2022年高考數(shù)學（文）全真模擬卷9（全國卷）（解析版）

備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學（文）【名校地市好題必刷】全真模擬卷（全國卷專

用）

第九模擬

（本卷共22小題，滿分150分，考試用時120分鐘）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目

要求的）

1.（2022?安徽宣城?高三期末（文））已知集合P={x]?V2},Q=,=則?Q=（）

A.[-1,2]B.[0,2]C.[-1,4]D.[0,4]

【答案】B

【解析】

\[x<2=>0<x<2=>P=[0,2],

《4x43=log|xe[-l,2]=>P=[-l,2],

95

所以22=[0,2].

故選：B

2.（2022.江西上饒.一模（文））已知復數(shù)z=2-2i,I是z的共輾復數(shù)，則zi=（）

A.2及B.8C.4+4iD.4-4i

【答案】B

【解析】

z=2—2i,z=2+2i，

.-.z-z=（2-2i）（2+2i）=4-4i2=4+4=8.

故選：B

3.（2022?陜西寶雞?一模（文））下邊程序框圖的算法思想源于數(shù)學名著《幾何原本》中的“輾轉相除法”，執(zhí)

行該程序框圖（圖中'表示團除以〃的余數(shù)），若輸入的加，〃分別為297,57,則輸出的根=（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】A

【解析】

模擬程序的運行，可得，"=297,”=57,

第一次執(zhí)行循環(huán)體，r=12,機=57,”=12,不滿足退出循環(huán)的條件，

第二次執(zhí)行循環(huán)體，r=9,機=12,〃=9,不滿足退出循環(huán)的條件，

第三次執(zhí)行循環(huán)體，r=3,m=9,n=3,不滿足退出循環(huán)的條件，

第四次執(zhí)行循環(huán)體，r=0,〃?=3,”=0,滿足退出循環(huán)的條件，輸出機=3,

所以輸出的用二3

故選：A

4.（2022.陜西?西北工業(yè)大學附屬中學高三階段練習（文））已知角。的頂點為坐標原點，始邊為工軸正半軸,

終邊落在直線y=上，則cos（］+2c）的值為（）

【答案】B

【解析】

由已知角a終邊落在直線y=后上，在直線y=yfix上任取一點（天,％）

故tana=&=6,

2sinacosa2tana_2G_百

sin2a+cos2atan2a+13+12

故選：B.

5.(2022?甘肅?西北師大附中高三階段練習(文))如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為％,出，…，陽.設

14i</<k412.若k-/=3且/-i=4,則稱4,。八七為原位大三和弦；若《7=4且=3,則稱生，％,

處為原位小三和弦.用這12個鍵可以構成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為()

【答案】C

【解析】

原位大三和弦：i+4=/,j+3=/,則i+7=3所以i可取123,4,5,共5種.

原位小三和弦：，?+3=/,/+4=4，則i+7=M所以i可取123,4,5,共5種.

所以可以構成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為10.

故選：C

6.(2022?安徽省蕪湖市教育局高三期末(文))已知函數(shù)/(x)=e，-ej,則下列說法正確的是()

A.f(x)關于直線x=-l對稱B.f(x)關于點(1,0)對稱

C.f(x)關于點(-1,0)對稱D./(*)關于直線x=l對稱

【答案】B

【解析】

???/(x)=e'-e2-\

/.f(2-x)=e2-x-e*,/(-2-x)=2T-e"*,

/(-2-x)=e-2T-e4+v*f(x)=e'-e』，故A錯誤；

f(2—x)=e?T—e'=—(e,-e2-、)=-/(x),故B正確；

f(-2~x)=e-2-v-e4+t?/(x)=-(e'-e2-1),故C錯誤；

f(2-x)=e2"x-e,h/(x)=et-e2-t,故D錯誤.

故選：B.

7.(2022?河南洛陽?一模(文))已知函數(shù)/(x)=sin,x+與)在卜應句上的圖象如圖所示，現(xiàn)將其圖象上

所有點的橫坐標縮短為原來的g倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）=（

【答案】A

【解析】

根據(jù)變換可得8(-/)=0，

(24)24

對A,sin3x1-—l+y=sinO=O,故A符合;

/

酎

3至

f

對7T

B-Xi-一+

4x93=sin-^O,故B不符合;

/

至

3空

■/

對C-XTT

|-+

2\93=sin-^O,故C不符合;

_.8f2TT.27r..Li人

對D,sin-xll+—=sin萬.0,故D不符合.

故只有A正確；

故選：A.

