專題15 陰影部分面積處理技巧-2023年中考數學拉分專題（教師版含解析）

專題15陰影部分面積處理技巧求陰影部分面積的常用方法：①公式法：所求圖形是規(guī)則圖形，如扇形、特殊四邊形等，可直接利用公式計算；求陰影部分面積的常用方法：①公式法：所求圖形是規(guī)則圖形，如扇形、特殊四邊形等，可直接利用公式計算；②和差法：所求圖形是不規(guī)則圖形，可通過轉化成規(guī)則圖形的面積的和或差；③等積變換法：直接求面積較麻煩或根本求不出時，通過對圖形的平移、旋轉、割補等，為公式法或和差法創(chuàng)造條件.④相似與同高不同底三角形結合法.1．如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角的頂點在軸的正半軸上，已知點、、，將繞點順時針旋轉得到，則圖中陰影部分圖形的面積為___________．【答案】【分析】先判斷出，根據勾股定理可得的長，根據繞點A順時針旋轉得到，可得圖中陰影部分面積，再根據扇形面積公式即可求出結果．【詳解】解：∵，，∴，，∵，∴．∴，∵繞點A順時針旋轉得到，∴圖中陰影部分面積．故答案為：．【我思故我在】本題考查了扇形面積的計算，勾股定理，坐標與圖形變化-旋轉，熟記扇形的面積公式是解答此題的關鍵．2．如圖，在正方形ABCD中，AB=12．以點B為圓心，BA長為半徑在正方形內部作，點E為上一點，連接BE分別以點B，E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點M，N，作直線MN，交于點F，交BE于點G，則圖中陰影部分的周長為______．【答案】【分析】連接BF，EF，根據作法可得MN為BE的垂直平分線，從而得到△BEF為等邊三角形，再求出弧EF的長，再根據陰影部分的周長為，即可求解．【詳解】解：如圖，連接BF，EF，根據題意得：BF=BE=AB=12，根據作法得：MN為BE的垂直平分線，∴BF=EF，BG=EG=6，∴BE=BF=EF，，∴△BEF為等邊三角形，∴∠EBF=60°，∴弧EF的長為，∴陰影部分的周長為．故答案為：【我思故我在】本題主要考查了求弧長，等邊三角形的判定和性質，尺規(guī)作圖，熟練掌握弧長公式，等邊三角形的判定和性質，作已知線段的垂直平分線的作法是解題的關鍵．3．如圖，AB是半圓O的直徑，且AB=10，點P為半圓上一點．將此半圓沿AP所在的直線折疊，若恰好弧AP過圓心O，則圖中陰影部分的面積是______．（結果保留π）【答案】【分析】過點O作OD⊥BC于點D，交弧AP于點E，則可判斷點O是弧AOP的中點，由折疊的性質可得OD=DE=R=，在Rt△OBD中求出∠OAD=30°，繼而得出∠AOC，求出扇形AOC的面積即可得出陰影部分的面積．【詳解】解：過點O作OD⊥BC于點D，交弧AP于點E，連接OP，則點E是弧AEP的中點，由折疊的性質可得點O為弧AOP的中點，∴S弓形AO=S弓形PO，在Rt△AOD中，OA=OB=R=5，OD=DE=R=，∴∠OAD=30°，∴∠BOP=60°，∴S陰影=S扇形BOP==π．故答案為：π．【我思故我在】本題考查了扇形面積的計算，解答本題的關鍵是作出輔助線，判斷點O是弧AOP的中點，將陰影部分的面積轉化為扇形的面積．4．如圖1，是一枚殘缺的古代錢幣．圖2是其幾何示意圖，正方形的邊長是1cm，的直徑為2cm，且正方形的中心和圓心重合，，分別是，的延長線與的交點，則錢幣殘缺部分（即圖2中陰影部分）的面積是___________．【答案】【分析】根據圓的性質進行求解即可；【詳解】解：如圖，延長正方形的四邊得到圓O的內接正方形EFGH，∴∵該圓直徑為2，則半徑為1∴S陰影=故答案為：【我思故我在】本題主要考查圓的性質，掌握圓的性質并正確求解是解題的關鍵．5．如圖，在中，，點為的中點，以點為圓心作圓心角為的扇形，點恰在弧上，則圖中陰影部分的面積為___________．【答案】【分析】連接．