天津市部分區(qū)2020屆二模數(shù)學試題含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精天津市部分區(qū)2020屆高考二模數(shù)學試題含解析天津市部分區(qū)2020年高三質(zhì)量調(diào)查試卷（二）一?選擇題：在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1。設(shè)集合，，，則（)A. B. C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】計算出集合,再利用交集的定義可求得集合.【詳解】集合，，,，.故選：B.【點睛】本題考查交集與并集的運算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知命題，，則命題的否定是（）A., B.，C。， D。，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定，改變量詞,否定結(jié)論，可得出命題的否定。【詳解】命題為特稱命題，其否定為，。故選：C?！军c睛】本題考查特稱命題的否定的改寫，要注意量詞和結(jié)論的變化，屬于基礎(chǔ)題。3.已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)的實部為，則(）A. B。 C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則可得,進而可得，求得后,由復(fù)數(shù)模的概念即可得解.【詳解】由題意，所以復(fù)數(shù)的實部為，解得，所以，所以。故選：D【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算、復(fù)數(shù)實部的概念以及復(fù)數(shù)模的概念，屬于基礎(chǔ)題。4。函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，（為常數(shù))，則（）A。 B. C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】由題意結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得，可得當時，，利用即可得解.【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當時，，，解得,當時，，。故選：D?！军c睛】本題考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,考查了運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5.若，，則()A。 B. C. D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】由題意可得，進而可得,代入即可得解.【詳解】，，又,即，。故選：A?！军c睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值,考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則(）A。 B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式得，解得,再由等差數(shù)列的通項公式即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列首項為，公差為,,，，解得，.故選：B.【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式及前n項和公式的基本量運算，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7。已知,，，則，，的大小關(guān)系是(）A B。 C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】由題意結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，即可得解。【詳解】由題意，，,所以.故選:C?！军c睛】本題考查了指數(shù)式、對數(shù)式的大小比較，考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.若函數(shù)（）在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上存在零點，則的取值范圍是（）A。 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可得,由余弦函數(shù)的零點可得,即可得解.【詳解】當時，，又，,函數(shù)（）在區(qū)間上單調(diào)遞減，，即,解得;令，則，即，由，可得當且僅當時，，又函數(shù)(）在區(qū)間上存在零點，,解得;綜上，的取值范圍是。故選：D.【點睛】本題考查了余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，考查了運算求解能力,屬于中檔題。9.已知函數(shù)函數(shù).若關(guān)于的方程有個互異的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】由題意作出函數(shù)圖象，轉(zhuǎn)化條件為要使直線與函數(shù)的圖象有三個交點，分別考慮直線與函數(shù)在y軸右側(cè)、左側(cè)的圖象的交點個數(shù),即可得解.