第四章 二次型和正定矩陣

第四章二次型和正定矩陣第一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五在本章中，我們將介紹特征值和特征向量，然后介紹由特征向量組成的矩陣，并且運(yùn)用這些知識(shí)來(lái)判斷二次型的正定性，與此同時(shí)，我們也介紹特征值與行列式、秩、跡的關(guān)系，最后我們介紹用行列式來(lái)判斷二次型正定性的方法，作為特征值方法的補(bǔ)充。第二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五第一節(jié)引言二次型完整形式：其中代表變量而為常數(shù)矩陣表示法：常要求為對(duì)稱矩陣。第三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五例二次型用矩陣表示為問題1：我們能否通過對(duì)變量的一些技巧性變換而化簡(jiǎn)二次型？問題2：是否存在這樣的情況，不論我們?yōu)樽兞抠x以何值，二次型總是取同一個(gè)正負(fù)號(hào)？

第四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五定義關(guān)于問題2，我們有如下定義：（i）矩陣為正定的，如果對(duì)于所有非零實(shí)向量，（ii）矩陣為半正定的，如果對(duì)于所有實(shí)向量，（iii）矩陣為負(fù)定的，如果對(duì)于所有非零實(shí)向量，（iv）矩陣為半負(fù)定的，如果對(duì)于所有實(shí)向量，（v）矩陣為不定的，如果對(duì)于某些向量為正，而對(duì)于某些向量為負(fù)。第五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五第2節(jié)對(duì)稱矩陣的特征值定義A為矩陣，的特征值是一個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)存在著一個(gè)非零向量，滿足：

該向量被稱為的特征向量。有如下定義式：

為保證非平凡解的存在，要求

一般而言，上式表達(dá)的是的次多項(xiàng)式方程：

第六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理如果為對(duì)稱矩陣，那么其所有特征值都為實(shí)數(shù)。例則為二次方程

其兩個(gè)特征值為和第七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五第3節(jié)特殊矩陣的特征值相似矩陣定義令A(yù)和B為nXn矩陣。A和B是相似矩陣，如果存在一非奇異矩陣C使得

定理如果A和B是相似矩陣，其具有相同的特征值。

證明令A(yù)和B相似，考慮第八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五

因此和是同一方程。第九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五冪等矩陣定理冪等矩陣的特征值為1或0。

證明令A(yù)為冪等矩陣，考慮

上下兩式想減可得由于，則或者第十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五第4節(jié)對(duì)稱矩陣的特征向量定義向量集（兩兩）正交，如果對(duì)于，有向量是標(biāo)準(zhǔn)化的，如果向量組為規(guī)范正交的，如果

定理如果A為對(duì)稱矩陣，那么對(duì)應(yīng)著不同特征值的特征向量正交。第十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五證明令和是兩個(gè)不同特征值，分別對(duì)應(yīng)于特征向量和。那么有分別左乘和，有

由于是數(shù)量，，同理，而A對(duì)稱，故，則由于，則第十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理如果為K重的特征值，存在著K個(gè)對(duì)應(yīng)著的特征向量，它們和其他特征向量一起構(gòu)成一個(gè)規(guī)范正交集。第十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五求特征向量求解方法：將下列兩式聯(lián)立求解

例求矩陣特征向量的規(guī)范正交向量組。

已知A的兩特征值為和

由得到即第十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五由方程可得，那么作為特征向量我們?nèi)?/p>

由可得即標(biāo)準(zhǔn)化條件要求，從而即第十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五因此我們?nèi)〉诙€(gè)特征向量為第十六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五第5節(jié)列為對(duì)稱矩陣特征向量的矩陣的列為對(duì)稱矩陣A特征向量，A的特征值為的性質(zhì)定義矩陣B是正交的，如果定理是正交矩陣證明顯然第十七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五那么因此，定理矩陣為對(duì)角矩陣，其對(duì)角線上的元素為A的特征值。證明

第十八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五第6節(jié)二次型的對(duì)角化引言所提第一個(gè)問題：能否對(duì)二次型進(jìn)行簡(jiǎn)化？令是列為A的特征向量的規(guī)范正交向量組的矩陣?？紤]非奇異替換：或者則其中為對(duì)角矩陣引言所提第二個(gè)問題，我們有如下定理：

定理

（i）當(dāng)且僅當(dāng)?shù)拿總€(gè)特征值都為正（負(fù)）時(shí)，二次型為正（負(fù)）定第十九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五（ii）當(dāng)且僅當(dāng)?shù)乃刑卣髦刀挤秦?fù)（非正）且至少一個(gè)為零時(shí)，二次型為半正（半負(fù)）定（iii）當(dāng)且僅當(dāng)?shù)牡奶卣髦涤姓胸?fù)時(shí)，二次型不定例的特征值為0和3，故為半正定的，因此對(duì)于任意，，

第二十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五第7節(jié)特征值與，和因?yàn)槎视腥缦露ɡ恚簩?duì)于對(duì)稱矩陣，第二十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五A的非零特征值的個(gè)數(shù)考慮到一個(gè)矩陣左乘或者右乘一個(gè)非奇異矩陣時(shí)，其秩保持不變，故

定理對(duì)于對(duì)稱矩陣，等于其非零特征值的個(gè)數(shù)而則有如下定理：第二十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理對(duì)于對(duì)稱矩陣，第二十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五第8節(jié)另一種方法：運(yùn)用行列式定義的順序主子式為，，，，。定理當(dāng)為對(duì)稱矩陣，則（i）當(dāng)且僅當(dāng)?shù)膫€(gè)順序主子式都為正時(shí)，其為正定矩陣。（ii）當(dāng)且僅當(dāng)?shù)捻樞蛑髯邮秸?fù)符號(hào)交替變化：第一個(gè)為負(fù)，下一個(gè)為負(fù)，依此類推，其為負(fù)定矩陣第二十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五例考慮其順序主子式為

-1，，這些順序主子式符號(hào)交替變化，其第一個(gè)為負(fù)，則為負(fù)定矩陣。第二十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五定義的主子式為剔除同號(hào)行列后形成的子方陣的行列式

定理令為對(duì)稱矩陣，則（i）當(dāng)且僅當(dāng)所有的主子式大于等于零時(shí)，其為半正定。（ii）當(dāng)且僅當(dāng)所有奇階數(shù)主子式小于等于零而所有的偶階數(shù)主子式大于等于零時(shí)，其為半負(fù)定。