勾股定理經(jīng)典例題詳解

勾股定理經(jīng)典例題詳解知識點一：勾股定理形平方關(guān)系的定理。(2)勾股定理只適用于直角三角形，而不適用于銳角三角形和鈍角三角。(3)理解勾股定理的一些變式：知識點二：用面積證明勾股定理方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖(1)所示的正方形。圖圖(1)中方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖(2)所示的正方形。圖圖(2)中在(3)—2中，乙和丙的面積和=(大正方形面積)—(4個直角三角形面積),方法四：如圖(4)所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形。類型一：勾股定理的直接用法類型一：勾股定理的直接用法知識點三：勾股定理的作用2.在理解的基礎(chǔ)上熟悉下列勾股數(shù)滿足不定方程x2+y2=z2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)(又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù))，顯然，t經(jīng)經(jīng)典例題透析思路點撥:寫解的過程中，一定要先寫上在哪個直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。轉(zhuǎn)化為三角形面積之差或和。AD=13,CD=12類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用∴.思路點撥：由條件，想到構(gòu)造含角的直角三角形，為此作于D，則有解析：作于D，則因，解析：作于D，則因，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).根據(jù)勾股定理，在中，.根據(jù)勾股根據(jù)勾股定理，在中，.∴.總結(jié)升華：利用勾股定理計算線段的長，是勾股定理的一個重要應(yīng)用.當(dāng)題目中沒有垂直條件時，也經(jīng)常作垂線構(gòu)造直角三角形以便應(yīng)用勾股定理..思路點撥:圖中已有兩個直角三角形，但是還沒有以BP為邊的直角三角形.因此，我們考慮么根據(jù)勾股定理，可證明這幾條線段的平方之間的關(guān)系.∴(∴在在中，根據(jù)勾股定理有，，可以連結(jié)AC，或延長AB、DC交于F，或延長AD、BC交于點E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單。∴S=S-S=AB·BE-CD·DE=四邊形ABCD△ABE△CDE類型三：勾股定理的實際應(yīng)用(一)用勾股定理求兩點之間的距離問題(1)求A、C兩點之間的距離。(2)確定目的地C在營地A的什么方向。解析：(1)過B點作(二)用勾股定理求最短問題全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改架設(shè)方案，如圖實線部分．請你幫助計算一下，哪種架設(shè)方案最省是：最省電線就是線路長最短，通過利用勾股定理計算線路長，解析：設(shè)正方形的邊長為1，則圖(1)、圖(2)中的總線路長分別為AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3圖(3)中，在Rt△ABC中∴圖(3)中的路線長∴圖(3)中的路線長為∴圖(4)的連接線路最短，即圖(4)的架設(shè)方案最省電線．一反三【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高AB為4cm，BC是上底面的直徑．一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C，試求出爬行的最短路程．(2)以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角(2)以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角。斜邊為；(3)順次這樣做下去，最后做到直角三角形，這樣斜邊、、、。如圖，在Rt△ABC中，BC＝底面周長的一半＝10cm，(提問：勾股定理)∴∴AC＝＝＝≈10．77(cm)(勾股定理)．答：最短路程約為10．77cm．類型四：利用勾股定理作長為的線段(1)作直角邊為1(單位長)的等腰直角△ACB，使AB為斜邊；總結(jié)升華：(1)以上作法根據(jù)勾股定理均可證明是正確的；(2)取單位長時可自定。一般類型五：逆命題與勾股定理逆定理原命題的逆命題并判斷是否正確1．原命題：貓有四只腳．(正確)2．原命題：對頂角相等(正確)3．原命題：線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端距離相等．(正確)4．原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等．(正確)2.逆命題：相等的角是對頂角(不正確)4.逆命題：到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上．(正確)aabbc2-10c+25=0,勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的,在證明中也常要用D∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)為直角三角形.DECECDa2+16a2=20a2。DFAFADa2+16a2=25a2。經(jīng)經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法(3x)2+(4x)2＝202程程(組)求解。C＝＝△ABC由(1)得：x+y＝7，(x+y)2＝49，x2+2xy+y2＝49(3)思路點撥：首先要確定斜邊(最長的邊)長n+3，然后利用勾股定理列方程求解。(n+1)2+(n+2)2＝(n+3)2A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40ca∵82≠(40+39)×(40－39)，等等斜∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)∴S=S+S=AB·BC+AC·CD=36四邊形ABCD△ABC△ACD類型二：勾股定理的應(yīng)用A行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至ABMN為B?！闼搿闼霝?18km/h＝5m/s線段的長度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件,則可以通過作輔助徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了__________步路(假設(shè)2步為1m)，卻踩傷【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個小三角形都是邊長為1(1)直接寫出單位正三角形的高與面積。(2)圖中的平行四邊形ABCD含有多少個單位正三角形平行四邊形ABCD的面積是多少(3)求出圖中線段AC的長(可作輔助線)。【答案】(1)單位正三角形的高為，面積是。(2)如圖可直接得出平行四邊形ABCD含有24個單位正三角形，因此其面積，，類型三：數(shù)學(xué)思想方法(一)轉(zhuǎn)化的思想方法總結(jié)升華：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識。通過此題，我們可以了解：當(dāng)已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時，應(yīng)通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同一直