湖南省洞口縣九中2022-2023學年高二數(shù)學第二學期期末教學質量檢測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．平面向量，，（），且與的夾角等于與的夾角，則（）A． B． C． D．2．已知曲線在點處的切線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．3．已知，則（）A． B．186 C．240 D．3044．（山西省榆社中學高三診斷性模擬考試）設為數(shù)列的前項和，已知，，則A． B．C． D．5．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在內單調遞增的函數(shù)是（）A． B． C． D．6．若f(x)=ln(x2-2ax+1+a)在區(qū)間上遞減,則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知點，是拋物線：上的兩點，且線段過拋物線的焦點，若的中點到軸的距離為2，則（）A．2 B．4 C．6 D．88．已知a>0，b>－1，且a＋b＝1，則的最小值為()A． B． C． D．9．老師在班級50名學生中，依次抽取學號為5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的學生進行作業(yè)檢查，這種抽樣方法是（）A．隨機抽樣 B．分層抽樣 C．系統(tǒng)抽樣 D．以上都是10．設，則在下列區(qū)間中，使函數(shù)f(x)有零點的區(qū)間是（）A．[0,1]B．[1,2]C．[-2,-1]D．[-1,0]11．已知集合，則等于()A． B． C． D．12．現(xiàn)有張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各張.從中任取張，要求這張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多張.不同取法的種數(shù)為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪．假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于（）．14．劉老師帶甲、乙、丙、丁四名學生去西安參加自主招生考試，考試結束后劉老師向四名學生了解考試情況．四名學生回答如下：甲說：“我們四人都沒考好．”乙說：“我們四人中有人考的好．”丙說：“乙和丁至少有一人沒考好．”丁說：“我沒考好．”結果，四名學生中有兩人說對了，則這四名學生中的______________兩人說對了．15．《左傳.僖公十四年》有記載:“皮之不存,毛將焉附?"”這句話的意思是說皮都沒有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基礎,就不能存在.皮之不存,毛將焉附?則“有毛”是“有皮”的__________條件(將正確的序號填入空格處).①充分條件②必要條件③充要條件④既不充分也不必要條件16．函數(shù)的最小值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設，已知，為關于的二次方程兩個不同的虛根，（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，，求實數(shù)，的值.18．（12分）已知拋物線，為其焦點，過的直線與拋物線交于、兩點．（1）若，求點的坐標；（2）若線段的中垂線交軸于點，求證：為定值；（3）設，直線、分別與拋物線的準線交于點、，試判斷以線段為直徑的圓是否過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．19．（12分）設函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；（Ⅱ）當時，函數(shù)f（x）的最小值為2，求函數(shù)f（x）的最大值及對應的x的值．20．（12分）已知函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求的值；（2）判斷的單調性，并用定義加以證明；21．（12分）如圖，直三棱柱中，，，，為的中點，點為線段上的一點.(1)若，求證:;(2)若，異面直線與所成的角為30°，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知函數(shù)的定義域為R，值域為，且對任意，都有，.（Ⅰ）求的值，并證明為奇函數(shù)；（Ⅱ）若時，，且，證明為R上的增函數(shù)，并解不等式.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

,,,與的夾角等于與的夾角,,,解得,故選D.【考點定位】向量的夾角及向量的坐標運算.2、D【解析】

利用導數(shù)求出，由可求出的值．【詳解】，，由題意可得，因此，，故選D．【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查導數(shù)的運算、直線的傾斜角和斜率之間的關系，意在考查函數(shù)的切線斜率與導數(shù)之間的關系，考查計算能力，屬于中等題．3、A【解析】

首先令，這樣可以求出的值，然后把因式分解，這樣可以變成兩個二項式的乘積的形式，利用兩個二項式的通項公式，就可以求出的會下，最后可以計算出的值.【詳解】令，由已知等式可得：，，設的通項公式為：，則常數(shù)項、的系數(shù)、的系數(shù)分別為：；設的通項公式為：，則常數(shù)項、的系數(shù)、的系數(shù)分別為：，，所以，故本題選A.【點睛】本題考查了二項式定理的應用，正確求出通項公式是解題的關鍵.4、D【解析】根據(jù)題意，由，得，則，，…，將各式相加得，又，所以，因此，則將上式減下式得，所以.故選D.點睛：此題主要考查了數(shù)列通項公式、前項和公式的求解計算，以及錯位相消求各法的應用等有關方面的知識與技能，屬于中檔題型，也是?？贾R點.錯位相消求和法是一種重要的方法，一般適于所求數(shù)列的通項公式是一個等比數(shù)列乘于一個等差的形式，將求和式子兩邊同時乘于等比數(shù)列的公比，再兩式作差，消去中間項，從而求得前項和公式.5、D【解析】

