2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題11 立體幾何專題（數(shù)學(xué)文化）（解析版）

專題11立體幾何專題（數(shù)學(xué)文化）一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）笛卡爾是世界著名的數(shù)學(xué)家，他因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認為是解析幾何之父.據(jù)說在他生病臥床時，還在反復(fù)思考一個問題：通過什么樣的方法，才能把“點”和“數(shù)”聯(lián)系起來呢？突然，他看見屋頂角上有一只蜘蛛正在拉絲織網(wǎng)，受其啟發(fā)建立了笛卡爾坐標(biāo)系的雛形.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，單位正方體頂點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由圖寫出點的坐標(biāo)，然后再利用關(guān)于軸對稱的點的性質(zhì)寫出對稱點的坐標(biāo).【詳解】由圖可知，點，所以點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為.故選：B.2．（2022春·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）民間娛樂健身工具陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址．如圖所示的是一個陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖．已知底面圓的直徑，圓柱體的高，圓錐體的高，則這個陀螺的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合組合體表面積的計算方法計算出正確答案.【詳解】圓柱、圓錐的底面半徑為，圓錐的母線長為，所以陀螺的表面積是.故選：C3．（2022秋·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考期中）《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽馬”實為“底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐”．如圖，在“陽馬”中，E為的重心，若，，，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】連接AE并延長交CD于點F，則F為CD的中點，利用向量的加減運算得答案【詳解】連接AE并延長交CD于點F，因為E為的重心，則F為CD的中點，且.故選：B．4．（2022秋·河南商丘·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）榫卯是一種中國傳統(tǒng)建筑、家具及其他器械的主要結(jié)構(gòu)方式，是在兩個構(gòu)件上采用凹凸部位相結(jié)合的一種連接方式．凸出的部分叫做榫（或叫榫頭），凹進部分叫卯（或叫榫眼、榫槽）．現(xiàn)要在一個木頭部件制作一個榫眼，最終完成一個直角轉(zhuǎn)彎結(jié)構(gòu)的部件，那么制作成的榫眼的俯視圖可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用排除法結(jié)合俯視圖的定義和已知條件分析判斷.【詳解】法一：榫眼的形狀和榫頭一致，故榫眼的俯視圖的輪廓線為虛線且從結(jié)果圖可知榫眼應(yīng)為通透的，排除AD；又C選項的結(jié)構(gòu)左下方部分缺了一塊，這與榫眼的結(jié)構(gòu)不符，符合條件的只有B．法二：因榫眼的制作部件為長方體，所以，C，D不正確；又榫眼應(yīng)為通透的，所以A不正確，所以符合條件的只有B．故選B．5．（2021秋·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習(xí)）張衡是中國東漢時期偉大的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)得出圓周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上，底面，，且，，利用張衡的結(jié)論可得球的表面積為（

）A．30 B． C． D．【答案】D【分析】由，底面，將三棱錐放在長方體中，求出外接球的半徑以及圓周率的值，再由球的表面積公式即可求解.【詳解】如圖所示：因為，底面，，，所以將三棱錐放在長、寬、高分別為的長方體中，三棱錐的外接球即為該長方體的外接球，外接球的直徑，利用張衡的結(jié)論可得，則，所以球的表面積為.故選：D.6．（2021春·陜西榆林·高三?？茧A段練習(xí)）“天圓地方”觀反映了中國古代科學(xué)對宇宙的認識，后來發(fā)展成為中國傳統(tǒng)文化的重要思想.中國古人將琮、璧、圭、璋、璜、琥六種玉制禮器謂之“六瑞”，玉琮內(nèi)圓外方，表示天和地，中間的穿孔表示天地之間的溝通，可以說是中國古代世界觀很好的象征物.下面是一玉琮圖及其三視圖，設(shè)規(guī)格如圖所示（單位：cm），則三視圖中，兩點在實物中對應(yīng)的兩點在實物玉璧上的最小距離約為（

