蘇州市張家港市外國語學(xué)校2019-2020學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精江蘇省蘇州市張家港市外國語學(xué)校2019-2020學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題含解析2019-2020學(xué)年張家港市外國語學(xué)校高一上數(shù)學(xué)階段性檢測（12月）一、單選題（每題5分，只有一個(gè)正確答案，共40分）1.已知集合，,則（）A。, B.C。 D.【答案】D【解析】【分析】聯(lián)立兩個(gè)集合中的方程,通過解方程，可得到兩個(gè)集合交集的元素,即可得出答案.【詳解】由題意可知,是點(diǎn)集,故也是點(diǎn)集。，得，故選D.【點(diǎn)睛】研究集合問題，看元素應(yīng)滿足的屬性，即分辨集合的是點(diǎn)集，還是數(shù)集。研究兩集合的關(guān)系時(shí),關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.2。已知，則下列4個(gè)角中與角終邊相同的是(）A. B。 C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】先寫出與角終邊相同的角的集合，再給k取值得解.【詳解】由題得與角終邊相同的集合為，當(dāng)k=6時(shí)，.所以與角終邊相同的角為。故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查終邊相同的角的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.3。已知平面向量，若則為(）A. B。 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示可得,解方程即可求解?！驹斀狻壳?，解得.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線的坐標(biāo)表示,需熟記向量共線坐標(biāo)之間滿足的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù),又在上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】先根據(jù)偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，然后判斷在時(shí)函數(shù)的單調(diào)性即可。【詳解】選項(xiàng)A：函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)集.，所以函數(shù)是奇函數(shù)，不符合題意;選項(xiàng)B：函數(shù)的定義域?yàn)槿w非零實(shí)數(shù)集.，所以函數(shù)是奇函數(shù),不符合題意；選項(xiàng)C：函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)集.,所以函數(shù)是偶函數(shù),當(dāng)時(shí),，因?yàn)榈讛?shù)大于1,故該函數(shù)是增函數(shù),符合題意;選項(xiàng)D：函數(shù)的定義域?yàn)槿w非零實(shí)數(shù)集.，所以函數(shù)是偶函數(shù),當(dāng)時(shí)，,該函數(shù)是減函數(shù)，不符合題意。故選C【點(diǎn)睛】本題考查了判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，掌握偶函數(shù)的定義和基本函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.5。已知，且為第二象限角，則（）A。 B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，求出得到，再根據(jù)以及角的范圍，即可求出的取值?！驹斀狻?，.又即，為第二象限角,.故答案為:D?！军c(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。6。已知與的夾角為,，，則（)A. B。 C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】將兩邊平方,利用向量的數(shù)量積即可求解?！驹斀狻坑?，兩邊平方可得，又因?yàn)榕c的夾角為，所以,所以，解得。故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量數(shù)量積求向量的模,屬于基礎(chǔ)題.7.在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A. B。C. D.【答案】A【解析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則-——-—--三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得,從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題,在解題的過程中，需要認(rèn)真對(duì)待每一步運(yùn)算.8。定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A.－1 B。0 C。1 D。2【答案】C【解析】【分析】利用偶函數(shù)滿足求出函數(shù)的周期，然后化簡，通過函數(shù)的奇偶性求解即可.【詳解】定義在上的偶函數(shù)則可得的周期為。故選:C?！军c(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的周期性,需要掌握的周期為，當(dāng)所求的變量不在所給的函數(shù)定義域內(nèi),利用函數(shù)的周期和奇偶性化簡到定義域內(nèi)，這是解此類型題的關(guān)鍵。二、多選題9。已知，如下四個(gè)結(jié)論正確的是（)A.； B.四邊形為平行四邊形；C.與夾角的余弦值為； D.【答案】BD【解析】【分析】求出向量坐標(biāo)，再利用向量的數(shù)量積、向量共線以及向量模的坐標(biāo)表示即可一一判斷.【詳解】由，所以，,,，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,由，,則，即與平行且相等，故B正確;對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤;對(duì)于D，，故D正確;故選：BD【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的數(shù)量積、向量模的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.10.下列說法正確的是（)A.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位；B。在上是增函數(shù)；C。若點(diǎn)為角的終邊上一點(diǎn)，則；D.已知扇形的圓心角，所對(duì)的弦長為,則弧長等于.【答案】ABCD【解析】【分析】利用三角函數(shù)的平移變換可判斷A；利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；利用三角函數(shù)的定義可判斷C；利用弧長公式可判斷D?！