)度，再加上外露部分的長(zhǎng)度即可求出吸管的總長(zhǎng).

【解答】解:如圖所示：

,杯子底面直徑為5cw,高為12c/n,

BC=5cm,AB—12crn,

：吸管、圓柱形杯內(nèi)部底面直徑與杯壁正好構(gòu)成直角三角形，

???AC=\AB2+BC2=13C，”,

；杯口外面至少要露出5cm,

吸管的長(zhǎng)為：13+5=18?！?

14.如圖，一架10米長(zhǎng)的梯子A8,斜靠在一豎直的墻AC上，梯子的頂端距地面的垂直距

離為8米，如果梯子的頂端沿墻下滑1米.

(1)求它的底端滑動(dòng)多少米？

(2)為了防止梯子下滑，保證安全，小強(qiáng)用一根繩子連接在墻角C與梯子的中點(diǎn)。處，

你認(rèn)為這樣效果如何？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

【分析】(1)在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理求得BC的長(zhǎng)度；然后在直角△AiBiC中，

根據(jù)勾股定理求得81c的長(zhǎng)度，則88i=BC-8C；

(2)因?yàn)樵谥苯侨切沃校盒边吷系闹芯€等于斜邊的一半，斜邊為梯子的長(zhǎng)度不變，所

以繩子的長(zhǎng)度不變，并不拉伸，對(duì)梯子無(wú)拉力作用.

【解答】解：(1)在直角△A8C中，NAC8=90°,AB=10米，AC=8米，由勾股定

理得BC=\卜._氐2=6米.

在直角△4BC中，/ACBi=90°,AiBi=10,A\C=1,由勾股定理得BiC=J五.

所以BBi=BiC-BC=J^i-6

答：它的底端滑動(dòng)(倔-6)米.

(2)并不穩(wěn)當(dāng)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，梯子若下滑，繩子的長(zhǎng)

度不變，并不拉伸，對(duì)梯子無(wú)拉力作用.

15.如圖，已知4C、B0為數(shù)值的墻面，一架梯子從點(diǎn)。豎起，當(dāng)靠在墻面4C上時(shí)，梯

子的另一端落在點(diǎn)A處，此時(shí)NAOC=60°,當(dāng)靠在墻面上時(shí)，梯子的另一端落在

點(diǎn)8處，此時(shí)N8OD=45°,且。。=3近米.

(1)求梯子的長(zhǎng)；

(2)求OC、4c的長(zhǎng).

【分析】(1)先根據(jù)題意得出△BOO是等腰直角三角形，再由勾股定理即可得出0B的

長(zhǎng)；

(2)先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出0C的長(zhǎng)，再由勾股定理即可得出AC的長(zhǎng).

【解答】解：(1)???由題意得，ZBDO=90°,NBOD=45：

：.ZB=45°.

.?.00=80=3&(米).

在RtZkOB。中，03=4002+802=6(米)，

梯子的長(zhǎng)是6米；

(2)VZACO=90°,ZAOC=60°,OA=O8=6米，

；./CAO=30°,

；.OC=Lo=3米.

2

在RtAACO中，AC=^AQ2_QC2=折=3禽米.

16.如圖一架云梯A8斜靠在一面墻上，梯子的底端B離墻根0的距離08長(zhǎng)為7米，梯子

的頂端A到地面的距離0A為24米.

(1)求這個(gè)梯子AB的長(zhǎng)；

(2)如果梯子的頂端4下滑4米到4'點(diǎn)，梯子的底端B向右滑動(dòng)到B'點(diǎn)，試求88'

的長(zhǎng).

【分析】(1)在△RfAOB中依據(jù)勾股定理可知AB2=OA2-0^2=242+72=625,兩邊同時(shí)

開(kāi)方即可求得AB的長(zhǎng)；

(2)在RtZ\A'OB'中依據(jù)勾股定理可求得OB'的長(zhǎng)，從而可求得8B'的長(zhǎng).

【解答】解：(1)在RtaAOB中，

；OA=24,0B=7,

由勾股定理得：-082=242+72=625=252,

."8=25；

(2),/0A1=OA-AA'=24-4=20,

在RtZ!vl'OB'中，

"：A'B'=25,OA'=20,

由勾股定理得：OB'2-OA'2=252-202=225=152,

：.OB'=15,

：.BB'=OB'-OB=15-7=8.

17.如圖，有兩條公路。M,ON相交成30°角.沿公路OM方向離。點(diǎn)80米處有一所學(xué)

校4當(dāng)重型運(yùn)輸卡車(chē)尸沿道路ON方向行駛時(shí)，在以P為圓心50米長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)

域內(nèi)都會(huì)受到卡車(chē)噪聲的影響，且卡車(chē)P與學(xué)校A的距離越近噪聲影響越大.若已知重

型運(yùn)輸卡車(chē)尸沿道路ON方向行駛的速度為18千米/時(shí).

(1)求對(duì)學(xué)校A的噪聲影響最大時(shí)卡車(chē)P與學(xué)校A的距離；

(2)求卡車(chē)尸沿道路ON方向行駛一次給學(xué)校A帶來(lái)噪聲影響的時(shí)間.

【分析】(1)作AO1.ON于。，求出AO的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題.

(2)如圖以A為圓心50w為半徑畫(huà)圓,交ON于8、C兩點(diǎn)，求出BC的長(zhǎng)，利用時(shí)間

=尊厚計(jì)算即可.

速度

【解答】解：（1）作ACON于。，

VZMON=3>0°,AO=80m,

.?.Ar>=」OA=40，〃，

2

即對(duì)學(xué)校A的噪聲影響最大時(shí)卡車(chē)P與學(xué)校A的距離40m.

（2）如圖以A為圓心50根為半徑畫(huà)圓，交ON于8、C兩點(diǎn)，

HBC,

:.BD=CD=LBC,

2

在RtAABD中，BD={AB?-AD?=^502-40=3°加，

：.BC=60m,

???重型運(yùn)輸卡車(chē)的速度為18千米/時(shí)=300米/分鐘，

，重型運(yùn)輸卡車(chē)經(jīng)過(guò)8c的時(shí)間=60+300=0.2分鐘=12秒，

答：卡車(chē)尸沿道路ON方向行駛一次給學(xué)校A帶來(lái)噪聲影響的時(shí)間為12秒.

18.某港口位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自

沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海

里.它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里.

（1）求PQ、PR的長(zhǎng).

（2）如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行？為什

【分析】（1）根據(jù)路程=速度X時(shí)間計(jì)算即可.

(2)利用勾股定理的逆定理證明NQPR=90°即可.

【解答】解：根據(jù)題意，得

(1)P(2=16X1.5=24(海里)，PR=12X1.5=18(海里)，

(2)VPg2+P/?2=242+182=900,QR2=900

；.PQ2+PR2=QR2,

；.NQPR=90°.

由“遠(yuǎn)航號(hào)”沿東北方向航行可知，ZQPS=45°,則N5PR=45°,即“海天”號(hào)沿

西北方向航行.

19.如圖所示，A、8兩塊試驗(yàn)田相距20