）（，）A．8.4 B．9.8 C．10.4 D．11.2【答案】A【分析】玉琮的中空部分看成一圓柱，，兩點可看成是圓柱軸截面所對應(yīng)矩形的對角線的端點，將圓柱側(cè)面展開，線段的長就是沿該圓柱表面由到的最短距離．【詳解】本題考查傳統(tǒng)文化與圓柱的側(cè)面展開圖.由題意，將玉琮的中空部分看成一圓柱，，兩點可看成是圓柱軸截面所對應(yīng)矩形的對角線的端點，現(xiàn)沿該圓柱表面由到，如圖，將圓柱側(cè)面展開，可知.故選：A．7．（2022·全國·高一專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有這樣的圖形：今有圓錐，下周三丈五尺，高五丈一尺（1丈尺）；若該圓錐的母線長尺，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓錐的底面周長求出底面半徑，從而利用勾股定理即可求出該圓錐的母線長.【詳解】易知三丈五尺=35尺，五丈一尺=51尺，設(shè)圓錐的底面半徑為，則，所以，所以.故選：C.8．（2021秋·吉林四平·高三四平市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，半正多面體是由兩種或多種正多邊形面組成，而又不屬于正多面體的凸多面體．如圖，某廣場的一張石凳就是一個阿基米德多面體，它是由正方體截去八個一樣的四面體得到的．若被截正方體的棱長為，則該阿基米德多面體的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】通過圖形可知阿基米德多面體是由六個全等的正方形和八個全等的等邊三角形構(gòu)成，分別求解正方形和等邊三角形面積，加和即可.【詳解】由題意知：阿基米德多面體是由六個全等的正方形和八個全等的等邊三角形構(gòu)成，其中正方形邊長和等邊三角形的邊長均為；阿基米德多面體的表面積.故選：A.9．（2022秋·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級中學(xué)校考開學(xué)考試）牟合方蓋是由我國古代數(shù)學(xué)家劉徽首先發(fā)現(xiàn)并采用的一種用于計算球體體積的方法，該方法不直接給出球體的體積，而是先計算牟合方蓋的體積.劉徽通過計算，“牟合方蓋”的體積與球的體積關(guān)系為，并且推理出了“牟合方蓋”的八分之一的體積計算公式，即，從而計算出.如果記所有棱長都為的正四棱錐的體積為，則（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】計算出，，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，，所有棱長都為的正四棱錐的體積為，，故選：．10．（2022秋·湖北襄陽·高二襄陽市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵中，分別是的中點，是的中點，若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】利用空間向量運算求得正確答案.【詳解】，所以.故選：A11．（2022秋·江西撫州·高二臨川一中?？计谥校┤鐖D，何尊是我國西周早期的青銅禮器，其造型渾厚，工藝精美，尊內(nèi)底鑄銘文中的“宅茲中國”為“中國”一詞最早的文字記載，何尊還是第一個出現(xiàn)“德”字的器物，證明了周王朝以德治國的理念，何尊的形狀可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，組合體的高約為40cm，上口直徑約為28cm，經(jīng)測量可知圓臺的高約為16cm，圓柱的底面直徑約為18cm，則該組合體的體積約為（

）（其中的值取3）A．11280cm3 B．12380cm3 C．12680cm3 D．12280cm3【答案】D【分析】根據(jù)圓柱和圓臺的體積公式即可求解.【詳解】由題意得圓柱的高約為（cm），則何尊的體積（cm3）故選：D．12．（2022秋·安徽·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第11卷中將軸截面為等腰直角三角形的圓錐稱為“直角圓錐”.若一個直角圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直角圓錐性質(zhì)求出圓錐高、母線與底面半徑關(guān)系，根據(jù)圓錐體體積與側(cè)面積公式求解.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，根據(jù)直角圓錐的軸截面為等腰直角三角形可得，圓錐高，母線長，圓錐的側(cè)面積為，解得，所以圓錐的體積為.