根據題意和圖形，可以發(fā)現陰影部分的面積扇形的面積四邊形的面積．又易證≌，即得出四邊形的面積等于的面積，最后由扇形面積公式和三角形面積公式計算即可．【詳解】解：連接，如圖，，點為的中點，，，，，．又，≌，四邊形的面積等于的面積，．故答案為：．【我思故我在】本題考查扇形面積的計算、等腰直角三角形的性質，三角形全等的判定和性質．解答本題的關鍵是明確題意，正確連接輔助線，并利用數形結合的思想解答．6．如圖，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，OB＝4，以點O為圓心，OB為半徑畫弧，分別交OA、AB于點C、D，則圖中陰影部分的面積是_____（結果保留π）【答案】【分析】根據題意，首先證明根據計算即可．【詳解】解：OB＝4，∴△OBD是等邊三角形故答案為∶．【我思故我在】本題主要考查了扇形的面積，等邊三角形的判定和性質等知識，學會添加輔助線和數據公式是解題關鍵．7．如圖，在平行四邊形中，對角線、相交于點，，是邊的中點，、為上的點，連接和，若，，，則圖中陰影部分的面積為_____．【答案】120【分析】連接先證明四邊形是平行四邊形，得到，根據EO∥BG，得到，從而得到，由此求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接∵平行四邊形中，對角線、相交于點，∴是邊的中點，又∵是邊的中點，∴是的中位線，∴EO∥BG，．又∵，∴，∴四邊形是平行四邊形．∴，又∵EO∥BG，∴，∴．

∴．∵，∴等腰中邊上的高為，∴．∵是邊的中點，∴．∴陰影部分的面積為120．故答案為：120．【我思故我在】本題考查了平行四邊形的性質與判定、三角形的中線有關面積計算、不規(guī)則圖形面積的計算，熟知上述圖形的判定與性質是解題的基礎，將不規(guī)則圖形拆分成規(guī)則圖形是解題的關鍵．8．如圖，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，將線段DC繞點D按逆時針方向旋轉，當點C的對應點E恰好落在邊AB上時，圖中陰影部分的面積是_____．【答案】24﹣64π【分析】由旋轉的性質可得DE＝DC＝4，由銳角三角函數可求∠ADE＝60°，由勾股定理可求AE的長，分別求出扇形EDC和四邊形DCBE的面積，即可求解．【詳解】解：∵將線段DC繞點D按逆時針方向旋轉，∴DE＝DC＝4，∵cos∠ADE，∴∠ADE＝60°，∴∠EDC＝30°，∴S扇形EDC4π，∵AE6，∴BE＝AB﹣AE＝46，∴S四邊形DCBE24﹣6，∴陰影部分的面積＝24﹣64π，故答案為：24﹣64π．【我思故我在】本題考查了旋轉的性質，銳角三角函數，矩形的性質，扇形的面積公式等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．9．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中點，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABEF和正方形ACGH，連接FD，HD．若BC＝6，則陰影部分的面積是______．【答案】9【分析】分別取AB、AC的中點N、M，連接DN、DM，則可得，，又，分別表示出△AFD和△AHD的面積，即可求得答案．【詳解】解：如圖，分別取AB、AC的中點N、M，連接DN、DM，∵D是BC中點，∴DN∥AC，且，DM∥AB，且，∵∠BAC＝90°，∴DN⊥AB，DM⊥AC，在正方形ABEF和正方形ACGH中，AF=AB，AH=AC，∴，，又∵在Rt△ABC中，∴．故答案為9【我思故我在】本題考查陰影部分面積的求法，準確作出輔助線，列出面積計算公式進行轉化是解題的關鍵．10．如圖，在OBC中，∠COB＝90°，∠B＝60°，CO＝4，以OB為半徑的半圓O交斜邊BC于點D，則陰影部分面積為_____（結果保留π）．