驹斀狻繉?duì)于A,將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,可得，故A正確；對(duì)于B，由,則,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，,故B正確;對(duì)于C,點(diǎn)為角的終邊上一點(diǎn)，則，故C正確；對(duì)于D,扇形的圓心角，所對(duì)的弦長為，則扇形的半徑為，所以，故D正確。故選：ABCD【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的平移變換、余弦函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的定義以及扇形的弧長公式，屬于基礎(chǔ)題。11.如圖某池塘中的浮萍蔓延的面積（）與時(shí)間（月）的關(guān)系：，以下敘述中正確的是（）A。這個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2; B。第5個(gè)月時(shí)，浮萍的面積就會(huì)超過；C.浮萍從蔓延到需要經(jīng)過1。5個(gè)月； D.浮萍每個(gè)月增加的面積都相等;【答案】AB【解析】【分析】由圖像知：時(shí)，，代入解析式求出可判斷A；令代入解析式求解判斷B；令，分別求出，再求出差值判斷C；根據(jù)圖像的變化趨勢判斷增長速度越來越快，可判斷D?！驹斀狻繉?duì)于A，由圖像知，時(shí)，，，故,故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，,故B正確;對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，由,知，當(dāng)時(shí)，由，知，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，浮萍每月增長的面積不相等，實(shí)際上增長速度越來越快，故D錯(cuò)誤；故選：AB【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的增長模型,同時(shí)考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題。12.若則關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)一定成立的有（）A.是奇函數(shù) B。在區(qū)間是增函數(shù)C.的周期為2 D?！敬鸢浮緼BD【解析】【分析】利用奇偶性的定義可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可判斷B；利用舉特例可判斷C；將代入解析式可判斷D；【詳解】對(duì)于A，，故A正確;對(duì)于B，,當(dāng)，則，由在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增，故在是增函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，若函數(shù)的周期為2，則;令，則,故C不正確;對(duì)于D，，故D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的性質(zhì)，熟記正弦函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題。三、填空題13.函數(shù)的定義域是__________.【答案】【解析】【分析】使函數(shù)表達(dá)式有意義即,解不等式組即可?！驹斀狻坑珊瘮?shù),則,所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了求具體函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題。14.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則________.【答案】【解析】【分析】由圖像與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)和相鄰最低點(diǎn)的坐標(biāo)，可求出，求出，再由最低點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合，即可求解?！驹斀狻坑蓤D像可得，函數(shù)取得最小值，所以，。故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)圖像求解析式,熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15。已知是兩個(gè)不共線的向量，若它們起點(diǎn)相同，三向量的終點(diǎn)在一條直線上,則實(shí)數(shù)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意,利用平面向量的基本定理和向量相等的定義，構(gòu)造關(guān)于的方程組，解方程組即可?！驹斀狻渴莾蓚€(gè)不共線的向量，且起點(diǎn)相同,又三向量的終點(diǎn)在一條直線上，即,解得。故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的基本定理，解題的關(guān)鍵是向量的終點(diǎn)在一條直線上，系數(shù)和等于,屬于基礎(chǔ)題。16。若函數(shù)（且），圖象恒過定點(diǎn),則_____；函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為____________．【答案】（1）.2（2)?！窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以直接求出點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣可以計(jì)算出的值;再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可以求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間?！驹斀狻坑珊瘮?shù)（且）的解析式可知：當(dāng)時(shí),,因此有；因此，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可知：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：.故答案為2；【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)問題,考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題,掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算特性是解題的關(guān)鍵.四、解答題17.設(shè)為平面內(nèi)的四點(diǎn),且，，.若，求點(diǎn)的坐標(biāo)及；【答案】；【解析】【分析】設(shè)，由，能求出點(diǎn)坐標(biāo),再利用向量模的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)而求出?！