故選：A.13．（2022秋·青海西寧·高三統(tǒng)考期中）我國歷史文化悠久，“爰”銅方彝是商代后期的一件文物，其蓋似四阿式屋頂，蓋為子口，器為母口，器口成長方形，平沿，器身自口部向下略內(nèi)收，平底?長方形足?器內(nèi)底中部及蓋內(nèi)均鑄一“爰”字.通高24cm，口長13.5cm，口寬12cm，底長12.5cm，底寬10.5cm.現(xiàn)估算其體積，上部分可以看作四棱錐，高約8cm，下部分看作臺體，則其體積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)棱臺與棱錐的體積公式計算可得.【詳解】解：因為，，所以.故選：D14．（2022秋·湖北·高二校聯(lián)考期中）在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為4，，，，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為2和4，對應(yīng)的圓心角為90°，則圖中異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解異面直線與所成角的余弦值．【詳解】圖，設(shè)上底面圓心為，下底面圓心為，連接，，，以為原點，分別以，，所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，又異面直線所成角的范圍為，故異面直線與所成角的余弦值為．故選：A．15．（2023·江西撫州·高三金溪一中?？奸_學(xué)考試）中國某些地方舉行婚禮時要在吉利方位放一張桌子，桌子上放一個裝滿糧食的升斗，斗面用紅紙糊住，斗內(nèi)再插一桿秤、一把尺子，寓意為糧食滿園、稱心如意、十全十美．下圖為一種婚慶升斗的規(guī)格，把該升斗看作一個正四棱臺，忽略其壁厚，則該升斗的容積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，參考公式：）A． B． C． D．【答案】B【分析】由勾股定理算出高h，即可由公式求體積.【詳解】由題意，正四棱臺中，設(shè)棱臺的高為，則，故.故選：B16．（2022春·湖南長沙·高二湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）波利亞在其論著中多次提到“你能用不同的方法推導(dǎo)出結(jié)果嗎？”，“試著換一個角度探索下去……”.這都屬于“算兩次”的原理.另外，更廣義上講，“算兩次”也是對同一個問題，用兩種及其以上的方法解答出來，即對同一個問題解兩次，得到相同的結(jié)果，體現(xiàn)殊途同歸，一題多解.試解決下面的問題：四面體ABCD中，AB=CD=6，其余的棱長均為5，則與該四面體各個表面都相切的內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點E，連接，取的中點F，連接，即可得到平面，求出，即可求出三棱錐的體積，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，即可求出內(nèi)切球的表面積；【詳解】解：取的中點E，連接，取的中點F，連接，由題意，，又平面，∴平面，又，其余棱長均為5，∴，在中，可得，同理可得，所以等腰三角形底邊上的高，∴，∴三棱錐的體積.又，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，三棱錐的體積，可得，所以球的表面積為.故選：C.17．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）燈籠起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍．如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面的一部分（除去兩個球冠）．如圖2，球冠是由球面被一個平面截得的，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半徑為R，球冠的高為h，則球冠的面積．已知該燈籠的高為46cm，圓柱的高為3cm，圓柱的底面圓直徑為30cm，則圍成該燈籠所需布料的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由勾股定理求出，則，分別求出兩個球冠的表面積、燈籠中間球面的表面積、上下兩個圓柱的側(cè)面積即可求出圍成該燈籠所需布料的面積.【詳解】由題意得，得，，所以兩個球冠的表面積之和為，燈籠中間球面的表面積為．因為上下兩個圓柱的側(cè)面積之和為，所以圍成該燈籠所需布料的面積為．故選：B.18．（2022秋·湖北武漢·高二武漢市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）端午佳節(jié)，人們有包粽子和吃粽子的習(xí)俗，粽子主要分為南北兩大派系，地方細分特色鮮明，且形狀各異，裹蒸粽是廣東肇慶地區(qū)最為出名的粽子，是用當(dāng)?shù)靥赜械亩~?