廣西壯族自治區(qū)柳州市秀東中學2022-2023學年高二數(shù)學理下學期期末試題含解析

廣西壯族自治區(qū)柳州市秀東中學2022-2023學年高二數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設x，y滿足約束條件，且的最小值為7，則a=（

）A．－5

B．3

C.－5或3

D．5或－3參考答案：B根據(jù)題中約束條件可畫出可行域如下圖所示，兩直線交點坐標為：，又由題中可知，當時，z有最小值：，則，解得：;當時，z無最小值．故選B

2.如圖所示的長方形的長為2，寬為1，在長方形內(nèi)撒一把豆子(豆子大小忽略不計)，然后統(tǒng)計知豆子的總數(shù)為m粒，其中落在飛鳥圖案中的豆子有n粒，據(jù)此請你估計圖中飛鳥圖案的面積約為(

)A. B. C. D.參考答案：B設飛鳥圖案的面積為s，那么，幾，故選B.

3.已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點P，使得由點P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C4.一個路口，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為40秒；當某人到達路口時看見的紅燈的概率是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略5.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，異面直線A1D與D1C所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：C【考點】異面直線及其所成的角．【分析】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，由D1C∥A1B，知∠DA1B是異面直線A1D與D1C所成的角，由此能求出結果．【解答】解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，∵D1C∥A1B，∴∠DA1B是異面直線A1D與D1C所成的角，∵A1D=A1B=BD，∴△A1BD是等邊三角形，∴∠DA1B=60°，∴異面直線A1D與D1C所成的角是60°．故選：C．【點評】本題考查異面直線所成的角的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．6.已知過曲線上一點與原點的直線的傾斜角為，則點坐標是(

)A、（3，4）B、C、(-3，-4)D、參考答案：D7.已知雙曲線的焦點在x軸上，焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線x﹣2y+1=0平行，則雙曲線的標準方程為（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】設雙曲線的標準方程為（a＞0，b＞0），由2c=2，則c=，由雙曲線的一條漸近線與直線x﹣2y+1=0平行，即=，c2=a2+b2，即可求得a和b的值，即可求得雙曲線的標準方程．【解答】解：由題意可知：設雙曲線的標準方程為（a＞0，b＞0），由2c=2，則c=，雙曲線的一條漸近線與直線x﹣2y+1=0平行，即=，由c2=a2+b2，解得：a=2，b=1，∴雙曲線的標準方程為：，故選A．【點評】本題考查雙曲線的標準方程及簡單幾何性質，考查計算能力，屬于基礎題．8.如圖，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA與BD的位置關系是(

)

A．平行

B．垂直相交C．異面

D．相交但不垂直

參考答案：C9.已知等比數(shù)列a1，a2，…a8各項為正且公比q≠1，則（）A．a(chǎn)1+a8=a4+a5B．a(chǎn)1+a8＜a4+a5C．a(chǎn)1+a8＞a4+a5D．a(chǎn)1+a8與a4+a5大小關系不能確定參考答案：C【考點】等比數(shù)列的通項公式．【分析】把數(shù)列的各項用首項和公比表示，然后直接作差得答案．【解答】解：由題意可知，a1＞0，q＞0，=＞0．∴a1+a8＞a4+a5．故選：C．10.已知函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，則的解集是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知平面α截一球O得圓M，圓M的半徑為r，圓M上兩點A、B間的弧長為，又球心O到平面α的距離為r，則A、B兩點間的球面距離為．參考答案：12.正項數(shù)列{an}滿足：an2+（1﹣n）an﹣n=0，若bn=，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則T2016=．參考答案：【考點】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．【分析】通過分解因式，利用正項數(shù)列{an}，直接求數(shù)列{an}的通項公式an；利用數(shù)列的通項公式化簡bn，利用裂項法直接求數(shù)列{bn}的前n項和Tn，即可得出結論．【解答】解：由正項數(shù)列{an}滿足an2+（1﹣n）an﹣n=0，可得（an﹣n）（an+1）=0，所以an=n．所以bn===﹣，Tn=1﹣+…+﹣=1﹣，所以T2016=1﹣=，故答案為：．13.函數(shù)f(x)=loga(a＞0且a≠1),f(2)=3,則f(-2)的值為_________.參考答案：-3∵f(-x)=loga=-loga=-f(x),∴函數(shù)為奇函數(shù).∴f(-2)=-f(2)=-3.14.二次函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，且，則實數(shù)的取值范圍

