蘇教版-必修一-第二章 函數(shù)-2.1 函數(shù)的概念【市一等獎(jiǎng)】

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識系統(tǒng)及其結(jié)構(gòu)三角函數(shù)是中學(xué)階段所學(xué)初等函數(shù)中重要的一個(gè)，除給出三角函數(shù)定義外，最重要的是研究三角函數(shù)所具備的函數(shù)的通性及其三角函數(shù)的特性．在第一單元：任意角的三角函數(shù)中已經(jīng)給出了三角函數(shù)定義，第二單元又為研究三角函數(shù)所需變形作好了準(zhǔn)備．所以本單元在第四章中的地位可理解為：第一、二兩個(gè)單元是本單元的預(yù)備知識．本單元是前兩個(gè)單元的應(yīng)用與歸宿、最終為三角函數(shù)應(yīng)用科學(xué)技術(shù)作好理論準(zhǔn)備．三角函數(shù)性質(zhì)的研究方法和研究二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣是用數(shù)形結(jié)合的方法，由簡單到復(fù)雜，特殊到一般，由具體到抽象的方法逐步深入．“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)研究的兩類不同的對象，它們既是對立的，又是統(tǒng)一的，每一個(gè)幾何圖形中的都蘊(yùn)含著反映該圖形性質(zhì)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系及其性質(zhì)又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形的性質(zhì)來反映，來描述．所以本單元在三角函數(shù)定義，特別是三角函數(shù)的向量定義——單位圓中的三角函數(shù)線為基礎(chǔ)，推出的定義域、值域，從而確定了圖象的存在范圍；同樣的定義和單位圓發(fā)現(xiàn)隨變化時(shí)的一些特殊點(diǎn)——最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)，零點(diǎn)．以正弦值在上變化順次地重復(fù)了在區(qū)間上的變化，從而找到了用列表描點(diǎn)和單位圓描點(diǎn)的“十三點(diǎn)”法畫出了的圖象．反過來用圖象進(jìn)一步研究了的性質(zhì)，接下來用變量代換的方法研究了圖象的畫法及圖象的關(guān)系，進(jìn)一步研究圖象的畫法與圖象的關(guān)系．最后研究用變量代換的方法和化歸的思想畫出的圖象并討論了與圖象的關(guān)系．其知識系統(tǒng)及其結(jié)構(gòu)如下面框圖所示：

三角三角函數(shù)定義坐標(biāo)定義幾何定義一單位圓中的三角函數(shù)線特殊角三角函數(shù)值正切函數(shù)圖象法及性質(zhì)應(yīng)用已知三角函數(shù)值求角的圖象的基本性質(zhì)的性質(zhì)在建立上述體系中不僅告訴我們本單元知識發(fā)生發(fā)展的過程及其邏輯結(jié)構(gòu)，更重要的是讓我們體會(huì)到：(1)正、余弦函數(shù)圖象是本單元的核心，只要掌握了正、余弦函數(shù)圖象的畫法、并畫出其圖象，正、余弦函數(shù)的性質(zhì)就一目了然，y=Asin(ωx+)圖象用換元的方法也就可以轉(zhuǎn)化為y=Asinx的圖象；根據(jù)y=sinx的基本性質(zhì)很容易討論y=Asin(ωx+)的性質(zhì)．這里體現(xiàn)了特殊與一般的關(guān)系．同時(shí)也告訴我們復(fù)雜的問題總是轉(zhuǎn)化為簡單的問題來研究，并獲得解決．這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)變式能力．(2)在由y=sinx的圖象轉(zhuǎn)化為y=Asin(ωx+)+K的圖象過程中反復(fù)，使用了由“數(shù)”“形”或由“形”“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，使我們由函數(shù)式y(tǒng)=Asin(ωx+)+K想到正弦曲線的圖形，由正弦曲線的圖形可以求出三角函數(shù)表達(dá)式．這是數(shù)形結(jié)合的典范．正余弦圖象和性質(zhì)概念辨析1．函數(shù)的增減性質(zhì)與圖像的升降形態(tài)是一個(gè)事物的兩種不同的表現(xiàn)形式，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，反映到圖像是上升的趨勢，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減時(shí)，反映到圖像是下降趨勢，“增”“減”用到函數(shù)上，“升”“降”用到圖像上．2．函數(shù)的單調(diào)性可以看作函數(shù)的“局部”性質(zhì)，它在定義域的某一個(gè)子區(qū)間上單調(diào)遞增（減），因此正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間有無數(shù)多個(gè)，可以簡寫為：，就是說，k每取一個(gè)整數(shù)值，就得到一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，而不能寫成：…，這里并集符號“”用錯(cuò)了．3．周期通常指最小正周期．4．并不是所有周期函數(shù)都有最小正周期（如＝1）．5．不只三角函數(shù)才是周期函數(shù)，如，（）也