水草包裹糯米?綠豆?豬肉?咸蛋黃等蒸制而成的金字塔形的粽子，現(xiàn)將裹蒸粽看作一個正四面體，其內(nèi)部的咸蛋黃看作一個球體，那么，當(dāng)咸蛋黃的體積為時，該裹蒸粽的高的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【分析】要使正四面體的高最小，當(dāng)且僅當(dāng)球與正四面體相內(nèi)切，內(nèi)切球的半徑為，根據(jù)球的體積求出，再根據(jù)等體積法求出；【詳解】解：要使正四面體的高最小，當(dāng)且僅當(dāng)球與正四面體相內(nèi)切，設(shè)正四面體的棱長為，高為，內(nèi)切球的半徑為，則，解得，如圖正四面體中，令為的中點，為底面三角形的中心，則底面所以，即.故選：A19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國建筑的榫卯結(jié)構(gòu)．如圖1，這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長均為2，則該魯班鎖的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】補形出正方體，結(jié)合圖形求出正方體棱長，然后直接求解可得.【詳解】由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個正方體截去了8個正三棱錐所余下來的幾何體，如圖，因為，所以故該正方體的棱長為，且被截去的正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為，則該幾何體的表面積為．故選：A20．（2022秋·江蘇連云港·高三校考階段練習(xí)）芻(chú)甍(méng)是中國古代算數(shù)中的一種幾何體，其結(jié)構(gòu)特征是：底面為長方形，上棱和底面平行，且長度不等于底面平行的棱長的五面體，是一個對稱的楔形體．已知一個芻甍底邊長為，底邊寬為，上棱長為，高為，則它的表面積是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】計算出幾何體每個面的面積，相加即可得解.【詳解】設(shè)幾何體為，如下圖所示：矩形的面積為，側(cè)面為兩個全等的等腰三角形、，兩個全等的等腰梯形、，設(shè)點、在底面內(nèi)的射影點分別為、，過點在平面內(nèi)作，連接，過點在平面內(nèi)作，連接，平面，、平面，，，，，平面，平面，，易知，，則在中，斜高為，所以，，同理可知，梯形的高為，所以，，因此，該幾何體的表面積為.故選：B.二、多選題21．（2021秋·重慶沙坪壩·高二重慶市天星橋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）三星堆遺址，位于四川省廣漢市，距今約三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遺址祭祀坑區(qū)4號坑發(fā)現(xiàn)了玉琮.玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，是一種古人用于祭祀的禮器.假定某玉琮中間內(nèi)空，形狀對稱，如圖所示，圓筒內(nèi)徑長，外徑長，筒高，中部為棱長是的正方體的一部分，圓筒的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，則（

）A．該玉琮的體積為() B．該玉琮的體積為()C．該玉琮的表面積為() D．該玉琮的表面積為()【答案】BD【分析】體積為圓筒體積（外圓柱減去內(nèi)圓柱體積）加上正方體體積減去內(nèi)切圓柱體積．組合體的表面包含下面幾個部分：外圓柱側(cè)面在正方體外面的部分，正方體上下兩個底面去掉其內(nèi)切圓的部分，圓筒的上下兩個底面（兩個圓環(huán)），正方體的4個側(cè)面，內(nèi)圓柱的側(cè)面，面積相加可得．【詳解】由圖可知，組合體的體積().().故選：BD．22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“端午節(jié)”為中國國家法定節(jié)假日之一，已被列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，吃粽子便是端午節(jié)食俗之一．全國各地的粽子包法各有不同．如圖，粽子可包成棱長為的正四面體狀的三角粽，也可做成底面半徑為，高為（不含外殼）的圓柱狀竹筒粽．現(xiàn)有兩碗餡料，若一個碗的容積等于半徑為的半球的體積，則（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．這兩碗餡料最多可包三角粽35個B．這兩碗餡料最多可包三角粽36個C．這兩碗餡料最多可包竹筒粽21個D．這兩碗餡料最多可包竹筒粽20個【答案】AC【分析】分別求出一個正四面體狀的三角粽的體積，一個圓柱狀竹筒粽得體積及兩碗餡料得體積，即可得出答案.【詳解】解：兩碗餡料得體積為：，如圖，在正四面體中，CM為AB邊上得中線，O為三角形ABC的中心，則OD即為正四面體的高，，，，所以正四面體的體積為，即一個正四面體狀的三角粽的體積為，因為，所以這兩碗餡料最多可包三角粽35個，故A正確，B錯誤；一個圓柱狀竹筒粽得體積為，因為，所以這兩碗餡料最多可包竹筒粽21個，故C正確，D錯誤.故選：AC.23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，多見于亭閣式建筑、園林建筑下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為，側(cè)棱長為米，則該正四棱錐的（

