2024屆云南省綠春縣一中數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題含解析

2024屆云南省綠春縣一中數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某大學(xué)數(shù)學(xué)系共有本科生1500人，其中一、二、三、四年級的人數(shù)比為，要用分層隨機抽樣的方法從中抽取一個容量為300的樣本，則應(yīng)抽取的三年級學(xué)生的人數(shù)為（）A.20 B.40C.60 D.802．設(shè)等差數(shù)列前n項和是，若，則的通項公式可以是（）A. B.C. D.3．已知圓與圓外切，則（）A. B.C. D.4．有下列三個命題:①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題;②“若，則”的逆否命題;③“若，則”的否命題.其中真命題的個數(shù)是A.0 B.1C.2 D.35．在等差數(shù)列{an}中，a1=1，，則a7=（）A.13 B.14C.15 D.166．設(shè)雙曲線C：的左、右焦點分別為，點P在雙曲線C上，若線段的中點在y軸上，且為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（）A B.2C. D.7．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點P為橢圓與雙曲線的交點，且，則當(dāng)取最大值時的值為（）A. B.C. D.8．過拋物線的焦點的直線交拋物線于不同的兩點，則的值為A.2 B.1C. D.49．已知橢圓的左右焦點分別為，，過C上的P作y軸的垂線，垂足為Q，若四邊形是菱形，則C的離心率為（）A. B.C. D.10．雙曲線的焦點坐標(biāo)為（）A. B.C. D.11．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則（）A. B.C. D.12．下列關(guān)于函數(shù)及其圖象的說法正確的是（）A.B.最小正周期為C.函數(shù)圖象的對稱中心為點D.函數(shù)圖象的對稱軸方程為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，且，則的最小值為____________14．已知數(shù)列的前項和則____________________15．已知是雙曲線上的一點，是上的兩個焦點，若，則的取值范圍是_______________16．經(jīng)過點作直線，直線與連接兩點線段總有公共點，則直線的斜率的取值范圍是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在幾何體中，底面是邊長為2的正三角形，平面，，且是的中點.（1）求證:平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知橢圓，離心率為，短半軸長為1（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線，問：在橢圓C上是否存在點T，使得點T到直線l的距離最大？若存在，請求出這個最大距離；若不存在，請說明理由19．（12分）已知梯形如圖甲所示，其中，，，四邊形是邊長為1正方形，沿將四邊形折起，使得平面平面，得到如圖乙所示的幾何體（1）求證：平面；（2）若點在線段上，且與平面所成角的正弦值為，求線段的長度.20．（12分）已知函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的最大值與最小值21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，若方程的兩根為，且，當(dāng)時，不等式對任意的恒成立，求正實數(shù)的最小值.22．（10分）如圖，在直三棱柱中，，，與交于點，為的中點，（1）求證：平面；（2）求證：平面平面

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】根據(jù)給定條件利用分層抽樣的抽樣比直接計算作答.【題目詳解】依題意，三年級學(xué)生的總?cè)藬?shù)為，從1500人中用分層隨機抽樣抽取容量為300的樣本的抽樣比為，所以應(yīng)抽取的三年級學(xué)生的人數(shù)為.故選：C2、D【解題分析】根據(jù)題意可得公差的范圍，再逐一分析各個選項即可得出答案.【題目詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，所以，故AB錯誤；若，則，與題意矛盾，故C錯誤；若，則，符合題意.故選：D.3、D【解題分析】根據(jù)兩圓外切關(guān)系，圓心距離等于半徑的和列方程求參數(shù).【題目詳解】由題設(shè)，兩圓圓心分別為、，半徑分別為1、r，∴由外切關(guān)系知：，可得.故選：D.4、B【解題分析】①寫出命題的逆命題，可以進行判斷為真命題；②原命題和逆否命題真假性相同，而通過舉例得到原命題為假，故逆否命題也為假；③寫出命題的否命題，通過舉出反例得到否命題為假【題目詳解】①“若,則互為相反數(shù)”的逆命題是，若互為相反數(shù),則；是真命題；②“若,則”，當(dāng)a=-1,b=-2,時不滿足，故原命題為假命題，而原命題和逆否命題真假性相同，故得到命題為假；③“若,則”的否命題是若,則，舉例當(dāng)x=5時，不滿足不等式，故得到否命題是假命題；故答案為B.【題目點撥】這個題目考查了命題真假的判斷，涉及命題的否定，命題的否命題，逆否命題，逆命題的相關(guān)概念，注意原命題和逆否命題的真假性相同，故需要判斷逆否命題的真假時，只需要判斷原命題的真假5、A【解題分析】利用等差數(shù)列的基本量，即可求解.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，解得：，則.故選：A6、A【解題分析】根據(jù)是等腰直角三角形，再表示出的長，利用三角形的幾何性質(zhì)即可求得答案.【題目詳解】線段的中點在y軸上,設(shè)的中點為M，因為O為的中點，所以,而,則，為等腰三角形，故，由，得，又為等腰直角三角形，故，即，解得，即，故選：A.7、D【解題分析】由橢圓的定義及雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得，，的關(guān)系，由此可得，再利用重要不等式求最值，并求此時的的值.