江西省萍鄉(xiāng)市高三高考二模數(shù)學(xué)（文）試題

2022屆江西省萍鄉(xiāng)市高三高考二模數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知，，則（

）A．

B．

C．

D．【答案】C【分析】根據(jù)集合元素的形式可得關(guān)于的不等式，從而可求.【詳解】令，則，而，故，故，故選：C.2．已知復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位)，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的模公式求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，故選：D3．北京2022年冬奧會(huì)的成功舉辦，帶動(dòng)了我國(guó)冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，冰雪運(yùn)動(dòng)市場(chǎng)需求得到釋放．下圖是2012-2019年我國(guó)已投入運(yùn)營(yíng)的室內(nèi)滑雪場(chǎng)數(shù)量（家）與同比增長(zhǎng)率（與上一年相比）的統(tǒng)計(jì)情況，則下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．2012-2019年，我國(guó)室內(nèi)滑雪場(chǎng)的數(shù)量總體呈增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)B．2013-2019年，我國(guó)室內(nèi)滑雪場(chǎng)的增速逐漸加快C．2013-2019年，我國(guó)室內(nèi)滑雪場(chǎng)的增速在2017年觸底D．2013-2019年，我國(guó)室內(nèi)滑雪場(chǎng)的增速在2018年首次出現(xiàn)正增長(zhǎng)【答案】B【分析】根據(jù)圖表中的柱狀圖的高低變化和同比增長(zhǎng)率的曲線圖可得錯(cuò)誤的說(shuō)法.【詳解】圖表中的室內(nèi)滑雪場(chǎng)的數(shù)量的柱狀圖逐年升高，故總體呈增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)，故A正確.2013-2017年，我國(guó)室內(nèi)滑雪場(chǎng)的增速逐年降低，2018年，我國(guó)室內(nèi)滑雪場(chǎng)的增速有所提高，而2019年的增速有小幅回落.故B錯(cuò)誤，CD正確.故選：B.4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角的余弦公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，，，故選：A5．若函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，則(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】求f(x)導(dǎo)數(shù)，由題可知即可求a的取值．【詳解】∵，∴，若函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，則．故選：A．6．在中，為邊上的中線，在線段上，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算．【詳解】由題意，故選：B．7．如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為BC，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，E，F(xiàn)作一截面，該截面將正方體分成上下兩部分，則下部分幾何體的正視圖為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，可得截面為，得到幾何體，進(jìn)而得正視圖.【詳解】如圖由于，，由題意得此截面為，由圖可知正視圖應(yīng)為A選項(xiàng)，故選：A.8．已知橢圓，圓，若的重心在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先表示出的重心，代入橢圓可得出，即可求出離心率.【詳解】由題可得，則的重心為，將代入橢圓可得，即，即，則，所以.故選：A.9．已知圓，直線為繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的任一直線，則事件“直線與圓有公共點(diǎn)”發(fā)生的概率為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)出直線，利用圓心到直線位置關(guān)系，作圖，即可計(jì)算出所求概率【詳解】根據(jù)題意，直線為繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的任一直線，可設(shè)，設(shè)圓心到直線的距離為，所以，，若與圓相交或相切，則，化簡(jiǎn)得，，得，所以，，可以用原點(diǎn)為圓心，(半徑長(zhǎng)度可隨意取)，作圓，如圖，當(dāng)直線在陰影處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，當(dāng)直線在非陰影處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與圓有公共點(diǎn)，故事件“直線與圓有公共點(diǎn)”發(fā)生的概率故答案選：C10．已知函數(shù)，則的所有零點(diǎn)之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義求出零點(diǎn)后可得．【詳解】時(shí)，由得，時(shí)，由得或，所以四個(gè)零點(diǎn)和為．故選：D．11．已知四棱錐的底面四邊形是正方形，側(cè)棱平面，，且直線與平面所成的角的正切值為，則四棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直線與平面所成的角的正切值，求出的邊長(zhǎng)，進(jìn)一步利用體積公式求出答案.【詳解】設(shè)的邊長(zhǎng)為∵平面∴又∵，∴平面∴直線與平面所成的角即為角∴∴解得四棱錐的體積為.故選：C.12．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最小值為（