）A．底面邊長為米 B．側(cè)棱與底面所成角的余弦值為C．側(cè)面積為平方米 D．體積為立方米【答案】ACD【分析】畫出幾何體的直觀圖，結(jié)合已知條件求得棱錐的底面邊長，逐項求解，即可得到答案.【詳解】如圖所示，在正四棱錐中，為正方形的中心，且，設(shè)底面邊長為，正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為，所以，則，在直角中，可得，即，解得，所以正四棱錐的底面邊長為，所以A正確；因為平面，所以為側(cè)棱與底面所成的角，在直角中，可得，所以B錯誤；正四棱錐的側(cè)面積為平方米，所以C正確；正四棱錐的側(cè)體積為立方米，所以D正確.故選：ACD.24．（2022秋·湖北襄陽·高二?？茧A段練習(xí)）在《九章算術(shù)》中，四個面都是直角三角形的三棱錐被稱為“鱉臑”.在鱉臑中，底面，則（

）A．可能成立 B．可能成立C．一定成立 D．可能成立【答案】BCD【分析】利用線面垂直的判定與性質(zhì)判斷出線線是否垂直，即可判斷對應(yīng)的向量的數(shù)量積是否為0．【詳解】因為底面，所以，所以一定成立；故C正確．若，如圖所示：則△為直角三角形，所以.因為底面，所以,所以△,△均為直角三角形.所以,.在△中，由，，可知，三邊不滿足勾股定理，所以△不是直角三角形，三棱錐不是“鱉臑”.故A錯誤．由三棱錐是“鱉臑”可知：△為直角三角形.由上面的推理可知：不成立，則，或.當(dāng)時，.又，，且面，面，所以面，所以，則，三棱錐是“鱉臑”；故B正確．同理可證：若，則，三棱錐是“鱉臑”；故D正確．故選：BCD25．（2022春·廣東廣州·高一廣州科學(xué)城中學(xué)?？计谥校┨瞥镍P鳥花卉紋浮雕銀杯如圖1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(如圖2)，當(dāng)這種酒杯內(nèi)壁的表面積(假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，表面積為S平方厘米，半球的半徑為R厘米)固定時，若要使得酒杯的容積不大于半球體積的2倍，則R的取值可能為()A． B． C． D．【答案】AC【分析】首先設(shè)圓柱的高與半球的半徑分別為，，酒杯的容積為，則，再根據(jù)和得到，即可得到答案.【詳解】設(shè)圓柱的高與半球的半徑分別為，，酒杯的容積為，則，所以，所以解得.又，所以，解得.所以.故選：AC.26．（2022·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）素描是使用單一色彩表現(xiàn)明暗變化的一種繪畫方法，素描水平反映了繪畫者的空間造型能力．“十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時常用的幾何體實物模型，如圖是某同學(xué)繪制“十字貫穿體”的素描作品．“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側(cè)棱交于兩點，另外兩條相對的側(cè)棱交于一點（該點為所在棱的中點）．若該同學(xué)繪制的“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2，高為6的正四棱柱構(gòu)成，則（

）A．一個正四棱柱的某個側(cè)面與另一個正四棱柱的兩個側(cè)面的交線互相垂直B．該“十字貫穿體”的表面積是C．該“十字貫穿體”的體積是D．一只螞蟻從該“十字貫穿體”的頂點出發(fā)，沿表面到達頂點的最短路線長為【答案】BCD【分析】根據(jù)圖形分別求出，，結(jié)合勾股定理判斷垂直；表面積是由4個正方形和16個與梯形BDEF全等的梯形組成，分別計算；體積用兩個柱體體積減去重疊部分體積；分別計算按路線和在表面內(nèi)移動最短的路徑長．【詳解】如圖一個正四棱柱的某個側(cè)面與另一個正四棱柱的兩個側(cè)面的交線CE、DE則在梯形BDEF中，可知，設(shè)，則根據(jù)立體圖可得，，顯然即CE、DE不垂直，A不正確；該“十字貫穿體”的表面積是由4個正方形和16個與梯形BDEF全等的梯形組成則表面積，B正確；如圖兩個正四棱柱的重疊部分為多面體，取的中點I則多面體可以分成8個全等三棱錐，則該“十字貫穿體”的體積即為，C正確；若按路線，則路線長為若在表面內(nèi)移動，則有：借助部分展開圖，如圖所示：∵，即為鈍角，過B作NE的垂線BH，垂足為H，則BH在展開圖內(nèi)根據(jù)對稱可知此時最短路徑為則從頂點出發(fā)，沿表面到達頂點的最短路徑為，D正確；故選：BCD．