初三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)加例題講解

初三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)加例題講解初三數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)資料加經(jīng)典例題

第一章、圖形與證明（二）

（一）、學(xué)問框架

留意：若等邊三角形的邊長(zhǎng)為，則：其高為：

，面積為：

。

1.等腰三角形

等邊三角形的性質(zhì)和判定

等腰三角形的性質(zhì)和判定

線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定

角的平分線的性質(zhì)和判定

2.直角三角形全等的判定：

矩形的性質(zhì)和判定

：3個(gè)判定定理

平行四邊形的性質(zhì)和判定：4個(gè)判定定理

菱形的性質(zhì)和判定：3個(gè)判定定理

3.平行四邊形

正方形的性質(zhì)和判定：2個(gè)判定定理

注留意：（1）中點(diǎn)四邊形

①順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)，所得的新四邊形是

；

②順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)，所得的新四邊形是

；

③順次連接對(duì)角線相互垂直的四邊形各邊中點(diǎn)，所得的新四邊形是

；

④順次連接對(duì)角線相互垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)，所得的新四邊形是

。

（2）菱形的面積公式：

（是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)）

4.等腰梯形的性質(zhì)和判定

留意：（1）解決梯形問題的根本思路:通過分割和拼接轉(zhuǎn)化成三角形和平行四邊形進(jìn)展解決。

即需要把握常作的幫助線。

（2）梯形的面積公式：（-中位線長(zhǎng)）

5.中位線

三角形的中位線

梯形的中位線

(二)學(xué)問詳解

2．1、等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論

性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）

判定：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）

推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（即“三線合一”）

2．2、等邊三角形的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)定理：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60度；等邊三角形的三條邊都滿意“三線合一”的性質(zhì)；等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸。

判定定理：有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形?；蛘呷齻€(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。

2．3、線段的垂直平分線

（1）線段垂直平分線的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。

（2）三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)

三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。

（3）如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線

分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的一半長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M、N；作直線MN，則直線MN就是線段AB的垂直平分線。

2．4、角平分線

（1）角平分線的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；

判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。

（2）三角形三條角平分線的性質(zhì)定理

性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。

（3）如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線

2．5、直角三角形

（1）勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

逆定理：假如三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

（2）直角三角形全等的判定定理

定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）

2.6、幾種特別四邊形的性質(zhì)

2.7.

幾種特別四邊形的判定方法

2.8、三角形的中位線：

⑴連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．

區(qū)分三角形的中位線與三角形的中線。

⑵三角形中位線的性質(zhì)

三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半．

2.9、梯形的中位線：

⑴連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線。

留意：中位線是兩腰中點(diǎn)的連線，而不是兩底中點(diǎn)的連線。

⑵梯形中位線的性質(zhì)

梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

（三）典型例題

例題1、以下命題正確的個(gè)數(shù)是

①假如一個(gè)三角形有兩個(gè)內(nèi)角相等，則此三角形是軸對(duì)稱圖形；②等腰鈍角三角形是軸對(duì)稱圖形；③有一個(gè)角是30°角的直角三角形時(shí)軸對(duì)稱圖形；④有一個(gè)內(nèi)角是30°，一個(gè)內(nèi)角為120°的三角形是軸對(duì)稱圖形

A、1個(gè)

B、2個(gè)

C、3個(gè)

D、4個(gè)

答案：C

解析：①兩個(gè)內(nèi)角相等，依據(jù)“等角對(duì)等邊”知此三角形是等腰三角形，④依據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，推斷出此三角形是等腰三角形，所以①②④都是等腰三角形，是軸對(duì)稱圖形，故①②④正確，應(yīng)選C。

例題2、以下性質(zhì)中，等腰三角形具有而直角三角形不肯定具有的是

A、兩邊之和大于第三邊

B、有一個(gè)角平分線垂直于這個(gè)角的對(duì)邊

C、有兩個(gè)銳角的和等于90°

D、內(nèi)角和等于180°

答案：B

解析：A、D是任何三角形都必需滿意的，C項(xiàng)直角三角形的兩個(gè)銳角的和等于90°，等腰三角形不肯定具有，B項(xiàng)等腰三角形的頂角平分線垂直于底邊，直角三角形不具有這共性質(zhì)，應(yīng)選B。

例題3、等腰三角形的腰長(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為8，則等腰三角形的面積為

。

答案：12

解析：依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，底邊上的高垂直平分底邊，所以由勾股定理得究竟邊的高為，所以等腰三角形的面積為，故填12。

例題4、在□ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接BE，交AC于點(diǎn)F，則AF：CF＝（

）

A．1：2B．1：3C．2：3D．2：5

【答案】A

例題5、在□ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F．

（1）在圖1中證明CE=CF；

（2）若，G是EF的中點(diǎn)（如圖2），直接寫出∠BDG的度數(shù)；

（3）若∠ABC=120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE．，分別連結(jié)DB、DG（如圖3），求∠BDG的度數(shù)．