【題目詳解】設(shè)為第一象限的交點，、，則、，解得、，在中，由余弦定理得：，∴，∴，∴，∴，∴，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，此時故選：D8、D【解題分析】本題首先可以通過直線交拋物線于不同的兩點確定直線的斜率存在，然后設(shè)出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立，求出以及的值，然后通過拋物線的定義將化簡，最后得出結(jié)果【題目詳解】因為直線交拋物線于不同的兩點，所以直線的斜率存在，設(shè)過拋物線的焦點的直線方程為，由可得，，因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以根據(jù)拋物線的定義可知，，所以，綜上所述，故選D【題目點撥】本題考查了拋物線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了拋物線的定義、過拋物線焦點的直線與拋物線相交的相關(guān)性質(zhì)，考查了計算能力，是中檔題9、C【解題分析】根據(jù)題意求出P點坐標(biāo)，代入橢圓方程中，可整理得到關(guān)于a,c的等式，進一步整理為關(guān)于e的方程，解得答案.【題目詳解】如圖示：由題意可知，因為四邊形是菱形，所以，則，所以P點坐標(biāo)為，將P點坐標(biāo)為代入得：，整理得，故，由于，解得，所以，故選：C.10、C【解題分析】把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，直接寫出焦點坐標(biāo).【題目詳解】，焦點在軸上，，故焦點坐標(biāo)為.故選：C.11、C【解題分析】利用已知條件求得，由此求得.【題目詳解】依題意，解得，所以.故選：C【題目點撥】本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】化簡，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)，依次判斷，即可【題目詳解】∵∴，A選項錯誤；的最小正周期為，B選項錯誤；令，則，故函數(shù)圖象的對稱中心為點，C選項錯誤；令，則，所以函數(shù)圖象的對稱軸方程為，D選項正確故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、16【解題分析】根據(jù)，且，利用“1”的代換將，轉(zhuǎn)化為，再利用基本不等式求解.【題目詳解】因為，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即時，取等號.所以的最小值為16.故答案為：16【題目點撥】本題主要考查基本不等式求最值，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】根據(jù)數(shù)列中與的關(guān)系，即可求出通項公式.【題目詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，也適合，綜上，，（），故答案為：【題目點撥】本題主要考查了數(shù)列前n項和與通項間的關(guān)系，屬于容易題.15、【解題分析】由題意，,.故答案為.16、【解題分析】求出的斜率，結(jié)合圖形可得結(jié)論【題目詳解】，，而，因此，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）取的中點F，連接EF，，由四邊形是平行四邊形即可求解；（2）采用建系法，以為軸，為軸，垂直底面方向為軸，求出對應(yīng)點坐標(biāo)，結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.【小問1詳解】取的中點F，連接EF，，∵，∴，且，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面；【小問2詳解】取AC的中點O，以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，∴，.設(shè)平面的法向量是，則，即，令，得，易知平面的一個法向量是，∴，又二面角是鈍二面角，∴二面角的余弦值為.18、（1）；（2）存在，最大距離為.，理由見解析【解題分析】（1）根據(jù)離心率及短軸長求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程.（2）根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)為平行于直線且與橢圓相切的切線與直線最大距離，設(shè)直線方程聯(lián)立橢圓方程根據(jù)求參數(shù)，進而判斷點T的存在性，即可求最大距離.【小問1詳解】由題設(shè)知：且，又，∴，故橢圓C的方程為.小問2詳解】聯(lián)立直線與橢圓，可得：，∴，即直線與橢圓相離，∴只需求平行于直線且與橢圓相切的切線與直線最大距離即為所求，令平行于直線且與橢圓相切的直線為，聯(lián)立橢圓，整理可得：，∴，可得，當(dāng)，切線為，其與直線距離為；當(dāng)，切線為，其與直線距離為；綜上，時，與橢圓切點與直線距離最大為.19、（1）證明過程見解析；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理進行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】∵平面平面，平面平面平面，，∴平面；【小問2詳解】（2）建系如圖：設(shè)平面的法向量，，，，，，則，設(shè)，，，解得或（舍），，∴.20、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減是；（2）函數(shù)的最大值是，函數(shù)的最小值是.【解題分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，列表求函數(shù)的最值.【小問1詳解】，當(dāng)，解得：或，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，當(dāng)，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減是；【小問2詳解】由（1）可得下表4單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以函數(shù)的最大值是，函數(shù)的最小值是21、（1）（2）1【解題分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線方程；（2）將已知方程結(jié)合其兩根，進行變式，求得，利用該式再將不等式變形，然后將不等式的恒成立問題變?yōu)楹瘮?shù)的最值問題求解.【小問1詳解】由題意可得，所以切點為，則切線方程為：.【小問2詳解】由題意有：，則，因為分別是方程的兩個根，即.兩式相減，則，則不等式，可變?yōu)?，兩邊同時除以得，，令，則在上恒成立.整理可得，在上恒成立，令，則，①當(dāng)，即時，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，又，則在上恒成立；②當(dāng)，即時，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，則，不符合題意.綜上：，所以的最小值為1.22、（1）證明見解析（2）證明見解