2021-2022學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第二十七章-相似重點(diǎn)解析試題

人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第二十七章-相似重點(diǎn)解析

考試時(shí)間：90分鐘；命題人：數(shù)學(xué)教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘

2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫(xiě)在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫(xiě)在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的

答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無(wú)效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計(jì)30分）

1、如圖，〃是J3C邊四上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)〃作。3c交然于點(diǎn)反若">:￡>B=2:3,則山叱世杵的

值（）

A.2：3B.4：9C.2：5D.4：25

2、如圖，把一張矩形紙片4時(shí)沿著4〃和加邊的中點(diǎn)連線）對(duì)折，對(duì)折后所得的矩形正好與原來(lái)的

矩形相似，則原矩形紙片長(zhǎng)與寬的比為（）

A.4：1B.72:1C.1:72D.2：1

3、如圖，在正方形月6口中，△〃牝是等邊三角形，BP、次的延長(zhǎng)線分別交力〃于點(diǎn)6、F,連接加、

DP,BD與CF交于點(diǎn)、H.下列結(jié)論：QCF=2AE；②XDFPsXBPH；③DP=PH，PC；Q)PE：BC=(26-

3）：3.正確的有（)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4、如圖在正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1,三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則與△/a'相似的三角

形所在的網(wǎng)格圖形是（）

A.菱形都相似；

B.等腰三角形都相似；

C.兩邊及其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似；

D.兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似.

DF

6、如圖，4人人，BC=2,-=3,則四的長(zhǎng)為（)

A.6B.5C.4D.3

7、如圖，尸是直角△力比斜邊居上任意一點(diǎn)（43兩點(diǎn)除外）,過(guò)點(diǎn)?作一條直線，使截得的三角形

與△?1比相似，這樣的直線可以作（）

A.4條B.3條C.2條D.1條

8、如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊A8邊上的黃金分割點(diǎn)，且S1表示AE為邊長(zhǎng)的正方形面

積，邑表示以8c為長(zhǎng)，BE為寬的矩形面積，53表示正方形ABCD除去加和其剩余的面積，S,：邑的

值為（）

D.1

a與

9、在小孔成像問(wèn)題中，如圖所示，若點(diǎn)。到AB的距離是18cm,點(diǎn)。到CQ的距離是6cm,則像8的

長(zhǎng)與物體A8長(zhǎng)的比是（）

A.1:2B.1:3C.2:1D.3:1

10、下面兩個(gè)圖形中一定相似的是（）

A.兩個(gè)長(zhǎng)方形B.兩個(gè)等腰三角形

C.有一組對(duì)應(yīng)角是50。的兩個(gè)直角三角形D.兩個(gè)菱形

第H卷（非選擇題70分）

二、填空題（5小題，每小題4分，共計(jì)20分）

ATOAP0

1、在靦中，后是42上一點(diǎn)，三=3連接質(zhì)心相交于凡則下列結(jié)論：①左=［；②

DE3DC3

10

=—.③9=工.④一%.4J石，正確的是

S&CBF25EF2S四邊形CDEF

2、如圖，已知四邊形ABC。內(nèi)接于。。，半徑AO=6,對(duì)角線/C、劭交于￡點(diǎn)，且他=Q,EC=2,

則AZ>=.

D

3、如圖，以點(diǎn)。為位似中心，將放大后得到△。切，若勿=3,AC=1,則不

4、如圖，正方形40的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)￡為邊/〃上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)6在邊切上，且線段用=4,點(diǎn)G為

線段"的中點(diǎn)，連接陰、3,則的最小值為.

5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)R4的坐標(biāo)分別為（1,0）,（2,4）,點(diǎn)6是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

A作優(yōu)1_46交x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)"為線段比1的中點(diǎn)，則QV的最小值為.