【答案】+4【分析】連接OD，首先證得△BOD是等邊三角形，然后解直角三角形求得OB，再利用扇形面積求法以及等邊三角形面積求法得出答案．【詳解】解：連接OD，∵OB＝OD，∠B＝60°，∴△BOD是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠COD＝90°﹣60°＝30°，在△OBC中，∠COB＝90°，∠B＝60°，CO＝4，∴OB＝OC＝×4＝4，∴S陰影＝S扇形DOE+S△BOD，＝＝+4，故答案為：+4．【我思故我在】此題主要考查了解直角三角形、扇形面積求法以及等邊三角形的性質，熟記扇形的面積公式是解答此題的關鍵．11．如圖，在中，，，，將繞點順時針旋轉，點的對應點落在邊上，交于點，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】【分析】根據旋轉的性質，可得，，再由勾股定理可得，再證得為等邊三角形，可得，，進而得到，，再根據陰影部分的面積等于，即可求解．【詳解】解：根據題意得：，，在中，，，，∴AB=2BC=4，，∴，，∴為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴陰影部分的面積等于．故答案為：【我思故我在】本題主要考查了求扇形面積，勾股定理，等邊三角形的判定和性質等知識，根據題意得到陰影部分的面積等于是解題的關鍵．12．如圖，在中，，點是的中點．以為直徑的交于點，連接．若是的切線，，，則陰影部分的面積是______．【答案】【分析】連接OE，由圖形可知：S陰影=S四邊形OBED-S扇形OBD，通過圓的性質可以分別求出四邊形OBED和扇形OBD的面積，即可求解．【詳解】解：如圖，連接OE，∵O是AB的中點，∴OB=AB=2，在Rt△ABC中，BC=AB?tanA=，∵E是BC的中點，∴BE=BC=，S△OBE=×OB?BE=，∵DE是⊙O的切線，∴∠ODE=∠OBE=90°，∵OB=OD，OE=OE，∴Rt△OBE≌Rt△ODE（HL），∴S△ODE=S△OBE=，∴S四邊形OBED=，∵∠A=60°，∴∠BOD=120°，∴S扇形OBD=，∴S陰影=S四邊形OBED-S扇形OBD=．【我思故我在】本題主要考查了圓的綜合性質，切線的性質，扇形的面積等知識，熟練掌握圓的綜合性質，將不規(guī)則的陰影面積用規(guī)則面積表達出來是解決本題的關鍵．13．如圖，在扇形OAB中，∠AOB=105°，半徑OA=6，將扇形OAB沿過點B的直線折疊，點O恰好落在弧AB上的點D處，折痕交OA于點C，則陰影部分的面積為_________．【答案】-9【分析】連接OD，交BC于E，根據對折得出BC⊥OD，DE=OE=3，∠DBE=∠OBE，OB=BD=6，求出△DOB是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得出∠DOB=∠DBO=60°，求出∠COD=∠AOB-∠DOB=45°，求出CE=OE=3，再分別求出扇形AOD和△COD的面積即可．【詳解】解：連接OD，交BC于E，∵沿BC對折O和D重合，OD=6，∴BC⊥OD，DE=OE=3，∠DBE=∠OBE，OB=BD=6，∴∠BEO=90°，△DOB是等邊三角形，∴∠DOB=∠DBO=60°，∵∠AOB=105°，∴∠COD=∠AOB-∠DOB=45°，∵∠OEC=90°，∴CE=OE=3，∴陰影部分的面積=S扇形AOD-S△COD==π-9，故答案為：π-9．【我思故我在】本題考查了等邊三角形的性質和判定，直角三角形的性質，扇形的面積計算等知識點，能把求不規(guī)則圖形的面積轉化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關鍵.14．如圖，點O是半圓圓心，BE是半圓的直徑，點A，D在半圓上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝4，過點D作DC⊥BE于點C，則陰影部分的面積是_____．