27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）祖暅（公元5—6世紀(jì)，祖沖之之子），是我國齊梁時代的數(shù)學(xué)家，他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異.”這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.如圖將底面直徑皆為，高皆為的橢半球體和已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面上，用平行于平面且與距離為的平面截兩個幾何體得到及兩截面，可以證明總成立，若橢半球的短軸，長半軸，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢半球體的體積為30πB．橢半球體的體積為15πC．如果，以為球心的球在該橢半球內(nèi)，那么當(dāng)球體積最大時，該橢半球體挖去球后，體積為D．如果，以為球心的球在該半球內(nèi)，那么當(dāng)球體積最大時，該橢半球體挖去球后，體積為【答案】AC【分析】由題可得，可判斷AB，利用橢圓的性質(zhì)可得球F的最大半徑為1，進而可判斷CD.【詳解】由題意知，短軸，長半軸的橢半球體的體積為，∴A正確，B錯誤；橢球的軸截面是橢圓，它的短半軸長為3，長半軸長為5，所以半焦距為4，由于，所以F橢圓的焦點，因此FD是橢圓的最小焦半徑，即球F的最大半徑為1，該橢半球體挖去球F后，體積為，故C正確，D錯誤.故選：AC.三、填空題28．（2022秋·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，定義了三個特別重要而基本的多面體，它們是：（1）“塹堵”：兩個底面為直角三角形的直棱柱；（2）“陽馬”：底面為長方形，且有一棱與底面垂直的棱錐；（3）“鱉臑（biēnào）”：每個面都為直角三角形的四面體.魏晉時期的大數(shù)學(xué)家劉徽進一步研究發(fā)現(xiàn)：任何一個“塹堵”都可以分割成一個“陽馬”和一個“鱉臑”且“陽馬”和“鱉臑”的體積比為定值.則此定值為______.【答案】2:1【分析】畫出圖形，在圖形中分別表示出“陽馬”和“鱉臑”的體積即可求解.【詳解】如圖所示，圖為底面為直角三角形的直三棱柱“嶄堵”，，若以作為“鱉臑”的底面，則可選點或點作為頂點，我們選取點為例，連接，則四面體滿足條件，且棱錐也滿足“陽馬”的條件，面且四邊形為長方形，設(shè)，則“塹堵”的體積為，“鱉臑”的體積為，所以“陽馬”的體積為，所以“陽馬”和“鱉臑”的體積比為2：1.故答案為:2:1.29．（2022秋·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）我國古代將四個面都是直角三角形的四面體稱作鱉臑，如圖，在鱉臑中，平面，是等腰直角三角形，且，則異面直線與所成角的正切值為______．（寫出一個值即可，否則有兩個答案）【答案】或（寫出一個值即可）【分析】分類討論是等腰直角三角形中,為直角，為直角，為直角，三種情況即可.【詳解】解：因為是等腰直角三角形，當(dāng)為直角時，作正方形，連接，則異面直線與所成角的平面角為（或其補角），又由已知有，，所以面，即面，即，設(shè)，則，，所以，即異面直線與所成角的正切值為；因為是等腰直角三角形，當(dāng)為直角時，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，所以，，所以，則，所以異面直線與所成角的正切值為；因為是等腰直角三角形，當(dāng)為直角時，因為平面，是等腰直角三角形，所以，設(shè)，所以，所以，此時，所以不可能為直角三角形，不滿足題意.綜上可得異面直線與所成角的正切值為或.故答案為：或.30．（2022春·浙江寧波·高二?？紝W(xué)業(yè)考試）寧波老外灘天主教堂位于寧波市新江橋北堍，建于清同治十一年（公元1872年）.光緒二十五（1899年）增建鐘樓，整座建筑由教堂、鐘樓、偏屋組成，造型具有典型羅馬哥特式風(fēng)格.其頂端部分可以近似看成由一個正四棱錐和一個正方體組成的幾何體，且正四棱錐的側(cè)棱長為，其底面邊長與正方體的棱長均為，則頂端部分的體積為__________.【答案】【分析】根據(jù)棱柱和棱錐的體積公式計算可得；【詳解】解：依題意可得如下直觀圖，，，設(shè)與的交點為，則為正四棱錐的高，所以，，所以，，所以故答案為：31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）蹴鞠，2006年5月20日，已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球．