【詳解】由題意作出函數(shù)的圖象，如圖:要使關(guān)于的方程有個互異的實數(shù)根，則要使直線與函數(shù)的圖象有三個交點，易知點，,由圖象可知，當時,不合題意；當時，若直線與函數(shù)在y軸右側(cè)的圖象相切,設(shè)切點為,由可得，解得，，切點恰為點，所以當時,直線與函數(shù)在y軸右側(cè)的圖象只有一個交點;若直線與函數(shù)在y軸左側(cè)的圖象相切，設(shè)切點為，由，所以，解得（舍去）或,，當直線過點時，，所以當時，直線與函數(shù)在y軸左側(cè)的圖象有兩個交點；綜上,要使直線與函數(shù)的圖象有三個交點，則.即實數(shù)的取值范圍是.故選:B.【點睛】本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的計算與數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題。二?填空題:本大題共6小題，共30分；答題直接填寫結(jié)果，不必寫計算或推證過程.10。雙曲線的右焦點為，且一條漸近線方程是,則該雙曲線的方程是______________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程和焦點坐標可得出關(guān)于、的方程組,求出這兩個量的值,由此可得出該雙曲線的方程.【詳解】由題意可得，解得，因此，雙曲線的方程是。故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線方程的求解，根據(jù)題意建立方程組是解答的關(guān)鍵,考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.11。若的展開式中的常數(shù)項為，則實數(shù)______________.【答案】【解析】【分析】直接利用二項式定理計算得到答案【詳解】展開式的通項為：，取得到常數(shù)項為，解得.故答案為:。【點睛】本題考查了根據(jù)二項式定理中常數(shù)項求參數(shù)，意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力。12。已知點P在直線上，則的最小值為．【答案】【解析】試題分析：點代入直線得，所以最小值為考點:均值不等式求最值13。在中，內(nèi)角，,所對的邊分別為，，。若，則______________.【答案】【解析】【分析】由，利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角得到，，再利用三角恒等變換化簡得到，根據(jù),求得角，從而得解?！驹斀狻恳驗?，所以，即，即,因為，所以，所以，所以，所以。故答案為：【點睛】本題主要考查三角恒等變換及解三角形，還考查了運算求解的能力,屬于中檔題。14。如圖，點是長方體的中心，,，,分別為其所在棱的中點，且。記棱的長度為，點到平面的距離為，則______________；若該長方體的體積為，則四棱錐的體積為______________.【答案】(1）。（2）.【解析】【分析】根據(jù)長方體，得到平面,則A到平面距離為，由點是長方體的中心，得到到平面的距離.根據(jù)長方體的體積為，求得,再由，，，分別為其所在棱的中點,得到，然后利用錐體體積公式求解?！驹斀狻吭陂L方體中,平面，，所以A到平面的距離為,因為點是長方體的中心，所以到平面的距離為所以因為長方體的體積為，所以，所以,因為，，，分別為其所在棱的中點，所以，所以四棱錐的體積為。故答案為：①2②10【點睛】本題主要考查長方體的幾何特征以及點到面的距離，柱體、錐體的體積，還考查了空間想象，運算求解的能力，屬于中檔題。15.在梯形中，，，，，若點在線段上，則的最小值為______________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)，,，，建立平面直角坐標系，設(shè)，得到，再求得的坐標，利用數(shù)量積的坐標運算求解.【詳解】建立如圖所示平面直角坐標系:因為，，，，所以，，，設(shè)，所以所以，所以，所以,，當時，的最小值為。故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.三?解答題：本大題共5個小題,共75分；解答應(yīng)寫出必要的文字說明?推證過程或演算步驟.16.天津市某中學為全面貫徹“五育并舉,立德樹人”的教育方針，促進學生各科平衡發(fā)展，提升學生綜合素養(yǎng)。該校教務(wù)處要求各班針對薄弱學科生成立特色學科“興趣學習小組”(每位學生只能參加一個小組),以便課間學生進行相互幫扶.已知該校某班語文?數(shù)學?英語三個興趣小組學生人數(shù)分別為10人?10人?15人。經(jīng)過一段時間的學習，上學期期中考試中，他們的成績有了明顯進步.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從該班的語文，數(shù)學，英語三個興趣小組中抽取7人，對期中考試這三科成績及格情況進行調(diào)查.（1）應(yīng)從語文，數(shù)學，英語三個興趣小組中分別抽取多少人？（2）若抽取的7人中恰好有5人三科成績?nèi)考案?其余2人三科成績不全及格.現(xiàn)從這7人中隨機抽取4人做進一步的調(diào)查.①記表示隨機抽取4人中,語文，數(shù)學，英語三科成績?nèi)案竦娜藬?shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；②設(shè)為事件“抽取的4人中，有人成績不全及格”,求事件發(fā)生的概率.【答案】（1）語文?數(shù)學?英語三個興趣小組中分別抽取人?人?人.（2）①分布列答案見解析，數(shù)學期望，②概率為?！窘馕觥俊痉治觥?1）由語文?數(shù)學?英語三個興趣小組的人數(shù)之比為，利用分層抽樣方法確定抽取的人數(shù).（2)①根據(jù)抽取的7人中恰好有5人三科成績?nèi)考案?，其?