1

圖3

圖1

圖2

【答案】(1)證明：如圖1．

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB∥CD．

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F．

∴∠CEF=∠F．

∴CE=CF

(2)∠BDG=45°

(3)解：分別連結(jié)GB、GE、GC（如圖3）

∵AB∥DC，∠ABC=120°

∴∠ECF=∠ABC=120°

∵FG∥CE且FG=CE．

∴四邊形CEGF是平行四邊形．

由(1)得CE=CF，

平行四邊形CEGF是菱形．

∴EG=EC，∠GCF=∠GCE=∠ECF=60°

∴△ECG是等邊三角形

∴EG=CG，

①

∠GEC=∠EGC=60°

∴∠GEC=∠GCF．∴∠BEG=∠DCG．

②

由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB．

∴AB=BE．

在平行四邊形ABCD中，AB=DC．

∴BE=DC．

③

由①②③得△BEG≌△DCG．

∴BG=DG．∠1=∠2．∴∠BGD=∠1

+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°

∴∠BDG==60°．

例題6、如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是（

）

A．7B．9C．10D．11

【答案】D

例題7、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E、F、M、N分別是AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)。試說明：EF與MN相互垂直平分。

（學(xué)生自己思索）

第四章、一元二次方程

（一）學(xué)問框架

一元二次方程的概念

一元二次方程

列一元二次方程解應(yīng)用題

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

△,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根;△=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)根;△時(shí),方程無實(shí)根.

一元二次方程

的根的

狀況

公式法

配方法

因式分解法

直接配方法

一元二次方程的解法

一元二次方程的探究

等量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系

一元二次方程的應(yīng)用

方程的兩根為,則,（二）、學(xué)問詳解

1、一元二次方程定義

含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。

（二）、一元二次方程的一般形式

，它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)*的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；b*叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。

2、一元二次方程的解法

1、直接開平方法

直接開平方法適用于解形如的一元二次方程。當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)b0，

所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

例題4、某商品經(jīng)過兩次連續(xù)降價(jià)，每件售價(jià)由原來的55元降到了35元．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為*，則以下方程中正確的選項(xiàng)是（

）

A．55

(1+*)2=35

B．35(1+*)2=55

C．55

(1－*)2=35

D．35(1－*)2=55

解：C

例5：（2023南京）西瓜經(jīng)營(yíng)戶以2元/千克的價(jià)格購進(jìn)一批小型西瓜，以3元/千克的價(jià)格出售,每天可售出200千克.為了促銷,該經(jīng)營(yíng)戶打算降價(jià)銷售.經(jīng)調(diào)查發(fā)覺,這種小型西瓜每降價(jià)O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定本錢共24元.該經(jīng)營(yíng)戶要想每天盈利2O0元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低多少元?

解：設(shè)應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低*元

依據(jù)題意，得：

解得：＝0.2，＝0.3

答：應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低0.2或0.3元。

第五章、中心對(duì)稱圖形二（圓的有關(guān)學(xué)問）

（一）、學(xué)問框架

外離

內(nèi)含

外切

內(nèi)切

相離

相交

相交

相切

圓與圓的位置關(guān)系

三角形的內(nèi)切圓

切線長(zhǎng)定理

性質(zhì)

判定

相離

相

相切

相交

直線與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

點(diǎn)在圓內(nèi)

點(diǎn)在圓外

點(diǎn)在圓上

三角形的外接圓

不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓

確定圓的條件

根本性質(zhì)

圓周角定理及其推論

弧、弦、弦心距、圓心角關(guān)系定理及其推論

圓的對(duì)稱性

垂徑定理及其推論

圓的定義,弧、弦等概念

與圓有關(guān)的位置關(guān)系

圓

軸截面

側(cè)面積

全面積

圓錐

正四、八邊形

正三、六、十二邊形

正多邊形的半徑、邊心距、正多邊形的內(nèi)角、中心角、外角、正多邊形的周長(zhǎng)、面積

圓內(nèi)接正多邊形

正多邊形和圓

正多邊形的有關(guān)計(jì)算

正多邊形與圓

其中為弧長(zhǎng)，R為半徑

圓內(nèi)接正多邊形作法----等份圓

相切的兩圓的連心線過切點(diǎn)

相交的兩圓的連心線垂直平分相交弦

扇形的弧長(zhǎng)、面積

（二）學(xué)問點(diǎn)詳解

一、圓的概念

集合形式的概念：

1、

圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；

2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；

3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合

軌跡形式的概念：

1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；

（補(bǔ)充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線

3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；

4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線；

5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。

二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1、點(diǎn)在圓內(nèi)