參考答案：

15.邊長均為正整數(shù)，且最大邊長為11的三角形的個數(shù)為

▲

.參考答案：3616.若（1﹣2x）2014=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014（x∈R），則a0+a1+a2+a3+…+a2014的值為_________．參考答案：略17.已知關于x的不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，求實數(shù)a的取值范圍

．參考答案：[﹣2，]【考點】一元二次不等式的解法．【分析】設f（x）=（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1，利用二次函數(shù)的性質得到二次項系數(shù)大于0，根的判別式小于等于0列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可確定出a的范圍．【解答】解：設f（x）=（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1，當a2﹣4=0，即a=﹣2（a=2不是空集）時，不等式解集為空集；當a2﹣4≠0時，根據(jù)題意得：a2﹣4＞0，△≤0，∴（a+2）2+4（a2﹣4）≤0，即（a+2）（5a﹣6）≤0，解得：﹣2≤x≤，綜上a的范圍為[﹣2，]．故答案為：[﹣2，]三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分)已知數(shù)列和滿足：,其中為實數(shù)，為正整數(shù)．（1）對任意實數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列；（2）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結論；（3）設,為數(shù)列的前項和．是否存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．參考答案：解：（1）證明：假設存在一個實數(shù)，使｛｝是等比數(shù)列，則有,即矛盾．所以｛｝不是等比數(shù)列．…………．．…3分(2)解：因為……………．…5分又，所以當，，此時……………6分當時，，，此時，數(shù)列｛｝是以為首項，為公比的等比數(shù)列．∴………8分(3)要使對任意正整數(shù)成立，即得（1）

……10分令，則當為正奇數(shù)時，∴的最大值為,的最小值為,…………12分于是，由（1）式得當時，由，不存在實數(shù)滿足題目要求；………13分當存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有,且的取值范圍是………．．…14分19.在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為.（1）求圓C的參數(shù)方程；（2）設P為圓C上一動點，，若點P到直線的距離為，求的大小.參考答案：（1）（為參數(shù)）；（2）或分析：（1）首先由公式化極坐標方程為直角坐標方程，再利用公式可化直角坐標方程為參數(shù)方程，為此可配方后再換元；（2）把直線參數(shù)方程化為普通方程，再由點到直線距離公式求出參數(shù)，注意到，根據(jù)A點位置，結合圖形可利用圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可得結論.詳解：（1）∵，∴，∴，即，∴圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（2）由（1）可設，，的直角坐標方程為，則到直線的距離為，∴，∵，∴或，故或.點睛：（1）由公式可進行極坐標方程與直角坐標方程進行互化；（2）一般用消參數(shù)法可化參數(shù)方程為普通方程，直線的參數(shù)方程可用代入法消參，圓或圓錐曲線的參數(shù)方程是利用消參.20.如圖，在矩形ABCD中，AB=1，AD=a，PA⊥平面ABCD，且PA=1，E，F(xiàn)分別為AD，PA中點，在BC上有且只有一個點Q，使得PQ⊥QD．（1）求證：平面BEF∥平面PDQ；（2）求二面角E﹣BF﹣Q的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；平面與平面平行的判定．【分析】（1）以A點為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系Axyz，求出相關點的坐標，設Q（1，x，0），則，利用PQ⊥QD，求出x=1．推出BE∥DQ，推出EF∥PD，EF∥平面PDQ，然后證明平面BEF∥平面PDQ．（2）求出平面BFQ是一個法向量，平面BEF的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．【解答】解：（1）以A點為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系Axyz，則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，a，0），P（0，0，1），設Q（1，x，0），則，，…若PQ⊥QD，則，即x2﹣ax+1=0，△=a2﹣4，∴△=0，a=2，x=1．…∴，又E是AD中點，∴E（0，1，0），，∴，∴BE∥DQ，又BE?平面PDQ，DQ?平面PDQ，∴BE∥平面PDQ，又F是PA中點，∴EF∥PD，∵EF?平面PDQ，PD?平面PDQ，∴EF∥平面PDQ，∵BE∩EF=E，BE，EF?平面PDQ，∴平面BEF∥平面PDQ．…（2）設平面BFQ是一個法向量，則，由（1）知，，∴，取z=2，得，同樣求平面BEF的一個法向量，，∴二面角E﹣BF﹣Q的余弦值為．…21.（本題滿分12分）已知集合，，（1）若，求；（2）若，求實數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1）當時,.(2)因為,當A=時，

則a-1＞2a+1，即a＜-2當A≠時，則或,解得：或.綜上：或.22.給定兩個命題