三、解答題（5小題，每小題10分，共計(jì)50分）

1、如圖，已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2,1）,（3,-1）,

（1）以點(diǎn)。為位似中心，將△016放大為原來(lái)的兩倍，畫(huà)出圖形；

（2）力點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4'的坐標(biāo)是；8點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)夕的坐標(biāo)是

（3）在4?上有一點(diǎn)?（x,y）,按（1）的方式得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)〃的坐標(biāo)是

2、在等邊三角形力比中,點(diǎn)〃是邊4?的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)〃作應(yīng)〃比■交力。于點(diǎn)￡,點(diǎn)少在6。邊上，連接

DF,EF.

圖1

(1)如圖1,當(dāng)加,是/初的平分線時(shí)，若4?=2,求)的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)力注應(yīng)時(shí)，設(shè)/￡=a,則防的長(zhǎng)為(用含a的式子表示).

3、已知：如圖，為銳角三角形.

(1)求作菱形力如；使得4為菱形的一個(gè)內(nèi)角，點(diǎn)〃E,6分別邊比；AB,AC1.(要求：尺規(guī)作

圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下，若4?刃C=10,B(=8.求菱形/右如的面積.

4、如圖，在出△46。中，NC=90°,BCSN/=60°,四邊形6是△4%,的內(nèi)接矩形，頂點(diǎn)

D、G分別在邊作、BC上，點(diǎn)、E、尸在邊四上，設(shè)熊=x,DG=y.

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)矩形㈤&的面積S取得最大值時(shí)，求△<W與△價(jià)'G的相似比.

5、(1)基本模型：如圖1,AO與BC交于點(diǎn)。，且A8〃CD,求證：△AOBs^DOC；

(2)模型應(yīng)用：如圖2,在AABC中，點(diǎn)。為BC邊上一點(diǎn)，連接A。，點(diǎn)E為線段A￡>上一點(diǎn)，連接

CE,若算丹，NBAD=NCED,求黑的值.

CE2CD

(3)綜合應(yīng)用：在(2)的條件下，若AC=5C,CE平分N8CA,ZBAD=45°,AC=A，求AO的

長(zhǎng).

---------參考答案

一、單選題

1、D

【解析】

【分析】

由題意易得4D:AB=2:5,AADE^AABC,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】

解：'：DE//BC,

：./\ADE^/\ABC,

"：ADiDB=2:3,

：.AO:43=2:5,

??.<一包Y」.

??.ADE-A4BC-|^—J-石；

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

2、B

【解析】

【分析】

根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等，設(shè)出原來(lái)矩形的長(zhǎng)，就可得到一個(gè)方程，解方程即可求得.

【詳解】

根據(jù)條件可知：矩形矩形ABCD,

.AEAB

?‘麗一茄’

為4〃中點(diǎn)

AE=-AD

2

AD

：.^=AB,

AB一AD

ADr=2AB1,

/.AD=6AB,

，原矩形紙片長(zhǎng)與寬的比為a:1

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，正確分

清對(duì)應(yīng)邊，以及正確解方程是解決本題的關(guān)鍵.

3、D

【解析】

【分析】

由正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：?.?△6/個(gè)是等邊三角形，

：.BP=PC=BC,APBC=APCB=ZBPC=QO°,

在正方形ABCD中，

'：AB=BC=CD,/A=/ADC=/BCD=9G,

：.4ABE=/DCF=3Q°,

：.BE=2AE,

'：AD//BC,

AAFEP=APBC,NEFP=/PCB,

■:4EPF=4BPC,

：.AFEP=AEFP=AEPF=^°,

△夕V是等邊三角形，

：.BE=CF,

：.CF=2AE,

故①正確；

'：PC=CD,ZPCD='30°,

：.ZPDC=75°,

:"FDP=15°,

'：ZDBA=45°,

:./PBD=\5°,

4FDP=￡P(guān)BD,

，：NDFP=NBPC=6b°,

故②正確；

,：ZPDH=ZPCD=3Q°,ZDPH=ZDPC,

:ZPHsACPD,

.DPPH

"'~PC~~DP'

：.DFf=PH*PC,

故③正確；

■：ZABE=30°,ZA=90°,

：.AE=^AB=^BC,

33

■:/DCF=30°,

：.DP=2!LDC=—BC,

33

EF=AE+DF-BC=巫BC-BC,

3

:.FE：BC=(2x/3-3)：3,

'：EF=PE,

:.PE：BC=(26-3)：3,

故④正確，

綜上，四個(gè)選項(xiàng)都正確，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌

握性質(zhì)和定理.