8.（2022?山西?懷仁市第一中學校高三期末（文））祖曬（公元5-6世紀，祖沖之之子），是我國齊梁時代的

數(shù)學家，他提出了一條原理：”累勢既同，則積不容異.”這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高

處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.如圖將底面直徑皆為3，高皆為〃的橢半球體和已

被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面夕上，用平行于平面夕且與夕距離為d的平面截兩個幾何體得到

S畫及S環(huán)兩截面，可以證明為=S環(huán)總成立.據(jù)此，短軸AB長為3cm,長半軸為2cm的橢半球體的體積

是（）

A.3^-cm3B.—TTcmC.6^-cm3D.7^cm3

【答案】A

【解析】

山題意可知，短軸48長為女m,長半軸CO為2cm的橢半球體的體積為：

"=；%球=%柱-%雎=萬］|），2一卜｛I）-2=3^-（cm,）.

故選：A.

22

9.（2022?陜西寶雞?一模（文））已知產”是雙曲線*■-方=15>0力>0）的左、右焦點，過《的直線/與

雙曲線的左支交于點A,與右支交于點B,若|A用=2"，且|A同=|4閭，則雙曲線的離心率為（）

A.與B.幣C.右D.|

【答案】B

【解析】

因為|A制=2a,|A用一4用=2a,

所以|A用=4”,

因為|AB|=|A同

所以|陰=|/閭=4,則忸耳|=6a,

因為忸制-忸用=2a,所以忸用=4a,

所以|陰=|你|=|%|=4o,所以&A明為等邊三角形，則4A4=120。,

在aKAg中，由余弦定理得

所「+|4月2-|耳用2

COSFAF=

}221A用函

1_4a2+16a2-4c2

，得C2=7〃2,

22?2〃?4。

所以c=\[la,

所以離心率e=￡=近，

a

故選：B

10.（2022?湖北襄陽?高三期末）在.ABC中，AC=20,BC=4,則角B的最大值為（）

71—^71'兀

A.-B.—C.-D.-

4326

【答案】A

【解析】

1-11八.Zva-p/'?tin—r〃曰+BC2-AC~X2+8X1*lx_Fy/2

設A8=x,則％>0,由余弦定理可得cos8=----------------------=--------=-+->2J——=—,

2ABBC8x8xV8x2

當且僅當x=2&時，等號成立，因為0<8〈萬，則0<B4f.

故選：A.

11.（2022?江西上饒?一模（文））已知菱形A8CO中，滿足A3=8,ABAC=32,若點G在線段BO上,

則G4G8的最小值是（）

A.-12B.2C.0D.-4

【答案】A

【解析】

因為AB=8,A8-AC=\AB\-\AC\COSZBAC=32,即8xbc|cosN8AC=32,

|AC|cosZBAC=4,

連接AC交30于0,則。為AC,8D的中點，

|AC|=2|AO|,

所以21Aoi9（?/朋。=4=|4@<05/朋0=2,①

又在用ABO'V,|AO|=|AB|cosZS4O,②

由①②可得，cosNBAO=g,所以/84。=60。，即。ABC為等邊三角形，

以。為坐標原點，BD,AC所在的直線為x軸，V軸建立平面直角坐標系,

故A（0,4）,B（-460）,

設G（x,0）,故GA=（-x,4）,GB=（4^-x,0）,

所以GA-GB=（-x,4>（4#-x,0）=—（4石-X）X=-46X+/=（尤-2有『-12,

所以當x=2百時，G4GB有最小值為-12.

故選：A.

12.（2022?內蒙古通遼?高三期末（文））一48。的內角4,8,t7的對邊分別為4,6,0,若,2+68524=2反《?4,

則ABC為（）

A.等腰非等邊三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等邊三角形

【答案】B

【解析】

由c2+（/?cosA）2-2cbcosA=0,可得（c—bcos4y=0,所以c=￡>cosA,

所以sinC=cosyAsinB.

在AABC中,sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,故sinAcosB=0，

TT

因為sinAwO,所以cosB=0,因為0<5<兀，所以8=/,

故，ABC為直角三角形.

故選：B

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.（2022.安徽蚌埠.高三期末（文））設拋物線>2=2px（p>0）上一點P（2,〃?）到y(tǒng)軸的距離是到焦點距離的

一半，則拋物線的標準方程為

【答案】V=8x

【解析】

由題意可得2+5=2X2,解得P=4,故該拋物線的標準方程為V=8x.

故答案為：y?=8x.

14.（2022.全國?高三專題練習）隨機變量^的分布列如下：

0-101

Pabc

其中a,h,c成等差數(shù)列，則P（?=1）=,公差d的取值范圍是.

2「1廠

［答案］—

【解析】

因為4,。,，成等差數(shù)列，所以2A=〃+c,

又由分布列的性質，可得a+b+c=l,所以6=g,

2

所以尸的=l）=a+c=§,

121211

根據(jù)分布列的性質，可得且+

即公差d的取值范圍是［-；，g.

2r11

故答案為：j；.