【答案】【分析】求出半圓半徑、OC、CD，根據，得到，根據即可求解．【詳解】如圖，連接OA，∵，OA=OB，∴△OAB是等邊三角形，∴OA=AB=4，∠AOB=60°∵，∴∠DAO=∠AOB=60°，∵OA=OD，∴△OAD是等邊三角形，∴∠AOD=60°，OA=OD=4，∴∠DOE=60°，∴在Rt△OCD中，，，∵，∴，∴．故答案為：．【我思故我在】本題考查了不規(guī)則圖形面積的求法、解直角三角形、平行線的性質、等邊三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是根據根據，得到，從而將陰影面積轉化為扇形面積與三角形面積的差．15．如圖，在扇形OBA中，，，點C，D分別是線段OB和AB的中點，連接CD，交AB于點E，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】【分析】連接OD，BD，先證明為等邊三角形，由三線合一可知，由銳角三角函數的知識求出CD、CE的長，然后根據求解即可．【詳解】解：連接OD，BD，如解圖所示．在扇形OBA中，∵，點D為的中點，∴．∵，∴為等邊三角形．又∵C為線段OB的中點，∴，．所以在中，，∴．∵，，∴，即，∴在中，，∴，∵，∴．故答案為：．【我思故我在】本題考查了等邊三角形的判定與性質，銳角三角函數的知識，弧、弦、圓心角的關系，以及扇形的面積公式，熟練掌握各知識點是解答本題的關鍵．16．如圖，在Rt△ABC中．，，，以點B為圓心，BC為半徑畫弧，交AC于點E，交AB于點G，點D為CE的中點，以D為圓心，DE為半徑畫弧交BC于點F，則圖中陰影部分的面積為_______．【答案】【分析】根據可以觀察圖形可知，分別計算出兩個扇形面積和兩個三角形面積即可得到陰影部分的面積．【詳解】連接BE，∵BC=BE，且∠C=60°，∴為等邊三角形，同理可得也為等邊三角形，=，==，∵、為等邊三角形，∴∠CBE=∠CDF=60°，則∠GBE=90°-60°=30°，∠EDF=180°-60°=120°，=，=，則=．【我思故我在】本題考查了不規(guī)則圖形面積的計算，其中涉及到扇形面積求解、三角形面積求解，要在熟練掌握各種圖形面積計算公式的前提下，靈活運用割補法求不規(guī)則圖形的面積．17．如圖，AB為半徑的直徑，且AB=6，半圓繞點B順時針旋轉45°，點A旋轉到的位置，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】【分析】根據旋轉的性質得S半圓AB=S半圓A′B，∠ABA′=45°，由于S陰影部分+S半圓AB=S半圓A′B+S扇形ABA′，則S陰影部分=S扇形ABA′，然后根據扇形面積公式求解即可．【詳解】∵半圓繞點B順時針旋轉45°，點A旋轉到A′的位置，

∴S半圓AB=S半圓A′B，∠ABA′=45°，∴S陰影部分+S半圓AB=S半圓A′B+S扇形ABA′，∴S陰影部分=S扇形ABA′=，故答案為：．【我思故我在】本題考查了扇形面積的計算以及旋轉的性質，解題的關鍵關鍵是熟練掌握扇形面積公式．18．如圖，C為半圓內一點，O為圓心，直徑長為，，將繞圓心O逆時針旋轉至，點在上，則邊掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為_______．（結果保留）【答案】【分析】根據已知條件和旋轉的性質得出扇形B′OB和扇形C′OC的圓心角的度數，再根據扇形的面積公式進行計算即可得出答案．【詳解】解：∵∠BOC=60°，是△BOC繞圓心O逆時針旋轉得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO≌△B′C′O，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°，∵AB=2cm，∴OB=1cm，∴O