4、C

【解析】

【分析】

可利用正方形的邊把對(duì)應(yīng)的線段表示出來(lái)，利用三邊對(duì)應(yīng)成比例兩個(gè)三角形相似，分別計(jì)算各邊的長(zhǎng)

度即可解題.

【詳解】

解：根據(jù)勾股定理，人€=廬力=26,BC=&,

所以，夾直角的兩邊的比為母=2,

觀各選項(xiàng)，只有C選項(xiàng)三角形符合，與所給圖形的三角形相似.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，三角形對(duì)應(yīng)邊比值相等判定三角形相似的方法，本題中

根據(jù)勾股定理計(jì)算三角形的三邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

5、C

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形相似和相似多邊形的判定解答.

【詳解】

解：A、菱形對(duì)應(yīng)邊成比例，但對(duì)應(yīng)角不一定相等，所以所有的菱形不一定都相似，本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤;

B、等腰三角形，各內(nèi)角的值不確定，故無(wú)法證明三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、兩邊及其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似，故本選項(xiàng)正確；

D、兩邊對(duì)應(yīng)成比例，必須夾角相等才能判定三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題與定理的知識(shí)，掌握相似多邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

6、C

【解析】

【分析】

由平行線分線段成比例，可得比例式：蕓=能，代入值，利用線段間的關(guān)系，直接求解答案.

【詳解】

解：???4〃，2〃4且表=3,

EF

.DFAC

EFBC

?;BC=2,

**-AC=6,

:.AB=AC-BC=6-2=4,

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題主要是考查了平行線分線段成比例，正確找到對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的比例式，是求解這類問(wèn)題的關(guān)鍵.

7、B

【解析】

【分析】

根據(jù)已知及相似三角形的判定方法（或平行線截線段成比例）進(jìn)行分析，從而得到最后答案.

【詳解】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)P可作陽(yáng)〃及7或%”//AC,

CE"B

JXAPESXABC、△蹴"sXABC；

過(guò)點(diǎn)。還可作必UB,可得：NEPA=NC=9G°,

：./\APE^/\ACB^

滿足這樣條件的直線的作法共有3種.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理從是解題的關(guān)鍵.

8、C

【解析】

【分析】

設(shè)正方形4靦的邊長(zhǎng)為a,關(guān)鍵黃金分割點(diǎn)的性質(zhì)得到空=叵」和更=叵【，用

表不出S］、S2

AB2AE2

和其的面積，再求比例.

【詳解】

解：設(shè)正方形4靦的邊長(zhǎng)為a,

:點(diǎn)E是上的黃金分割點(diǎn)，

.AE_45-\BEV5-1

??-------,---------

AB2AE2

?AU乖-1Ary—1

?.AE=-----AB=--------a,

22

?23-623-62/￡2

??S3=〃------------a---------a=（45-2ja,

S3:S2=（逐一2）c『:3f02=立21?

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查黃金分割點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割點(diǎn)的性質(zhì).

9、B

【解析】

【分析】

由題意可知"80與AOCO是相似三角形，相似比為1：3,故5AB=1：3.

