專題15 陰影部分面積處理技巧-2023年中考數(shù)學(xué)拉分專題（教師版含解析）

專題15陰影部分面積處理技巧求陰影部分面積的常用方法：①公式法：所求圖形是規(guī)則圖形，如扇形、特殊四邊形等，可直接利用公式計(jì)算；求陰影部分面積的常用方法：①公式法：所求圖形是規(guī)則圖形，如扇形、特殊四邊形等，可直接利用公式計(jì)算；②和差法：所求圖形是不規(guī)則圖形，可通過轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積的和或差；③等積變換法：直接求面積較麻煩或根本求不出時(shí)，通過對圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)等，為公式法或和差法創(chuàng)造條件.④相似與同高不同底三角形結(jié)合法.1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角的頂點(diǎn)在軸的正半軸上，已知點(diǎn)、、，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則圖中陰影部分圖形的面積為___________．【答案】【分析】先判斷出，根據(jù)勾股定理可得的長，根據(jù)繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，可得圖中陰影部分面積，再根據(jù)扇形面積公式即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵，，∴，，∵，∴．∴，∵繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴圖中陰影部分面積．故答案為：．【我思故我在】本題考查了扇形面積的計(jì)算，勾股定理，坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．2．如圖，在正方形ABCD中，AB=12．以點(diǎn)B為圓心，BA長為半徑在正方形內(nèi)部作，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接BE分別以點(diǎn)B，E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交于點(diǎn)F，交BE于點(diǎn)G，則圖中陰影部分的周長為______．【答案】【分析】連接BF，EF，根據(jù)作法可得MN為BE的垂直平分線，從而得到△BEF為等邊三角形，再求出弧EF的長，再根據(jù)陰影部分的周長為，即可求解．【詳解】解：如圖，連接BF，EF，根據(jù)題意得：BF=BE=AB=12，根據(jù)作法得：MN為BE的垂直平分線，∴BF=EF，BG=EG=6，∴BE=BF=EF，，∴△BEF為等邊三角形，∴∠EBF=60°，∴弧EF的長為，∴陰影部分的周長為．故答案為：【我思故我在】本題主要考查了求弧長，等邊三角形的判定和性質(zhì)，尺規(guī)作圖，熟練掌握弧長公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，作已知線段的垂直平分線的作法是解題的關(guān)鍵．3．如圖，AB是半圓O的直徑，且AB=10，點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn)．將此半圓沿AP所在的直線折疊，若恰好弧AP過圓心O，則圖中陰影部分的面積是______．（結(jié)果保留π）【答案】【分析】過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，交弧AP于點(diǎn)E，則可判斷點(diǎn)O是弧AOP的中點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可得OD=DE=R=，在Rt△OBD中求出∠OAD=30°，繼而得出∠AOC，求出扇形AOC的面積即可得出陰影部分的面積．【詳解】解：過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，交弧AP于點(diǎn)E，連接OP，則點(diǎn)E是弧AEP的中點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可得點(diǎn)O為弧AOP的中點(diǎn)，∴S弓形AO=S弓形PO，在Rt△AOD中，OA=OB=R=5，OD=DE=R=，∴∠OAD=30°，∴∠BOP=60°，∴S陰影=S扇形BOP==π．故答案為：π．【我思故我在】本題考查了扇形面積的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，判斷點(diǎn)O是弧AOP的中點(diǎn)，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積．4．如圖1，是一枚殘缺的古代錢幣．圖2是其幾何示意圖，正方形的邊長是1cm，的直徑為2cm，且正方形的中心和圓心重合，，分別是，的延長線與的交點(diǎn)，則錢幣殘缺部分（即圖2中陰影部分）的面積是___________．【答案】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；【詳解】解：如圖，延長正方形的四邊得到圓O的內(nèi)接正方形EFGH，∴∵該圓直徑為2，則半徑為1∴S陰影=故答案為：【我思故我在】本題主要考查圓的性質(zhì)，掌握圓的性質(zhì)并正確求解是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心作圓心角為的扇形，點(diǎn)恰在弧上，則圖中陰影部分的面積為___________．【答案】【分析】連接．根據(jù)題意和圖形，可以發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積扇形的面積四邊形的面積．又易證≌，即得出四邊形的面積等于的面積，最后由扇形面積公式和三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：連接，如圖，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，．又，≌，四邊形的面積等于的面積，．故答案為：．【我思故我在】本題考查扇形面積的計(jì)算、等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，正確連接輔助線，并利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．6．如圖，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，OB＝4，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑畫弧，分別交OA、AB于點(diǎn)C、D，則圖中陰影部分的面積是_____（結(jié)果保留π）【答案】【分析】根據(jù)題意，首先證明根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】解：OB＝4，∴△OBD是等邊三角形故答案為∶．