15.（2022?江蘇宿遷?高三期末）已知一個棱長為。的正方體木塊可以在一個圓錐形容器內任意轉動，若圓錐

的底面半徑為2,母線長為4,則。的最大值為.

4

【答案】-##

【解析】

正方體木塊可以在一個圓錐形容器內任意轉動，則當正方體棱長“最大時，正方體的外接球恰為圓錐的內

切球，

底面半徑為2,母線長為4的圓錐軸截面正aSAB的內切圓。是該圓錐內切球。截面大圓，如圖，

于是得球。的內接正方體棱長a有：怎=2R=迪，解得：。=

33

所以。的最大值為:4.

故答案為：!4

16.（2022?安徽蚌埠?高三期末（文））已知定義域為R的函數(shù).f（x）的圖象關于），軸對稱，且滿足

/（3-x）-/（-x）=0.若曲線產/（力在（6,2）處切線的斜率為4,則曲線產/（力在點（2022,〃2022））處

的切線方程為.

【答案】y=4x-8086

【解析】

因為/（3-x）=/（r）,且函數(shù)“可是R上的偶函數(shù)，則〃x-3）=f（r）,

故函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為3,

則/'（*）=，'（*-3）,故函數(shù)尸（x）也為周期函數(shù)，且周期為3,

由已知可得7（2022）=/（336x6+6）=/（6）=2,/'（2022）=/'（336x6+6）=_f（6）=4,

因此，曲線y=〃x）在點（2022,〃2022））處的切線方程為y-2=4（x-2022）,即y=4x-8086.

故答案為：y=4x-8086.

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（2022.陜西寶雞?一模（文））已知｛4｝是等差數(shù)列，4+?2+6=12，。4=8,

（1）求｛q｝的通項公式;

（2）若對于任意"eN+，點A,（a“也）都在曲線y=2'上，過4作x軸的垂線，垂足為紇，記△OA,瓦的面

積為S,，求數(shù)列｛S“｝的前〃項和卻

【解析】

(1)由q+4+%=12得3。2=12=>g=4，

%二8

.d-2%=2,4=2

圖=2+2(〃-1)=2〃.

(2)?「點4(%也)都在曲線y=2、上，

h=22"=4",S=-x2/?x4n=n-4n.

2

7；,=1X4,+2X42+3X45++(W-1)-4"T+〃.4"①.

47；,=1X42+2X43+3X44++(n-1)-4n+n-4n+l(2).

①減去②得一3騫=1x4,+1x4?+1x43++4n-n-4n+l.

4x(l-￡)_n.

"1-4

18.（2022?安徽黃山?一模（文））某網絡營銷部門隨機抽查了某市200名網友在2021年11月11日的網購

金額，所得數(shù)據(jù)如下表:

網購金額合計（單位：千元）人數(shù)頻率

(0』160.08

。，2]240.12

僅3]XP

(3,4]yq

（4，句160.08

（5，可140.07

合計2001.00

已知網購金額不超過3千元與超過3千元的人數(shù)比恰為3：2.

（1）試確定x,y,p,q的值，并補全頻率分布直方圖（如圖）;

（2）估計網購金額的中位數(shù)；

（3）在一次網購中，嘉嘉和琪琪隨機從“微信，支付寶，銀行卡”三種支付方式中任選種方式進行支付，求

兩人恰好選擇同一種支付方式的概率.

【解析】

16+24+x+y+16+14=200,

x=80

（1）解：根據(jù)題意有，16+24+x一3,解得

y=50'

y+16+14

所以p=0.4,q=0.25,

補全頻率分布直方圖如圖所示.

o123456網購金額/千元

（2）解：由（1）可知，網購金額不高于3千元的頻率為0.08+0.12+0.4=0.6,

所以網購金額的中位數(shù)在（2,3］內，故網購金額的中位數(shù)約為3=2.75千元.

0.4

（3）

解：設“微信，支付寶，銀行卡”三種支付方式分別為則兩人從中任選一種支付方式共有9種等可能

的結果，即A4,AB,AC,BB,BA,BC,CA,CB,CC,其中兩人恰好選擇同一種支付方式的有3種，

31

兩人恰好選擇同一種支付方式的概率為1=§.

19.（2022?陜西?高新一中高三階段練習（文））如圖，三棱錐P-ABO,Q-BCD均為底面邊長為26、側

棱長為勺叵的正棱錐，且A、民C、。四點共面（點P,。在平面ABC。的同側），AC,8。交于點O.

3

（1）證明：平面PQOJ?平面A8CO；

（2）求三棱錐P-Q8C的體積.

【解析】

（I）因為PB=PD,。為8。的中點，所以POJ_3￡）,同理可得

又由「。OQ=O,20,。。匚平面產。。，所以8。，平面POQ.