）A．

B．C．

D．【答案】B【分析】求出的范圍，把它作為整體，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值與最小值并分析它們的差最小時(shí)結(jié)論．【詳解】時(shí)，，令，，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上的最大值是，最小值是，由正弦函數(shù)性質(zhì)，的周期是，要使得最小，則的最大值或最小值點(diǎn)是區(qū)間的中點(diǎn)，由周期性，不妨取或，，或，時(shí)，，，，時(shí)，，，，故選：B．二、填空題13．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且，若非零正實(shí)數(shù)滿足，則的小值是_______．【答案】【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)，得到，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，得到，得到，利用基本不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，可得，由，可得，又因?yàn)?，可得，所以函?shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的小值是.故答案為：14．若實(shí)數(shù)、滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_(kāi)_______．【答案】【分析】作出可行域，平移直線，找出使得目標(biāo)函數(shù)在軸上截距最小時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)即可得解.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，平移直線，當(dāng)該直線經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，此時(shí)取最小值，即.故答案為：.15．中，角的對(duì)邊分別為，若，則________．【答案】【分析】由正弦定理化邊為角，然后由兩角差的正弦公式變形，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求得，再用余弦定理列方程解得．【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，，，，是三角形?nèi)角，，所以，所以，所以，由余弦定理得，解得（舍去），故答案為：．16．已知圓，對(duì)直線上一點(diǎn)，在圓上總存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【分析】在圓上，當(dāng)是圓切線時(shí)，取得最大值，由題意這個(gè)最大值不小于即滿足題意，利用圓心到點(diǎn)的距離與半徑的2倍比較可得．【詳解】由題意當(dāng)是圓切線時(shí)，取得最大值，而當(dāng)時(shí)，，所以由在圓上總存在點(diǎn)，使得，得，即，解得．故答案為：．三、解答題17．第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日至2月20日在北京舉行，組委會(huì)為普及冬奧知識(shí)，面向全市征召名志愿者成立冬奧知識(shí)宣傳小組，現(xiàn)把該小組成員按年齡分成這組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知年齡在內(nèi)的人數(shù)為．(1)求和的值，并估計(jì)該冬奧知識(shí)宣傳小組成員年齡的中位數(shù)（中位數(shù)精確到）；(2)若用分層抽樣的方法從年齡在內(nèi)的志愿者中抽取名參加某社區(qū)的宣傳活動(dòng)，再?gòu)倪@名志愿者中隨機(jī)抽取名志愿者去該社區(qū)的一所高中組織一次冬奧知識(shí)宣講，求這志愿者中至少有1人年齡在內(nèi)的概率．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先計(jì)算各組的頻率，再根據(jù)頻率和為1計(jì)算出的值，然后再根據(jù)段的人數(shù)和對(duì)應(yīng)的頻率計(jì)算出總?cè)藬?shù)；利用面積法求出中位數(shù)；（2）先計(jì)算出年齡在內(nèi)的志愿者人數(shù)；再求從這6名志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者的基本事件總數(shù)和至少有一名志愿者年齡在內(nèi)的事件數(shù)，代入古典概型概率計(jì)算公式，可得答案【詳解】(1)由頻率分布直方圖知：，解得…因?yàn)槟挲g在內(nèi)的人數(shù)為，所以設(shè)冬奧知識(shí)宣傳小組成員年齡的中位數(shù)的估計(jì)值為，則內(nèi)，且滿足，解得(2)由頻率分布直方圖知：小組成員年齡在的人數(shù)之比為，故抽取的6名志愿者中，在區(qū)間中分別抽取了人，人，人記中的名志愿者為，中的名志愿者為，中的名志愿者為，則從人中再隨機(jī)抽取人的所有可能有；共種，至少有1人年齡在內(nèi)的情形有種，故所求概率為18．