九年級(jí)二次函數(shù)培優(yōu)競(jìng)賽試題及答案01

九年級(jí)二次函培優(yōu)競(jìng)賽試題及答案1在如圖的直坐標(biāo)系，已知點(diǎn)A(2,0)、B(0－4)，將線段AB繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)叫D(zhuǎn)90°至AC．(1)點(diǎn)C的標(biāo)；1(2)拋物線－x＋ax＋4過(guò)點(diǎn)4①求拋線的解析式②在拋線上是否存點(diǎn)點(diǎn)C除)△以AB為角邊的等腰角三角形存在，出所有的坐標(biāo)；不存在請(qǐng)說(shuō)明理由

2如圖已知直線y=x+3與x交于點(diǎn)A與軸交于點(diǎn)B拋物線

+bx+c經(jīng)過(guò)、B點(diǎn)，與x軸于另一個(gè)點(diǎn)C對(duì)稱軸與線于點(diǎn)拋物線點(diǎn)為）求拋物線解析式；）在第三象內(nèi)，拋物線一點(diǎn)，以A、E為頂點(diǎn)的角形面為3，求點(diǎn)坐標(biāo)；）點(diǎn)P從發(fā)，沿對(duì)軸向下每秒個(gè)單位度的度勻速動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的間為t秒，t為何值時(shí)以P、B、C為頂點(diǎn)三角形是直三角形直接寫(xiě)所有符合條的t值．

1.解析】試題分（1過(guò)點(diǎn)作CD直于軸，由線段AB繞按逆針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°至AC，根據(jù)旋的旋轉(zhuǎn)到AB=AC且∠BAC為直角可得∠CAD互余，∠AOB為直，可得OAB與∠余，根據(jù)同的余相等可一對(duì)角相，再加上一直角相，利用ASA證明三角ACD與三角形等，根全等三角形對(duì)應(yīng)邊等可得，CD=OA，由AB的坐標(biāo)及位特點(diǎn)求及的，可得OD及的長(zhǎng)，根C在第四象限出C坐標(biāo)；）①由已知拋物線經(jīng)過(guò)C，把一問(wèn)求C的坐代入拋線解析式，列出關(guān)a的方程，出方程的解到a值，確出拋物線的析式；②假設(shè)在點(diǎn)P使△是以AB直角邊等腰直角三形分三種況考慮：）A為角頂點(diǎn)過(guò)A作直于AB，AP，過(guò)PP垂直于軸，1111如圖所，根據(jù)一對(duì)頂角相，一對(duì)直角等，AB=AP，用AAS證明三1形與三角ACD全等，得AP與P的長(zhǎng)，再由為二象限的點(diǎn)得出1111此時(shí)坐標(biāo)，代拋物線析式中檢驗(yàn)足（ii當(dāng)B為直角頂點(diǎn)，B1BP直于且BP=BA，過(guò)PP垂直于y軸，如所示，理證明三角2222BP三角形AOB全等，得P與BN長(zhǎng)，由第三象的點(diǎn)，寫(xiě)出2222坐標(biāo)，入拋物線解式中檢滿足（iii）B為直角點(diǎn)，過(guò)B直3于且BP=BA，如圖所，過(guò)P作P垂直y軸，同理可明三角形PBH3333全等于角形，可得出H與BH的長(zhǎng)，由P為第四象限點(diǎn)，寫(xiě)出P坐333標(biāo)，代拋物線解析檢驗(yàn)，滿足，綜上得到所滿足題意的P坐標(biāo)．試題解（1過(guò)C作，垂足為D，∴∠CAD=90°，又∠AOB=90°∴∠OBA=90°，∴，又，又A（1，B（0，﹣2，∴OA=CD=1，OB=AD=2∴OD=OA+AD=3，C為四象限點(diǎn)，的坐標(biāo)為3，﹣11）①∵拋物y=x2+ax+2過(guò)點(diǎn)且，291∴把坐標(biāo)代得：﹣1=﹣+3a+2，解得a=，2211則拋物的解析式為x2x+2；22②存在P，△ABP是以為直邊的等腰直三角形）若以AB直角邊，點(diǎn)A直角頂點(diǎn)