已知某鞠（球）的表面上有四個點(不共面),，則該鞠（球）的體積為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意可知，三棱錐的外接球的體積即為所求鞠（球）的體積，且三棱錐的三組對棱均相等，可將三棱錐嵌入到長方體中求解，即可得出三棱錐外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.【詳解】解：由題可知，三棱錐的外接球的體積即為所求鞠（球）的體積，又，故三棱錐的三組對棱均相等，如圖，將三棱錐嵌入到在長方體中，則三棱錐的外接球即為在長方體的外接球，設(shè)，則，故，解得，又長方體外接球的直徑即為長方體的體對角線，故三棱錐的外接球的半徑為，則三棱錐的外接球的體積為：.故答案為：.32．（2022春·福建泉州·高一泉州五中?？计谥校澳埠戏缴w”（圖①）是由我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造的，其構(gòu)成是由一個正方體從縱橫兩側(cè)面作內(nèi)切圓柱（圓柱的上下底面為正方體的上下底面，圓柱的側(cè)面與正方體側(cè)面相切）的公共部分組成的（圖②），假設(shè)正方體的棱長為2，則其中一個內(nèi)切圓柱的表面積為___________；該正方體的內(nèi)切球也是“牟合方蓋”的內(nèi)切球，所以用任一平行于正方體底面的平面去截“牟合方蓋”，截面均為正方形，根據(jù)祖暅原理（夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任何平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等）可得“牟合方蓋”的體積為____________．【答案】

【分析】根據(jù)正方形邊長得出內(nèi)切圓柱底面半徑和高可求出表面積，求出截面正方形與其內(nèi)切圓面積比即可得出體積之比，進而求出“牟合方蓋”的體積.【詳解】因為正方形邊長為2，則內(nèi)切圓柱底面半徑為1，高為2，所以其中一個內(nèi)切圓柱的表面積為；因為正方形邊長為2，則內(nèi)切球半徑為1，所以內(nèi)切球體積，設(shè)截面正方形的邊長為，則其內(nèi)切圓半徑為，所以截面正方形與其內(nèi)切圓面積比為，設(shè)方蓋體積為，則根據(jù)祖暅原理可得，所以．故答案為：；.33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習(xí)俗之一．香囊內(nèi)通常填充一些中草藥，有清香、驅(qū)蟲、開竅的．因地方習(xí)俗的差異，香囊常用絲布做成各種不同的形狀，形形色色，玲瓏奪目．圖1的平行四邊形ABCD由六個邊長為1的正三角形構(gòu)成．將它沿虛線折起來，可得圖2所示的六面體形狀的香囊．那么在圖2這個六面體中內(nèi)切球半徑為__________，體積為__________.【答案】

【分析】由兩個同底且棱長都為1的正三棱錐構(gòu)成的幾何體求解.【詳解】解：如圖所示：易知該幾何體是側(cè)棱長為1，以邊長為1的等邊三角形為底的兩個正三棱錐組成，O為的中心，即內(nèi)切球的球心，M為FB的中點，連接HM，作，則ON為內(nèi)切球的半徑，因為，所以，所以內(nèi)切球的半徑為，內(nèi)切球的體積為，故答案為：，34．（2022·高二單元測試）《九章算術(shù)》第五卷中涉及一種幾何體——羨除，它下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺．該羨除是一個多面體，如圖，四邊形，均為等腰梯形，，平面平面，梯形，的高分別為3，7，且，，，則______，______．【答案】

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【分析】首先以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求數(shù)量積以及模.【詳解】過分別作，的垂線，垂足分別為，，如圖所示．由，可得，又平面平面，，平面平面，平面，∴平面，∴，．又，故，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，，∴，故答案為：；35．（2021秋·四川廣安·高二四川省武勝烈面中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）《九章算術(shù)》中記載：將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵，將一塹堵沿其一頂點與相對的棱剖開，得到一個陽馬（底面是長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐）和一個鱉臑（四個面均為直角三角形的四面體）在如圖所示的塹堵中，且有鱉臑和鱉臑，現(xiàn)將鱉臑的一個面沿翻折，使點翻折到點，求形成的新三棱錐的外接球的表面積是_________.【答案】【分析】作出圖象，由題可推出，，兩兩垂直，把三棱錐補成長方體，長方體的對角線是外接球的直徑，由此三棱錐外接球的表面積.