如圖，一半圓的圓心為，是它的一條直徑，，延長(zhǎng)至，使得，設(shè)該半圓所在平面為，平面外有一點(diǎn)，滿足平面平面，且，該半圓上點(diǎn)滿足．(1)求證：平面平面；．(2)若線段與半圓交于，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，結(jié)合面面垂直得平面，進(jìn)而得，再結(jié)合勾股定理得，進(jìn)而證明平面即可證明結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)作于，則為的中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合體積公式求解即可.【詳解】(1)證明：連接，又平面平面，平面平面，平面，，∵，平面，又平面，，由平面平面，且平面平面，平面，又平面，∴平面平面.(2)解：過(guò)點(diǎn)作于，則為的中點(diǎn)，故在中：，即：又，19．已知數(shù)列中，，令．(1)計(jì)算的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系求出即可得出，再證明為等比數(shù)列即可求出通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法可求出.【詳解】(1)由得，又，，，由得，兩式相除可得，則，是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故；(2)由(1)知，則，，兩式相減得，故．20．已知．(1)若，求的極值；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)極大值為；無(wú)極小值.(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得極值；（2）由題知，進(jìn)而分和兩種情況討論求解即可.【詳解】(1)解：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減，的極大值為；無(wú)極小值；(2)解：，當(dāng)即時(shí)，遞增；，不合題意，（注：取其它使得的也可）．當(dāng)，即時(shí)，遞增；遞減，的最大值恒成立，令，所以，在遞增，且，，即21．已知拋物線，焦點(diǎn)為，過(guò)作動(dòng)直線交拋物線于兩點(diǎn)，過(guò)作拋物線的切線，過(guò)作直線的平行直線交軸于，設(shè)線段的垂直平分線為，直線的傾斜角為．已知當(dāng)時(shí)，．(1)求拋物線的方程；(2)證明：直線過(guò)軸上一定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，【分析】（1）法一：根據(jù)題意，易得直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，求得，代入求解；法二：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)作于，過(guò)作于，根據(jù)，結(jié)合拋物線的定義，得到，再由求解；（2）設(shè)的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，用導(dǎo)數(shù)法得到切線斜率，由，得到直線的斜率，進(jìn)而得到直線的方程，令，得到D的坐標(biāo)，進(jìn)而得到線段的垂直平分線的方程求解.【詳解】(1)解：法一：當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，又過(guò)焦點(diǎn)，故直線的方程為：，代入得：，為鈍角，，，代入，解得，拋物線的方程為法二：如圖：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)作于，過(guò)作于，為鈍角，在線段上，，又，，解得，拋物線的方程為；(2)直線與拋物線相交，的斜率存在，由（1）知，設(shè)的方程為，代入，得，，由，得，則，切線斜率，，直線斜率，又直線過(guò)直線的方程為：，令，得，，的中點(diǎn)，則線段的垂直平分線的斜率，（，否則為軸，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)），直線的方程為：，設(shè)與軸交于點(diǎn)，，直線過(guò)定點(diǎn)，命題得證．22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線的極坐標(biāo)方程；(2)若、是曲線上的兩點(diǎn)，且，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)，可得出曲線的普通方程，再利用直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得出曲線的極坐標(biāo)方程；（2）因?yàn)?，所以可設(shè)、，利用勾股定理可得出，然后利用三角恒等變換結(jié)合正弦型函數(shù)的有界性可求得的最小值.【詳解】(1)解：在曲線的參數(shù)方程中，可得，兩式相乘得普通方程為，故曲線的極坐標(biāo)方程為，即．(2)解：因?yàn)椋钥稍O(shè)、，所以，，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為.23．已知函數(shù)．(1)解不等式