由基本初等函數(shù)的單調性和奇偶性，對A、B、C、D各項分別加以驗證，不難得到正確答案．【詳解】解：對于A，因為冪函數(shù)y＝x3是R上的增函數(shù)，所以y＝﹣x3是（0，+∞）上的減函數(shù)，故A不正確；對于B，為偶函數(shù)，且在上沒有單調性，所以B不正確；對于C，在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，故C不正確；對于D，若f（x）＝x|x|，則f（﹣x）＝﹣x|x|＝﹣f（x），說明函數(shù)是奇函數(shù)，而當x∈（0，+∞）時，f（x）＝x2，顯然是（0，+∞）上的增函數(shù)，故D正確；故選：D．【點睛】本題考查了函數(shù)奇偶性和單調性的判斷與證明，屬于基礎題．6、B【解析】

由外函數(shù)對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，可得要使函數(shù)在上遞減，需內函數(shù)二次函數(shù)的對稱軸大于等于1，且內函數(shù)在上的最小值大于0，由此聯(lián)立不等式組求解．【詳解】解：令，其對稱軸方程為，外函數(shù)對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，要使函數(shù)在上遞減，則，即：．實數(shù)的取值范圍是．故選：．【點睛】本題主要考查了復合函數(shù)的單調性以及單調區(qū)間的求法．對應復合函數(shù)的單調性，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用復合函數(shù)與內層函數(shù)和外層函數(shù)單調性之間的關系進行判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”，是中檔題．7、C【解析】

利用拋物線的拋物線的定義寫出弦長公式，利用中點橫坐標來求得弦長.【詳解】設，，則，而的中點的橫坐標為，所以.故選C.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系，以及拋物線的定義和性質，考查運算求解能力和化歸與轉化的數(shù)學思想.8、A【解析】分析：由，且，變形可得利用導數(shù)求其最值；詳解：，且a＋b＝1，∴．

令，解得，此時函數(shù)單調遞增；令，解得此時函數(shù)單調遞減．

∴當且僅當時，函數(shù)取得極小值即最小值，點睛：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，屬中檔題.9、C【解析】

對50名學生進行編號，分成10組，組距為5，第一組選5，其它依次加5，得到樣本編號.【詳解】對50名學生進行編號，分成10組，組距為5，第一組選5，從第二組開始依次加5，得到樣本編號為：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，屬于系統(tǒng)抽樣.【點睛】本題考查系統(tǒng)抽樣的概念，考查對概念的理解.10、D【解析】試題分析：函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有零點，需要f（x）在此區(qū)間上的圖像連續(xù)且兩端點函數(shù)值異號，即f（a）f（b）≤0，把選擇項中的各端點值代入驗證可得答案D．考點：零點存在定理11、D【解析】分析：求出集合，，即可得到.詳解：故選D.點睛：本題考查兩個集合的交集運算，屬基礎題.12、C【解析】試題分析：3張卡片不能是同一種顏色，有兩種情形：三種顏色或者兩種顏色，如果是三種顏色，取法數(shù)為，如果是兩種顏色，取法數(shù)為，所以取法總數(shù)為，故選C．考點：分類加法原理與分步乘法原理．【名師點晴】（1）對于一些比較復雜的既要運用分類加法計數(shù)原理又要運用分步乘法計數(shù)原理的問題，我們可以恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加直觀、清晰．（2）當兩個原理混合使用時，一般是先分類，在每類方法里再分步．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：根據(jù)題意，記該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪為A，若該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪，必有第二個問題回答錯誤，第三、四個回答正確，第一個問題可對可錯；有相互獨立事件的概率乘法公式，可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，故答案為0.128.法二：根據(jù)題意，記該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪為A，若該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪，必有第二個問題回答錯誤，第三、四個回答正確，第一個問題可對可錯，由此分兩類，第一個答錯與第一個答對；有相互獨立事件的概率乘法公式，可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.128考點：相互獨立事件的概率乘法公式14、乙，丙【解析】甲與乙的關系是對立事件，二人說話矛盾，必有一對一錯，如果選丁正確，則丙也是對的，所以丁錯誤，可得丙正確，此時乙正確。故答案為：乙，丙。15、①【解析】分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．詳解：由題意知“無皮”?“無毛”，所以“有毛”?“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分條件．故答案為：①．點睛：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用充分條件和必要條件的定義是解決本題的關鍵．16、3【解析】