【詳解】解：如圖，將面沿翻折，得到，由題可知，，∵，由直角三角形性質(zhì)，可知是直角三角形，∴，又∵平面，平面，平面，∴，，滿足，，兩兩垂直，把三棱錐補成長方體，則長方體的對角線為外接球的直徑，，∴，∴外接球的表面積為.故答案為：.【點睛】本題考查球的表面積計算問題，遇到共頂點兩兩垂直的三棱錐外接球問題，可補全成長方體外接球求解，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題.36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個正八面體ABCDEF的棱長都是2（如圖），P，Q分別為棱AB，AD的中點，則________.【答案】1【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的一個基底表示，再利用數(shù)量積運算律計算作答.【詳解】正八面體ABCDEF中，不共面，而P，Q分別為棱AB，AD的中點，有，，則，，.故答案為：137．（2022秋·遼寧·高二遼寧實驗中學(xué)?？计谥校┌⒉_尼斯（約公元前262－190年）證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．在棱長為6的正方體中，點是BC的中點，點是正方體表面上一動點（包括邊界），且滿足，則三棱錐體積的最大值為______．【答案】【分析】依題意可得，即可得到，在平面中作，求解最值，根據(jù)勾股定理得出，，再由二次函數(shù)的單調(diào)性求的最大值，代入棱錐體積公式得答案．【詳解】解：在棱長為的正方體中，是的中點，點是面所在的平面內(nèi)的動點，且滿足，，，即，在平面中作，設(shè)，，，化簡得，，所以當(dāng)時，取得最大值為，所以，在正方體中平面，又，三棱錐的體積最大值．故答案為：．38．（2022·全國·高三專題練習(xí)）祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.即：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．有一個球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直徑為8，高為2，利用祖暅原理可求得該球形瓷碗的體積為______．【答案】【分析】根據(jù)祖暅原理構(gòu)造一個圓柱挖去一個圓錐的模型即可.【詳解】設(shè)瓷碗所在球的半徑為R，則有，得，設(shè)從瓷碗截面圓心處任意豎直距離（也可在下方，此時）如圖1所示，則瓷碗的截面圓半徑，面積為，圖2中,在以過球心的截面圓為底面圓，以為高的圓柱中挖去一個等底等高的圓錐，易知，故圓環(huán)面積也為，即在求瓷碗體積時，符合祖暅原理，（備注：瓷碗是圖3中上方倒扣的部分）當(dāng)時，如圖4所示：此時：由祖暅原理得：圖3中與之間部分幾何體的體積：圓柱的體積圓錐的體積，所以瓷碗的體積（注：半球體積）故答案為：.四、解答題39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）自古以來，斗笠是一個防曬遮雨的用具，是家喻戶曉的生活必需品之一，主要用竹篾和一種叫做棕櫚葉染白后編織而成，已列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．現(xiàn)測量如圖中一頂斗笠，得到圖中圓錐模型，經(jīng)測量底面圓的直徑，母線，若點在上，且，為的中點．證明：平面；【答案】證明見解析【分析】根據(jù)三角形中位線證明，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論.【詳解】證明：如圖連接，因為底面圓的直徑，所以為的中點，因為點為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面.40．（2022秋·貴州遵義·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）故宮太和殿是中國形制最高的宮殿，其建筑采用了重檐廡殿頂?shù)奈蓓敇邮?，廡殿頂是“四出水”的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱五脊殿.由于屋頂有四面斜坡,故又稱四阿頂.如圖，某幾何體有五個面，其形狀與四阿頂相類似.已知底面為矩形，，底面，且，，分別為，的中點.(1)證明：，且平面.(2)若與底面所成的角為，過點作，垂足為，過作平面的垂線，寫出作法，并求到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)作法見解析；.【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可證明；分別證明，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明平面；（2）利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理可得到過作平面的垂線的作法，解直角三角形求得到平面的距離.【詳解】（