【詳解】

由小孔成像的定義與原理可知△450~A￡>C。

：ADCO與AABO高的比為6：18=1：3

ADCO與4ABO相似比為1：3

:.CD：AB=1：3

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)，用一個(gè)帶有小孔的板遮擋在屏幕與物之間，屏幕上就會(huì)形成物的倒

像，我們把這樣的現(xiàn)象叫小孔成像.相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，相似三角形的對(duì)應(yīng)高

的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

10、C

【解析】

【分析】

根據(jù)相似圖形定義，相似三角形的判定定理逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】

解：A、因?yàn)殚L(zhǎng)方形的大小，形狀不確定，所以兩個(gè)長(zhǎng)方形不一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、因?yàn)榈妊切蔚拇笮?，形狀不確定，所以兩個(gè)等腰三角形不一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、因?yàn)橹苯窍嗟?，所以有一組對(duì)應(yīng)角是50。的兩個(gè)直角三角形中有兩對(duì)相等的角，所以有一組對(duì)應(yīng)角

是50。的兩個(gè)直角三角形一定相似，故本選項(xiàng)符合題意；

D、因?yàn)閮蓚€(gè)菱形的大小，形狀不確定，所以兩個(gè)菱形不一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了相似圖形定義，相似三角形的判定定理，熟練掌握形狀相同的圖形是相似圖形是解題

的關(guān)鍵.

二、填空題

1、②③④

【解析】

【分析】

AP0

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD〃BC,4。=3。進(jìn)而可得44砂648/，根據(jù)痣=：,即可求得

DE3

4^=1.2=2，條='進(jìn)而判斷①②③，根據(jù)三角形的面積和平行四邊形的面積可得，分別用

BC5'&CBF2〉EF2

SQABCD表Z5出A"與S四邊形CDEF，進(jìn)而求得其比值

【詳解】

解：???四邊形ABC。是平行四邊形

..AD//BC9AD=BC

?.AA￡FsMBF

.AFAEEF

*CF-BC-BF

AE2

---=—

DE3

AE2

/.---=—

AD5

.AE_2

~BC~~AD~~5

,BF_AD

,~EF~~AE~2

則①不正確，②③正確；

過(guò)點(diǎn)A/作AM1BC,FN1BC

CFBC5

,~AF~~AE~2

.CF=5

**AC~7

qs

.八BFC_二

^△ABC7

??Q-lc

,8c-/^aABCD

??S〉BFC=RSoABCD

X

「?S/^EF=石S&CBF~石RSOABCD二芯aABCD

,?AE=一2

?AD5

設(shè)平行四邊形4?CQ,BC邊上的高為〃，

x

.S^J^\lxAE=lx2=l

SADxh2AD255

OrAtDRvCLrzi

S^AEB=^^cABCD

°SAAEF—35S°ABCD353oABCD_—lyc3oAfiCD

1531

S四邊形c/郎=^oAHCI)S/\ABE_SgFC=SoAEC，＞(1_M—R)=7QSOAHCD

±q

Sn°oABCDIO

,4&AHF_/_1V

S四邊形CDEF—S31

70°oABCD

故④正確

故答案為：②③④

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)

鍵.

2、3715

【解析】

【分析】

連接6。并延長(zhǎng)交/〃于點(diǎn)E連接切，然后根據(jù)三角形的相似可以求得必的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理可

以求得力〃的長(zhǎng).

【詳解】

解：連接6。交4。于點(diǎn)E連接?！?，

'：BA=BD,OA=OD,

.?.跖是線段的垂直平分線,

：.BFVAD,

?.3C是。。的直徑,

.?.乙4a=90°,

即AD上DC,

：.BF//CD,

：./\BOEs叢DCE,

.OBEO

??詬一正’

'：AO=&,EC=2,

：.OB=6,%=6,

：.OE=4,

.64

..---=—,

CD2

解得，CD=3,

在RtA4Z右中，N4r=90°,47=12,33,

AD=4AC2-cur=X/122-32=3715，

故答案為：3715.

B

///\\、

///\\\

,[z°!AN-

【點(diǎn)睛】

本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需

要的條件，利用三角形相似和勾股定理解答.

3

3、

10

【解析】

【分析】

根據(jù)位似的性質(zhì)：位似圖形的對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比求解即可.

【詳解】

解：???以點(diǎn)。為位似中心，AOAB放大后得到AOCD,

,AB_OA_Q4_3_3

"CD_OC-OA+AC-3+7-lo'

,3

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查了位似圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握位似圖形的性質(zhì).