【我思故我在】本題主要考查了扇形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，學(xué)會添加輔助線和數(shù)據(jù)公式是解題關(guān)鍵．7．如圖，在平行四邊形中，對角線、相交于點(diǎn)，，是邊的中點(diǎn)，、為上的點(diǎn)，連接和，若，，，則圖中陰影部分的面積為_____．【答案】120【分析】連接先證明四邊形是平行四邊形，得到，根據(jù)EO∥BG，得到，從而得到，由此求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接∵平行四邊形中，對角線、相交于點(diǎn)，∴是邊的中點(diǎn)，又∵是邊的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴EO∥BG，．又∵，∴，∴四邊形是平行四邊形．∴，又∵EO∥BG，∴，∴．

∴．∵，∴等腰中邊上的高為，∴．∵是邊的中點(diǎn)，∴．∴陰影部分的面積為120．故答案為：120．【我思故我在】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、三角形的中線有關(guān)面積計(jì)算、不規(guī)則圖形面積的計(jì)算，熟知上述圖形的判定與性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)，將不規(guī)則圖形拆分成規(guī)則圖形是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，將線段DC繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊AB上時(shí)，圖中陰影部分的面積是_____．【答案】24﹣64π【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DE＝DC＝4，由銳角三角函數(shù)可求∠ADE＝60°，由勾股定理可求AE的長，分別求出扇形EDC和四邊形DCBE的面積，即可求解．【詳解】解：∵將線段DC繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，∴DE＝DC＝4，∵cos∠ADE，∴∠ADE＝60°，∴∠EDC＝30°，∴S扇形EDC4π，∵AE6，∴BE＝AB﹣AE＝46，∴S四邊形DCBE24﹣6，∴陰影部分的面積＝24﹣64π，故答案為：24﹣64π．【我思故我在】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，矩形的性質(zhì)，扇形的面積公式等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中點(diǎn)，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABEF和正方形ACGH，連接FD，HD．若BC＝6，則陰影部分的面積是______．【答案】9【分析】分別取AB、AC的中點(diǎn)N、M，連接DN、DM，則可得，，又，分別表示出△AFD和△AHD的面積，即可求得答案．【詳解】解：如圖，分別取AB、AC的中點(diǎn)N、M，連接DN、DM，∵D是BC中點(diǎn)，∴DN∥AC，且，DM∥AB，且，∵∠BAC＝90°，∴DN⊥AB，DM⊥AC，在正方形ABEF和正方形ACGH中，AF=AB，AH=AC，∴，，又∵在Rt△ABC中，∴．故答案為9【我思故我在】本題考查陰影部分面積的求法，準(zhǔn)確作出輔助線，列出面積計(jì)算公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在OBC中，∠COB＝90°，∠B＝60°，CO＝4，以O(shè)B為半徑的半圓O交斜邊BC于點(diǎn)D，則陰影部分面積為_____（結(jié)果保留π）．【答案】+4【分析】連接OD，首先證得△BOD是等邊三角形，然后解直角三角形求得OB，再利用扇形面積求法以及等邊三角形面積求法得出答案．【詳解】解：連接OD，∵OB＝OD，∠B＝60°，∴△BOD是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠COD＝90°﹣60°＝30°，在△OBC中，∠COB＝90°，∠B＝60°，CO＝4，∴OB＝OC＝×4＝4，∴S陰影＝S扇形DOE+S△BOD，＝＝+4，故答案為：+4．【我思故我在】此題主要考查了解直角三角形、扇形面積求法以及等邊三角形的性質(zhì)，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．11．如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在邊上，交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，，再由勾股定理可得，再證得為等邊三角形，可得，，進(jìn)而得到，，再根據(jù)陰影部分的面積等于，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，在中，，，，∴AB=2BC=4，，∴，，∴為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴陰影部分的面積等于．故答案為：【我思故我在】本題主要考查了求扇形面積，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得到陰影部分的面積等于是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．以為直徑的交于點(diǎn)，連接．若是的切線，，，則陰影部分的面積是______．【答案】【分析】連接OE，由圖形可知：S陰影=S四邊形OBED-S扇形OBD，通過圓的性質(zhì)可以分別求出四邊形OBED和扇形OBD的面積，即可求解．【詳解】解：如圖，連接OE，∵O是AB的中點(diǎn)，∴OB=AB=2，在Rt△ABC中，BC=AB?tanA=，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=BC=，S△OBE=×OB?BE=，∵DE是⊙O的切線，∴∠ODE=∠OBE=90°，∵OB=OD，OE=OE，∴Rt△OBE≌Rt△ODE（HL），∴S△ODE=S△OBE=，∴S四邊形OBED=，∵∠A=60°，∴∠BOD=120°，∴S扇形OBD=，∴S陰影=S四邊形OBED-S扇形OBD=．【我思故我在】本題主要考查了圓的綜合性質(zhì)，切線的性質(zhì)，扇形的面積等知識，熟練掌握圓的綜合性質(zhì)，將不規(guī)則的陰影面積用規(guī)則面積表達(dá)出來是解決本題的關(guān)鍵．