又因為BDu平面ABC7）,所以平面P3,平面ABCD

pQ

B

（2）如圖所示，分別過P,。作平面的垂線，垂足分別為。I，。2,則。一。2在AC上，且。1,。2分別

為AO.OC的三等分點，

且尸O4QO”PO}=QO2,POJOQ,所以四邊形P。。?。為矩形，

所以PQ〃AC,且PQ=?。,=2X1AO=2AO=2X且X2G=2,

3332

所以POi="A"-AO：=J4尸-=J拽-4=友，

由（1）得平面POQJ?平面ABC。,

而平面POQ平面ABC￡)=AC,BOA.AC,所以8O_L平面PQC,

11111Q介)

則%-婀=%-2C=-SPQCBO=-X-PQ.PO1BO=-X-X2X^X^3=-,

2

三棱錐P-Q8C的體積為

20.（2022?安徽蚌埠?高三期末（文））“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術活動，在我國

源遠流長，某些折紙活動蘊含豐富的數(shù)學內容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如下圖1）

步驟1：設圓心是E,在圓內異于圓心處取一點，標記為F；

步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點尸；

步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；

步驟4：不停重復步驟2和3,就能得到越來越多的折痕（如圖2）.

己知這些折痕所圍成的圖形是一個橢圓.若取半徑為4的圓形紙片，設定點尸到圓心E的距離為2,按上

述方法折紙.

（1）以點F,E所在的直線為x軸，線段EF的中垂線為y軸，建立坐標系，求折痕所圍成的橢圓C（即圖

1中加點的軌跡）的標準方程.

(2)如圖3,若直線加y=-；x+s(s>0)與橢圓C相切于點P,斜率為g的直線〃與橢圓C分別交于點

A,B(異于點P),與直線機交于點。.證明：|AQ|,|P9,忸。成等比數(shù)列.

【解析】

(I)如圖，以正所在的直線為x軸，莊的中點。為原點建立平面直角坐標系.

設M(x,y)為橢圓上一點，由題意可知+|ME|=|A目=4>\EF\=2,

所以M點軌跡是以F,E為左右焦點，長軸長2a=4的橢圓,

因為2c=2,2。=4,所以c=l,。=2,貝02=3,

?>2

所以橢圓的標準方程為三+匕=1；

43

依題意A=$2-412-3)=。，又s>0,解得s=2.

故直線的方程為x+2y-4=0,且小g

設直線〃的方程為y=gx+r,則x°=2-r,且則fwi,

xA+xB=-t

0,所以

XAXB=廣-3

=*Q0.

\AQ\-\BQ\=

=褐-(%2-3

=2r+l)=jl)2>0

即|PQ[2=|AQHBQ|,且各項均不為零，故|A@,|P。，怛。|成等比數(shù)列.

21.(2022?陜西寶雞?一模(文))已知函數(shù)〃x)=(x-")lnx+x2

(1)當a=2時，求函數(shù).f(x)在區(qū)間口，e]上最大值和最小值；

(2)令屋力=〃“_/+》，當函數(shù)g(x)恰有兩個極值點時，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】

(1)因為/(x)=(x-a)lnx+x2,所以廣(x)=inx+(l-2)+2x

當a=2時，r(x)=lnx+(l-：)+2x,

因為xw[l,e],所以/'(x)=lnx+(l-2)+2x2lnl+(l-2)+2=1>0,

所以f(x)=(x-a)lnx+"在[1,e]上單調遞增,

/Wmin=/(l)=(l-2)lnl+l2=1,/(x)^=/(e)=(e-2)lne+e2=e2+e-2

(2)g(x)=/(x)-x2+x=(x-a)lnx+x,貝！]g，(x)=lnx，+2

由于函數(shù)g(x)恰有兩個極值點，所以g'(x)=lnx-/+2在(0,+。。)上有兩個零點，

且g'(x)在兩個零點的附近變號.

設S(x)=lnx一0+2,則￡(x)=^^,

當aNO時，S'(x)>0,故S(x)在(0,田)上單調遞增，

S(x)在(0,?)上至多一個零點，與題設矛盾，故舍.

當a<0時，

若xe(O,-a),貝i]S[x)<0；若xw(-a,4w),則S'(x)>0,

故S(x)在(0,-a)上為減函數(shù)，在(-&+<?)為增函數(shù)，

所以SGL=S(-?)=In(-")+3,

因為S(x)在(0,一)上有兩個不同的零點，故S⑴.<0即一曉<?<0.

當一已一3<"0時，0<-?<e3<1,故S（l）=2-a>0,

而0</<_&<e_3,S（/）=ln〃2--+2=21n（-^）+—^-+2,

a1一aj

令U（x）=21nx+—+2,0<x<e!,

則ir（x）=q=<0,故U（x）在（0?3）卜.為減函數(shù),

故0（工）>0（6-3）=