4、5

【解析】

【分析】

因?yàn)?=3必三2,所以G在以〃為圓心，2為半徑圓上運(yùn)動(dòng)，取〃7=1,可證△GD/S^COG,從而得

出然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得出8,是其最小值

【詳解】

解：如圖,

在Rt△頌中，G是斯的中點(diǎn),

：.DG=^EF=2,

.?.點(diǎn)G在以〃為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),

在CD上截取DI=1,連接GI,

.D1--1

**DG-CD-

：.ZGDI=ZCDG,

：./\GDI^/\CDG,

.IG=DI__i

：.IG=-CG,

2

：.BG+-CG=BG+IG^BI,

2

.?.當(dāng)6、G、/共線時(shí)，BG+^CG最4、=BI,

在入△6C7中，CI=3,BC=4,

:.BI=5,

故答案是：5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓的概念，求得點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

5、州

【解析】

【分析】

連接AM,OM,根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得：AM=OM,則點(diǎn)M在線段4。的垂直平

分線上，作線段40的垂直平分線交x軸，軸于點(diǎn)E,。則當(dāng)時(shí)，PM最小，再利用相似三

角形的判定和性質(zhì)，結(jié)合勾股定理解答即可.

【詳解】

如圖：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)/，連接AM,OM

ABAC=NBOC=90°,M為8c中點(diǎn)，

AM=OM

點(diǎn)M在線段AO的垂直平分線上

作線段力。的垂直平分線交)'軸，》軸于點(diǎn)O,E,當(dāng)PMLDE,PM最小

連接AO,則相＞=0。

?.?A(2,4)

.\AF=2,OF=4

設(shè)?！?gt;=A￡)=r,IjllJFD=4-t,

222

■-1FD+AF=AD

.-.(4-r)2+22=?

5

t=一

2

/.0D=-

2

vZFa4+ZAOE=90°,ZAOE+AOED=90°

ZFOA=ZOED

-,?ZAFO=ZDOE=90°

:./\FAO^/\ODE

ApQP

-------即AF?OE=OD?OF,

ODOEf

:.OE=5

???P(1,0)

:.PE=4

?-,在Rt/\AFO中04=yj0F2+AF2=代十寸=2也

當(dāng)時(shí)，PM最小

:.ZPME=ZAFO=9Q°

,PMPE

"'AF-OA

PM_4

FF

PM=1>/5

故答案為：—>/5

【點(diǎn)睛】

本題考查了線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)到直線

的距離，勾股定理等知識(shí)，能夠綜合熟練運(yùn)用這些性質(zhì)和判定是解題關(guān)鍵.

三、解答題

1、⑴圖見(jiàn)解析；(2)(-4,-2)或(4,2),(-6⑵或(6,-2)；(3)(-2M-2>)或(2x,2y).

【解析】

【分析】

(1)分①放大后的圖形△OA9在y左側(cè)，②放大后的圖形在y右側(cè)兩種情況，先分別將點(diǎn)A8

的橫縱坐標(biāo)乘以2或_2得到點(diǎn)A,力,再順次連接點(diǎn)即可得；

(2)結(jié)合(1)的兩種情況，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可得；

(3)結(jié)合(1)的兩種情況，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可得.

【詳解】

解：(1)①當(dāng)放大后的圖形△OA?在y左側(cè)時(shí)，畫(huà)圖如下：

②當(dāng)放大后的圖形△on?在y右側(cè)時(shí)?，畫(huà)圖如下:

(2)vA(2,l),B(3,-l),

/.A\-2x2,-2xl),B'(-2x3,—2x(-1))或A(2x2,2x1),8'(2x3,-1x2),

即AX-4-2),*(-6,2)或A'(4,2),B'(6,-2),

故答案為：(T-2)或(4,2),(-6,2)或(6,-2)；

(3)???P(x,y),

.?.P(-2x,—2y)或P'(2x,2y),

故答案為：(-2x,-2y)或(2x,2y).

【點(diǎn)睛】

本題考查了畫(huà)位似圖形、點(diǎn)坐標(biāo)與位似圖形，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵.