驹斀狻吭O(shè)，為平面內(nèi)的四點(diǎn),且，，.由，可得，即，，解得，，，【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量模的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.18.已知函數(shù)（1）用五點(diǎn)法作出函數(shù)一個(gè)周期的簡圖；（2）寫出函數(shù)的值域與單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）見解析;(2）值域?yàn)?單調(diào)增區(qū)間為：（），減區(qū)間為：(）【解析】【分析】(1)本題首先可以根據(jù)函數(shù)解析式找出函數(shù)上的點(diǎn)、、、、，然后根據(jù)五點(diǎn)作圖法即可得出結(jié)果；(2)本題首先可根據(jù)函數(shù)的圖像得出函數(shù)的值域，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果．【詳解】(1)根據(jù)函數(shù)解析式可知，函數(shù)過點(diǎn)，，，，，如圖所示，可通過五點(diǎn)作圖法繪出圖像．（2）根據(jù)(1)可知：函數(shù)的最大值為，最小值為，故值域?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖法、三角函數(shù)的值域以及三角函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，考查學(xué)生的繪圖能力，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，是簡單題．19.已知函數(shù)．(1）判斷的單調(diào)性,并根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明；(2)解關(guān)于的不等式．【答案】（1)單調(diào)遞減,證明過程見解析；（2)【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域,利用單調(diào)性的定義,結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、差比法、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性；(2）利用函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合定義域、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可以解出不等式的解集.【詳解】（1）是單調(diào)遞減函數(shù),理由如下：由，所以函數(shù)的定義域?yàn)?。設(shè)且,則有.，所以有，因此函數(shù)減函數(shù)；(2），由(1)可知函數(shù)的單調(diào)性和定義域，于是有下列不等式組成立：,所以不等式的解集為：.【點(diǎn)睛】本題考查了判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性,考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。20。一個(gè)摩天輪的半徑為10米,輪子的底部在地面上2米處,如果此摩天輪每20秒轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過點(diǎn)（點(diǎn)與摩天輪中心同高度）時(shí)開始計(jì)時(shí)(按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)）.（1)求此人相對(duì)于地面的高度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，有多長時(shí)間此人相對(duì)于地面高度不超過7米？【答案】（1）；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi),有秒此人相對(duì)于地面高度不超過7米?！窘馕觥俊痉治觥浚?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，求出自點(diǎn)開始時(shí)經(jīng)過秒轉(zhuǎn)過的角度，得到秒時(shí)某人所在點(diǎn)的縱坐標(biāo),則此人相對(duì)于地面的高度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式可求。（2）由高度不超過7米列三角不等式，結(jié)合求解的范圍，即可解答.【詳解】(1）以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)摩天輪上某人在處，則在內(nèi)轉(zhuǎn)過角度為，秒時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故在秒時(shí)此人相對(duì)于地面的高度為：(2)令,則，即，，在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi),有秒此人相對(duì)于地面高度不超過7米.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)模型的應(yīng)用，同時(shí)考查了解三角不等式,屬于中檔題。21。如圖所示，是邊長為的正三角形，點(diǎn)四等分線段．（1）求的值；（2)若點(diǎn)是線段上一點(diǎn),且，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1）;(2）【解析】【分析】（1）利用向量的幾何意義和向量的數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算即可。（2）利用向量共線定理，利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等即可求解.【詳解】(1）（2）設(shè)，，，解得.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的幾何意義、向量的數(shù)量積以及向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題.22.已知函數(shù)．（1）求單調(diào)增區(qū)間；（2）若,存在，使得，且在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和;當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和.（2)【解析】【分析】（1）分類討論取值,當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，然后結(jié)合二次函數(shù)的圖像以及圖像的翻折變換即可求解.(2）根據(jù)題意可得在上單調(diào)遞增，且，從而可得有兩個(gè)非正根即可.【詳解】(1）由當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和。當(dāng)時(shí)，