112233112233則延長(zhǎng)點(diǎn)P得P，得到腰直角角形，過(guò)點(diǎn)M，11111如圖所，MA=∠CDA=90°，11∴eq\o\ac(△,1)AMP≌△ADC，1∴AM=AD=2，111（，檢驗(yàn)點(diǎn)P在拋物y=﹣x2+x+2上；22若以直角邊，直角頂點(diǎn)則過(guò)點(diǎn)B作，且使得22得到等直角三角形過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸，如圖，222同理可△BPN2，BN=OA=1，211（﹣1，經(jīng)檢（﹣2，）也在物線y=x2x+2上22若以AB為直角點(diǎn)為直角頂點(diǎn)過(guò)點(diǎn)B作且使得BP=AB，33得到等直角三角形過(guò)點(diǎn)P作PH⊥y軸，如圖，333同理可△BPH3，BH=OA=1，311，，檢驗(yàn)，）不在物線x2+x+2上22則符合件的點(diǎn)有P（（，兩點(diǎn)．12考點(diǎn)：二次函數(shù)綜題的坐標(biāo)3.等腰直角角形．

2.答案（1）y=-x

2

-2x+3（2

321321，22

4）（3當(dāng)秒3或秒或或秒時(shí)，P、B為頂點(diǎn)三角形是直三角形3【解析試題分（1先由直線解析式為y=x+3，出它與x軸的交、與軸的交B的坐標(biāo)，將A、B兩點(diǎn)的坐代入y=-x可求出物線的解析；

2

+bx+c運(yùn)用待定數(shù)法即）設(shè)第三象內(nèi)的點(diǎn)F坐標(biāo)為m，-m

2

-2m+3，用配方求出物線的對(duì)稱軸頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，再設(shè)物線的對(duì)稱與x交于點(diǎn)G連接，根據(jù)S=S+S-S=3列出關(guān)的程，解方程出的值，進(jìn)得出點(diǎn)FAEFAEG△AFG△EFG坐；）設(shè)P點(diǎn)坐為（，n．由B、C點(diǎn)坐標(biāo)運(yùn)用勾定理求出BC

2

=10，再分三情況進(jìn)行討：①∠PBC=90°，先由股定理出PB

2

+BC

2

=PC

2

，據(jù)此列出關(guān)n的方程，求出n值，再算出的度，然后根時(shí)間=路程÷速度，可求出此時(shí)應(yīng)的t值；②∠BPC=90°同①可出對(duì)應(yīng)的值；③∠BCP=90°同①可求出應(yīng)的t值．試題解（1與交于點(diǎn)A，與y軸交于B，∴當(dāng)時(shí)，x=-3即A點(diǎn)坐標(biāo)為-3，0當(dāng)，即B點(diǎn)坐標(biāo)（0，3，將，B（0，3）入2，解得，3∴拋物的解析式為-2x+3）如圖1

2

+bx+c，得設(shè)第三限內(nèi)的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m2-2m+3，2-2m+3

2

-2x+3=-2

+4∴對(duì)稱為直線x=-1，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4設(shè)拋物的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)G，連接FG，則，AG=2．∵直線解析式，

△AEF△AEG△AFG△EFG1△AEF△AEG△AFG△EFG1∴當(dāng)時(shí)y=-1+3=2，點(diǎn)坐標(biāo)為-1，2．1=S+S-S=×2×2+×2×（m2+2m-3）-×2×（-1-m）=m2+3m2∴以為頂點(diǎn)的角形面為3時(shí)，2+3m=3解得：

3212

，

3212

（舍去當(dāng)m

3212

時(shí)，-m

2

-2m+3=-m

2

-3m+m+3=-3+m+3=m=

3212

，∴點(diǎn)坐標(biāo)為（

321321，22

）設(shè)坐標(biāo)為（-1，n，3，C（1，022+3=10．分三種況：①如圖，如∠PBC=90°，那么PB

2

+BC

2

=PC

2

，即（

+2

+10=2

+2

，8化簡(jiǎn)整得6n=16，解得，38點(diǎn)坐標(biāo)為-13∵頂點(diǎn)D坐標(biāo)為-1，484=，33∵點(diǎn)速度為秒1個(gè)單長(zhǎng)度，4=；3②如圖3，如果BPC=90°，么

2

+PC

2

=BC

2

，

即（

+2

+2

+（n-02

=10，化簡(jiǎn)整得n

2

-3n+2=0解得n=21點(diǎn)坐標(biāo)為-1，2）（-1∵頂點(diǎn)D坐標(biāo)為-1，4∴PD=4-2=2PD=4-1=3∵點(diǎn)速度為秒1個(gè)單長(zhǎng)度，=2，t=3；23③如圖4，如果BC