2、(1)ER2(2)

2

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)以77%證明△力應(yīng)是等邊三角形，再根據(jù)〃是4?中點(diǎn)，可證明△6/0是等邊三角形，在證明

△因是等邊三角形，從而求得上2,

(2)過(guò)點(diǎn)A作4"垂直優(yōu)于點(diǎn)M,可證△頗心△力嬲由相似可求出D啟昱a,在利用勾股定理即可求

2

出EF.

【詳解】

解：(1)；是等邊三角形，

：.ZA=ZB=ZOQO°,

'：DE//BC,

：.ZADB=ZABO6Q°,

.?.N4=N4旌60°,

，△4應(yīng)是等邊三角形，

:.AD-D扶2,

?.?〃是4?中點(diǎn)，

.?.盼仍2,

■:DF平■分乙BDE,

：.4BD用4ED2三4B限三(180°-60°)=60°,

又斤60°,

△版是等邊三角形，

六吩2,

■:D戶DE=2,4ED后6Q°,

...△板是等邊三角形，

:.E用D扶D用21

(2)過(guò)點(diǎn)4作4材垂直8c于點(diǎn)M,

A

'：DE//BC,DF1DE,

："BFD=NFD&gG°,

,：4DFB=4AMB=90°,

又廬/8,

△DBFs△ABM,

:〃為48中點(diǎn),

.DB__DF_]_

AB~AM_2'

:.D吟AM,

???4"是等邊三角形6c邊上的高,

.?."是弘的中點(diǎn)，

，4滬yjAB2-BM2=J(2a>-/=、

.,.止"滬旦，

2?

222

在Rt^DEF中，E戶y/DE+DF=Ja+(1〃>=五”.

V22

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，三角形的相似和勾股定理，熟練掌握三角形的相似是解決本

題的關(guān)鍵.

3、（1）見(jiàn)解析；（2）4421

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分和菱形的對(duì)角線平分內(nèi)角進(jìn)行作圖即可；

（2）先根據(jù)菱形的性質(zhì)和三線合一定理得到BD=CD^2=4,即可利用勾股定理求出力〃的

長(zhǎng)，然后證明△/如△/切，得到一=—=（求出=-,=2則止4,再根據(jù)

菱形=1,求解即可.

【詳解】

解：（1）如圖所示，菱形如為所作.

（2）?.?四邊形力曲'是菱形，

.?.4。是“1C的平分線，AO=DO,ADLEF,E廣2E0,

又,：A斤AC,

SBC,BD=CD=-?=4,

在RtAABD中，AD=7~②=J7原=7=酒,

,:EFLAD,

:.NAO夕NADB=9G°,

又YNEAS/BAD,

：./\AEO^/\ABD,

?____/

??一--"y

?L=2

**=2

H,

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，三線合一定理，勾股定理，尺規(guī)作圖一作角

平分線，作線段垂直平分線，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

4、⑴y=8-4筋(2)逆

3

【解析】

【分析】

(1)依據(jù)比中，/=90°,=4N=60,即可得到4>4,AF2A后2x,=

L

2=3，再根據(jù)。力華/〃，可得g=4-2，進(jìn)而得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)依據(jù)令龍x(8-4)=-4/3{-7)2+么萬(wàn)，可得當(dāng)戶1時(shí)，S最燈燈,再根據(jù)

△DCGs△GFB,即可得到一=點(diǎn)=(，進(jìn)而得出△G%與△狼的相似比.

【詳解】

解：(1)中，ZC=90°,BC=4y/3,ZJ=60°,

：.AC=\,AD=2AE=2x,=g=

"：CD=AC-AD,

=4—2,

即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=8-4%；

(2)?:DE=6AE=叢x,

：.S=DEXDG=^3xX(8-4x)=-(x-1)2+473,

當(dāng)x—1時(shí)，S最大=4,

此時(shí)，GF=DE=0,

:.BG=2GF=20,%=8-4=4,

■:4C=NBFG=9G°,ZDGC=AB,

:.