對函數(shù)求導，然后判斷單調性，再求出最小值即可．【詳解】∵，∴（），令，解得，令，解得即原函數(shù)在遞減，在遞增，故時取得最小值3，故答案為3.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，正確求導是解題的關鍵，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2),【解析】

(1)由題可得二次函數(shù)的判別式小于0,列式求解即可.

(2)利用韋達定理代入可求得的關系,再化簡利用韋達定理表示,換成的形式進行求解即可.【詳解】(1)由題二次函數(shù)的判別式小于0,故,解得.

(2)由為關于的二次方程兩個不同的虛根可得,,又則,得,因為,故,又,故故,【點睛】本題主要考查了一元二次方程的復數(shù)根的性質,注意的意義為的模長為2,故.屬于中等題型.18、（1）或；（2）證明見解析；（3）以線段為直徑的圓過定點,定點的坐標或.【解析】

（1）設點、，設直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，由，可得出，代入韋達定理可求出的值，由此可得出點的坐標；（2）求出線段的中垂線的方程，求出點的坐標，求出、的表達式，即可證明出為定值；（3）根據(jù)對稱性知，以線段為直徑的圓過軸上的定點，設定點為，求出點、的坐標，由題意得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算并代入韋達定理，可求出的值，從而得出定點的坐標.【詳解】（1）設點、，設直線的方程為，易知點，，，由可得，得.將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去得，，由韋達定理得，，，，得.此時，，因此，點的坐標為或；（2）易知，，，所以，線段的中點坐標為，則直線的方程為，即，在該直線方程中，令，得，則點.，，因此，（定值）；（3）如下圖所示：拋物線的準線方程為，設點、.，，、、三點共線，則，則，得，則點，同理可知點.由對稱性可知，以線段為直徑的圓過軸上的定點，則.，.，解得或.因此，以線段為直徑的圓過定點和.【點睛】本題考查拋物線中的向量成比例問題、線段長度的比值問題以及圓過定點問題，一般將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理設而不求法進行求解，考查運算求解能力，屬于難題.19、（Ⅰ）函數(shù)f（x）最小正周期為，單調增區(qū)間為，（Ⅱ）f（x）取得最大值為，此時．【解析】

（Ⅰ）化簡，再根據(jù)周期公式以及正弦函數(shù)的單調性即可解決（Ⅱ）根據(jù)求出的范圍，再結合圖像即可解決．【詳解】（Ⅰ）由于函數(shù)，∴最小正周期為．由得：，故函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為，．（Ⅱ）當時，，函數(shù)f（x）的最小值為2，求函數(shù)f（x）的最大值及對應的x的值，∴，故當時，原函數(shù)取最小值2，即，∴，故，故當時，f（x）取得最大值為，此時，，．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)化簡的問題，以及三角函數(shù)的周期，單調性、最值問題．在解決此類問題時首先需要記住正弦函數(shù)的性質．屬于中等題．20、(1)；(2)在定義域上是減函數(shù)．證明見解析【解析】

（1）直接根據(jù)奇函數(shù)的性質f（0）＝0，求出a，再進行驗證；（2）先判斷函數(shù)單調遞減，再利用函數(shù)單調性的定義用作差比較法證明；【詳解】（1）由題知的定義域為，因為是奇函數(shù)，所以，即解得.經(jīng)驗證可知是奇函數(shù)，所以.（2）在定義域上是減函數(shù)，由（1）知，，任取，且，所以.，，，即所以在定義域上是減函數(shù)．【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質的綜合應用，涉及函數(shù)的奇偶性，單調性，屬于中檔題．21、(1)證明見解析(2)【解析】

（1）取中點，連接，，易知要證，先證平面；