點(diǎn)在圓內(nèi)；

2、點(diǎn)在圓上

點(diǎn)在圓上；

3、點(diǎn)在圓外

點(diǎn)在圓外；

三、直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓相離

無交點(diǎn)；

2、直線與圓相切

有一個(gè)交點(diǎn)；

3、直線與圓相交

有兩個(gè)交點(diǎn)；

四、圓與圓的位置關(guān)系

外離（圖1）

無交點(diǎn)

；

外切（圖2）

有一個(gè)交點(diǎn)

；

相交（圖3）

有兩個(gè)交點(diǎn)

；

內(nèi)切（圖4）

有一個(gè)交點(diǎn)

；

內(nèi)含（圖5）

無交點(diǎn)

；

五、垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?/p>

（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；

（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2推3定理：此定理*5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即：

①是直徑

②

③

④

弧弧

⑤

弧弧

中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

即：在⊙中，∵∥

∴弧弧

六、圓心角定理

圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。

此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，

只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，

即：①；②；

③；④

弧弧

七、圓周角定理

1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。

即：∵和是弧所對(duì)的圓心角和圓周角

∴

2、圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等??；

即：在⊙中，∵、都是所對(duì)的圓周角

∴

推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。

即：在⊙中，∵是直徑

或∵∴

∴是直徑

推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在△中，∵

∴△是直角三角形或

注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。

八、圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。

即：在⊙中，

∵四邊形是內(nèi)接四邊形

∴

九、切線的性質(zhì)與判定定理

（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；

兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不行

即：∵且過半徑外端∴是⊙的切線

（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）

推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。

推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。

以上三個(gè)定理及推論也稱二推肯定理：

即：①過圓心；②過切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最終一個(gè)。

十、切線長(zhǎng)定理

切線長(zhǎng)定理：

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

即：∵、是的兩條切線∴平分

十一、兩圓公共弦定理

圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。

如圖：垂直平分。

即：∵⊙、⊙相交于、兩點(diǎn)

∴垂直平分

十二、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算

（1）

正三角形

：在⊙中△是正三角形

有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)展：；

（2）正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)展，

：

（3）正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)展，

.

十三、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式

1、扇形：（1）弧長(zhǎng)公式：；

（2）扇形面積公式：

：圓心角

：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑

：扇形弧長(zhǎng)

：扇形面積

2、圓錐側(cè)面綻開圖

（1）=

（2）圓錐的體積：

3、圓錐與圓柱的比擬

名稱

圓柱

圓錐

圖形

圖形的形成過程

由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到，如矩形ADD’G繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周

由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到，如Rt△SOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周

圖形的組成

兩個(gè)底面圓和一個(gè)側(cè)面

一個(gè)底面圓和一個(gè)側(cè)面

面積、體積的計(jì)算公式

S側(cè)=2πrh

S全=

S側(cè)+2S底=2πrh+2πr2

V=πr2h

S側(cè)=πr

S全=

S側(cè)+S底=πr

+πr2

V=πr2h

（三）、典型例題

例題1．某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道裂開，修理人員為更換管道，需要確定管道圓形截面的半徑，如下圖是水平放置的裂開管道有水局部的截面.

(1)請(qǐng)你補(bǔ)全這個(gè)輸水管道的圓形截面圖；

(2)若這個(gè)輸水管道有水局部的水面寬AB=16cm，水最深的地方的高度為4cm，求這個(gè)圓形截面的半徑.

思路點(diǎn)撥：此題考察圓確實(shí)定、垂徑定理以及直角三角形的性質(zhì)有關(guān)等學(xué)問.

解：(1)作法略.如下圖.

(2)如下圖，過O作OC⊥AB于D，交于C，

∵

OC⊥AB，

∴

.

由題意可知，CD=4cm.

設(shè)半徑為*

cm，則.

在Rt△BOD中，由勾股定理得：

∴.

∴

.

即這個(gè)圓形截面的半徑為10cm.

例題2、在中，弦平行于弦，若，則____度．

【考點(diǎn)要求】此題主要考察圓中圓心角與圓周角之間的關(guān)系．

A

D

C

B

O

圖7-1

【思路點(diǎn)拔】∵∠B=∠AOC，

∴∠B=40°

∵AD∥BC

∴∠B

=40°

【答案】填：40

例題3、AB是的⊙O的直徑，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，則∠BCD=（

）

A．1000

B．1100

C．1200

D．1350

圖7-2

【考點(diǎn)要求】此題考察了圓中弧、弦、圓心（周）角之間的關(guān)系，以及直徑所對(duì)的弧是半圓等根本學(xué)問．

【思路點(diǎn)拔】∵AB是的⊙O的直徑

∴度數(shù)是1800

∵BC=CD=DA

∴==