13．如圖，在扇形OAB中，∠AOB=105°，半徑OA=6，將扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在弧AB上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則陰影部分的面積為_________．【答案】-9【分析】連接OD，交BC于E，根據(jù)對折得出BC⊥OD，DE=OE=3，∠DBE=∠OBE，OB=BD=6，求出△DOB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠DOB=∠DBO=60°，求出∠COD=∠AOB-∠DOB=45°，求出CE=OE=3，再分別求出扇形AOD和△COD的面積即可．【詳解】解：連接OD，交BC于E，∵沿BC對折O和D重合，OD=6，∴BC⊥OD，DE=OE=3，∠DBE=∠OBE，OB=BD=6，∴∠BEO=90°，△DOB是等邊三角形，∴∠DOB=∠DBO=60°，∵∠AOB=105°，∴∠COD=∠AOB-∠DOB=45°，∵∠OEC=90°，∴CE=OE=3，∴陰影部分的面積=S扇形AOD-S△COD==π-9，故答案為：π-9．【我思故我在】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積計(jì)算等知識點(diǎn)，能把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵.14．如圖，點(diǎn)O是半圓圓心，BE是半圓的直徑，點(diǎn)A，D在半圓上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝4，過點(diǎn)D作DC⊥BE于點(diǎn)C，則陰影部分的面積是_____．【答案】【分析】求出半圓半徑、OC、CD，根據(jù)，得到，根據(jù)即可求解．【詳解】如圖，連接OA，∵，OA=OB，∴△OAB是等邊三角形，∴OA=AB=4，∠AOB=60°∵，∴∠DAO=∠AOB=60°，∵OA=OD，∴△OAD是等邊三角形，∴∠AOD=60°，OA=OD=4，∴∠DOE=60°，∴在Rt△OCD中，，，∵，∴，∴．故答案為：．【我思故我在】本題考查了不規(guī)則圖形面積的求法、解直角三角形、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)根據(jù)，得到，從而將陰影面積轉(zhuǎn)化為扇形面積與三角形面積的差．15．如圖，在扇形OBA中，，，點(diǎn)C，D分別是線段OB和AB的中點(diǎn)，連接CD，交AB于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】【分析】連接OD，BD，先證明為等邊三角形，由三線合一可知，由銳角三角函數(shù)的知識求出CD、CE的長，然后根據(jù)求解即可．【詳解】解：連接OD，BD，如解圖所示．在扇形OBA中，∵，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴．∵，∴為等邊三角形．又∵C為線段OB的中點(diǎn)，∴，．所以在中，，∴．∵，，∴，即，∴在中，，∴，∵，∴．故答案為：．【我思故我在】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的知識，弧、弦、圓心角的關(guān)系，以及扇形的面積公式，熟練掌握各知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．16．如圖，在Rt△ABC中．，，，以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)D為CE的中點(diǎn)，以D為圓心，DE為半徑畫弧交BC于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為_______．【答案】【分析】根據(jù)可以觀察圖形可知，分別計(jì)算出兩個(gè)扇形面積和兩個(gè)三角形面積即可得到陰影部分的面積．【詳解】連接BE，∵BC=BE，且∠C=60°，∴為等邊三角形，同理可得也為等邊三角形，=，==，∵、為等邊三角形，∴∠CBE=∠CDF=60°，則∠GBE=90°-60°=30°，∠EDF=180°-60°=120°，=，=，則=．【我思故我在】本題考查了不規(guī)則圖形面積的計(jì)算，其中涉及到扇形面積求解、三角形面積求解，要在熟練掌握各種圖形面積計(jì)算公式的前提下，靈活運(yùn)用割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積．17．如圖，AB為半徑的直徑，且AB=6，半圓繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到的位置，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得S半圓AB=S半圓A′B，∠ABA′=45°，由于S陰影部分+S半圓AB=S半圓A′B+S扇形ABA′，則S陰影部分=S扇形ABA′，然后根據(jù)扇形面積公式求解即可．【詳解】∵半圓繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到A′的位置，

∴S半圓AB=S半圓A′B，∠ABA′=45°，∴S陰影部分+S半圓AB=S半圓A′B+S扇形ABA′，∴S陰影部分=S扇形ABA′=，故答案為：．【我思故我在】本題考查了扇形面積的計(jì)算以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵關(guān)鍵是熟練掌握扇形面積公式．18．如圖，C為半圓內(nèi)一點(diǎn)，O為圓心，直徑長為，，將繞圓心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)在上，則邊掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為_______．（結(jié)果保留）【答案】【分析】根據(jù)已知條件和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出扇形B′OB和扇形C′OC的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)扇形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：∵∠BOC=60°，是△BOC繞圓心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO≌△B′C′O，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°，∵AB=2cm，∴OB=1cm，∴O