人三科成績不全及格.得到隨機抽取4人中，語文，數(shù)學，英語三科成績?nèi)案竦娜藬?shù)可能人，再求得相應(yīng)概率,列出分布列，再求期望。②設(shè)事件為“抽取的人中，三科成績?nèi)案竦挠腥?，三科成績不全及格的有人”；事件為“抽取的人?三科成績?nèi)案竦挠腥?，三科成績不全及格的有?。有，且與互斥，根據(jù)①利用互斥事件的概率求解。【詳解】(1）因為數(shù)學?英語三個興趣小組學生人數(shù)分別為10人?10人?15人,所以語文?數(shù)學?英語三個興趣小組的人數(shù)之比為,因此，采用分層抽樣方法從中抽取人，應(yīng)從語文?數(shù)學?英語三個興趣小組中分別抽取人?人?人.（2)①依題意,得隨機變量的所有可能取值為。所以,.因此,所求隨機變量的分布列為。②依題意,設(shè)事件為“抽取的人中，三科成績?nèi)案竦挠腥耍瞥煽儾蝗案竦挠腥恕?事件為“抽取的人中，三科成績?nèi)案竦挠腥耍瞥煽儾蝗案竦挠腥恕?。則有,且與互斥.由①知，,所以故事件發(fā)生的概率為.【點睛】本題主要考查分層抽樣，離散型隨機變量的分布列與期望以及互斥事件的概率,還考查了運算求解的能力，屬于中檔題。17。已知各項均為正數(shù)的數(shù)列，滿足（）。（1）求證：為等比數(shù)列,并寫出其通項公式;(2）設(shè)(）,求數(shù)列的前項和。【答案】(1）證明見解析,.(2)【解析】【分析】（1）由可得，然后兩式相減得,然后求出即可(2）利用錯位相減法求出即可?！驹斀狻浚?）因為(），①所以，當時，有，②①-②得，即，所以（,）。所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.又由①得,所以。所以。(2)由題意及（1)得所以,③所以,④③-④，得,故?！军c睛】常見數(shù)列的求和方法：公式法（等差等比數(shù)列）、分組求和法、裂項相消法、錯位相減法。18。如圖,四棱錐中，底面四邊形是直角梯形，底面，，，,，為的中點.（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.【答案】（1)證明見解析，（2）?！窘馕觥俊痉治觥浚?）首先利用條件證明，然后結(jié)合即可證明平面（2)由平面可得是直線與平面所成的角，然后算出，然后以點為原點，分別以的方向為軸?軸?軸的正方向建立空間直角坐標系,算出平面的法向量即可.【詳解】（1)證明:因為,,所以.又因為,所以是等腰直角三角形,所以，.又因為，，所以，即。因為底面，平面，所以。又，所以平面。（2)在中,，，所以.由（1）知，平面，所以是直線與平面所成的角，則.在中，，所以.以點為原點，分別以的方向為軸?軸?軸的正方向建立空間直角坐標系.則。因為為的中點，所以，所以.設(shè)平面法向量為,則即令，得.所以.由平面，則為平面的一個法向量.所以。故所求二面角的余弦值為.【點睛】向量法是求立體幾何中的線線角、線面角、面面角時常用方法.19.已知，分別是橢圓的左?右焦點，其焦距為，過的直線與交于,兩點，且的周長是.（1)求的方程；（2）若是上的動點，從點(是坐標系原點）向圓作兩條切線，分別交于,兩點。已知直線，的斜率存在，并分別記為，。（ⅰ)求證：為定值;（ⅱ）試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由。【答案】（1).（2）①證明見解析;②是，定值為.【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，根據(jù)其焦距為，求得,直線過的焦點，且的周長是,可得,即可求得的方程；(2）（ⅰ）設(shè)直線：,直線：，直線與圓相切，可得，化簡得;同理可得。根據(jù)是一元二次方程，的兩實數(shù)根，即可求得的值；（ⅱ）設(shè).聯(lián)立方程組，根據(jù)韋達定理和已知條件可得：的值；【詳解】（1)設(shè)橢圓的焦距為（），則,故：。直線過焦點，且的周長是，，.。橢圓的方程是。（2)(ⅰ)從點（是坐標系原點）向圓作兩條切線,分別交于,兩點.已知直線，的斜率存在，并分別記為，直線：,直線:。直線與圓相切，根據(jù)點到直線距離公式可得:化簡得；同理可得。是一元二次方程的兩實數(shù)根,則有又點在上，，即，(定值）。（ⅱ）是定值，且定值為。理由如下：設(shè)。聯(lián)立方程組解得。同理可得。由（ⅰ)知，,(定值).【點睛】本題主要考查了求橢圓標準方程和橢圓中的定值問題，解題關(guān)鍵是掌握是圓錐曲線與直線交點問題時,通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組，通過韋達定理建立起目標的關(guān)系式，采用“設(shè)而不求法”并進行一系列的數(shù)學運算，從而使問題得以解決．20.已知函數(shù),函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)。（1)求曲線在點處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)(），討論的單調(diào)性；(3）若對任意，恒有關(guān)于的不等式成立,求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）。（2)答案見解析.（3）【解析】【分析】（1）由函數(shù)，求導(dǎo)得到，再求得，，寫出切線方程.（2）易得，由在上恒成立，根據(jù)，分，討論求解。（3）根據(jù)對任意,恒有關(guān)于的不等式成立，轉(zhuǎn)化為，對任意恒成立，設(shè)（，用導(dǎo)數(shù)法求其最小值即可.【詳解】（1）因為所以，所以。因為，所以,即所求曲線在點處的切線方程為。(2）易知,函數(shù)的定義域為，，且有。因為在上恒成立，所以①當時，在上恒成立，此時，所以,在區(qū)間上單調(diào)遞增。②當時,由