函數(shù)單調(diào)性和最大值最小值

理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義．1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義(2)單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間．思考探究1：如果一個(gè)函數(shù)在定義域的幾個(gè)區(qū)間上都是增(減)函數(shù)，能不能說(shuō)這個(gè)函數(shù)在其定義域上是增(減)函數(shù)？思考探究2：函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值反映在其函數(shù)圖象上有什么特征？提示：函數(shù)單調(diào)性反映在圖象上是上升或下降的，而最大(小)值反映在圖象上為其最高(低)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值．2．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件①對(duì)于任意x∈I，都有__f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.①對(duì)于任意x∈I，都有__f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.結(jié)論M為最大值M為最小值解析：依題意可得函數(shù)應(yīng)在x∈(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故由選項(xiàng)可得A正確．答案：A4．(2010年廣東省深圳市聯(lián)考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(－x)＝－f(x＋4)，且x>2時(shí)，f(x)遞增，x1＋x2<4，(x1－2)(x2－2)<0，則f(x1)＋f(x2)的值是()A．恒為正數(shù)B．恒為負(fù)數(shù)C．等于0D．正、負(fù)都有可能解析：解法一：由(x1－2)(x2－2)<0，不妨設(shè)x1<x2，則x1<2<x2，又x2<4－x1,2<x2<4－x1，∴f(x1)＋f(x2)<f(x1)＋f(4－x1)＝f(x1)－f(x1)＝0.解法二：由f(－x)＝－f(x＋4)知f(x)關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對(duì)稱，又x>2時(shí)f(x)遞增，則f(x)在R上單調(diào)遞增，由x1＋x2<4得x1<4－x2，故f(x1)<f(4－x2)，由已知得f(4－x)＝－f(x)，∴f(x1)＋f(x2)<f(4－x2)＋f(x2)＝－f(x2)＋f(x2)＝0.答案：B考點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟1．取值：即設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1<x2.2．作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通過(guò)通分、配方、因式分解等方法，向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形．3．定號(hào)：根據(jù)給定的區(qū)間和x2－x1的符號(hào)，確定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符號(hào)．當(dāng)符號(hào)不確定，可以進(jìn)行分類討論．4．判斷：根據(jù)定義得出結(jié)論．考點(diǎn)尺二求函揪數(shù)的癢單調(diào)厲區(qū)間1．求逆函數(shù)紛的單躁調(diào)區(qū)蠢間(1桂)利用住已知傻函數(shù)材的單塘調(diào)性敬．(2妙)定義硬法：績(jī)先求鎮(zhèn)定義聯(lián)域，跑再利沾用單陽(yáng)調(diào)性剩定義章．(3銳)圖象盾法：閥如果f(x)是以既圖象裳給出患的，欣或者f(x)的圖象象易惠作出仗，可絮直接憂由圖塔象的屬直觀壘性寫(xiě)幫出它厚的單風(fēng)調(diào)區(qū)撿間．(4爆)導(dǎo)數(shù)愧法：獲利用窄導(dǎo)函地?cái)?shù)取譽(yù)值的煌正負(fù)雪確定源原函限數(shù)的爐單調(diào)鞋區(qū)間問(wèn)．2．求示復(fù)合杰函數(shù)y＝f[g(x)]的單陳調(diào)區(qū)掛間的閥步驟(1各)確定競(jìng)定義繳域．(2法)將復(fù)形合函脊數(shù)分草解成娘基本巧初等寸函數(shù)劍：y＝f(u)，u＝g(x)．(3智)分別喚確定烈這兩幟個(gè)函御數(shù)的胳單調(diào)申區(qū)間及．(4卻)若這允兩個(gè)粗函數(shù)匙同增郊或同共減，穴則y＝f[g(x)]為增趣函數(shù)重；若揀一增菌一減營(yíng)，則y＝f[g(x)]為減檔函數(shù)矛，即“同增猜異減”．考點(diǎn)霉三函數(shù)服的最外值求函見(jiàn)數(shù)最偵值(值域)常用撐的方貌法和防思路械：(1摸)單調(diào)贊性法婚：先牲定函撐數(shù)的追單調(diào)山性，曉再由綿單調(diào)辣性求土最值扭．(2抗)圖象向法：刺先作泰出函盞數(shù)在拳給定燦區(qū)間對(duì)上的釣圖象把，再突觀察趣其最躲高、幅最低姓點(diǎn)，末求出可最值扔．(3鮮)基本魄不等慣式法裙：先魄對(duì)解追析式剖變形銷，使役之具辜備“一正懷二定傷三相倦等”的條宴件后度用基齒本不棚等式資求出蝦最值瓣．(4押)導(dǎo)數(shù)治法：駛先求炎導(dǎo)，猶然后厘求在志給定寧區(qū)間甜上的墨極值鵝，最后后結(jié)楚合端略點(diǎn)值煮，求幕出最窮值．(5笨)換元柱法：暫對(duì)較殼復(fù)雜鑒的函灣數(shù)可忍通過(guò)漏換元盟轉(zhuǎn)化則為熟醬悉的軌函數(shù)絹，再縫用相右應(yīng)的夕方法茂求最污值．例4函數(shù)f(x)對(duì)任漸意的a、b∈R，都酒有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并腎且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>夏1.(1更)求證粗：f(x)是R上的色增函雜數(shù)；(2揮)若f(4漲)＝5，解緒不等椅式f(3m2－m－2)蕩<3餅.【分析】問(wèn)題(1展)是抽魔象函擠數(shù)單旅調(diào)性餅的證經(jīng)明，位所以子要用肉單調(diào)買性的罩定義村．問(wèn)題(2的)將函樹(shù)數(shù)不掙等式項(xiàng)中抽濤象的增函數(shù)逐符號(hào)“f”運(yùn)用踢單調(diào)封性“去掉”，為漠此需票將右晌邊常長(zhǎng)數(shù)3看成崖某個(gè)丙變量擊的函蘇數(shù)值惰．【解】(1墓)證明化：設(shè)x1，x2∈R，且x1<x2，則x2－x1>0，∴f(x2－x1)>猜1.f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>介0.∴f(x2)>f(x1)．即f(x)是R上的疑增函霞數(shù)．函數(shù)鋪的單竄調(diào)性樓是函肆數(shù)的傷一個(gè)慕重要蚊性質(zhì)杏，是蓄高考探的熱謀點(diǎn)，征常見(jiàn)脂問(wèn)題殘有求膝單調(diào)瞧區(qū)間澆，判將斷函繩數(shù)的惡?jiǎn)握{(diào)齊性，碗利用蘋(píng)函數(shù)渴單調(diào)襲性比慶較數(shù)胡的大城?。舆|寧歸卷、掛陜西牽卷都機(jī)涉及毯到利蘿用函棄數(shù)單款調(diào)性辛解決塊數(shù)的辜大小疑問(wèn)題蛇．(2堅(jiān)01拐0年廣既東高匠考)已知室函數(shù)f(x)對(duì)任息意實(shí)秩數(shù)x均有f(x)＝kf(x＋2)，其老中常顧數(shù)k為負(fù)棉數(shù)，淘且f(x)在區(qū)脅間[0加,2做]上有轉(zhuǎn)表達(dá)影式f(x)＝x(x－2)．(1店)求f(－1)，f(