不等式及其性質(zhì)4種常見(jiàn)考法歸類(lèi)

2.2.1不等式及其性質(zhì)4種常見(jiàn)考法歸類(lèi)1、不等式的定義我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“≠”“>”“<”“≥”“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號(hào)的式子，稱(chēng)為不等式．2、實(shí)數(shù)大小比較符號(hào)表示a－b>0?a>b，a－b＝0?a＝b，a－b<0?a<b.3、不等式的性質(zhì)性質(zhì)1(可加性)如果a>b，那么a＋c>b＋c.性質(zhì)2(可乘性)如果a>b，c>0，那么ac>bc.性質(zhì)3(可乘性)如果a>b，c<0，那么ac<bc.性質(zhì)4(傳遞性)如果a>b，b>c，那么a>c.注：如果性質(zhì)4中的不等式帶有等號(hào)，那么結(jié)論是否仍然成立？(1)如果性質(zhì)4中的兩個(gè)不等式只有一個(gè)帶有等號(hào)，那么等號(hào)是傳遞不過(guò)去的．例如：如果a≥b且b>c，那么a>c；如果a>b且b≥c，那么a>c.(2)如果兩個(gè)不等式都帶有等號(hào)，那么有若a≥b且b≥c，則a≥c，其中a＝c時(shí)必有a＝b且b＝c.推論1(移項(xiàng)法則)如果a＋b>c，那么a>c－b.不等式中的任意一項(xiàng)都可以把它的符號(hào)變成相反的符號(hào)后，從不等式的一邊移到另一邊．推論2(同向可加性)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.我們把a(bǔ)>b和c>d(或a<b和c<d)這類(lèi)不等號(hào)方向相同的不等式，稱(chēng)為同向不等式．推論3(同向同正可乘性)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.推論4(可乘方性)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1).推論5(可開(kāi)方性)如果a>b>0，那么eq\r(a)>eq\r(b).注：(1)推論2可以推廣為更一般的結(jié)論：有限個(gè)同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向．推論2是同向不等式相加法則的依據(jù)．(2)同向不等式可以相加但不能相減，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d.需要特別注意的是，由a>b，c<d，不能得到a＋c>b＋d，但可以得到a－c>b－d.這是因?yàn)槿鬰<d，則－c>－d，又a>b，所以a－c>b－d.4、綜合法、分析法與反證法1．綜合法從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過(guò)逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法，在數(shù)學(xué)中通常稱(chēng)為綜合法．2．分析法從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的充分條件，最后得到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)，這種證明問(wèn)題的方法通常稱(chēng)為分析法．3．反證法首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立．這種得到數(shù)學(xué)結(jié)論的方法通常稱(chēng)為反證法．注：綜合法與分析法都是直接證明的方法，反證法是一種間接證明的方法．(1)綜合法中，最重要的推理形式為p?q，其中p是已知或者已經(jīng)得出的結(jié)論，所以綜合法的實(shí)質(zhì)就是不斷尋找必然成立的結(jié)論．(2)分析法中，最重要的推理形式是“要證p，只需證明q”，這可以表示為p?q，其中p是需要證明的結(jié)論，所以分析法的實(shí)質(zhì)就是不斷尋找結(jié)論成立的充分條件．5、比較兩數(shù)大小比較兩實(shí)數(shù)a，b的大小，只需確定它們的差a－b與0的大小關(guān)系，與差的具體數(shù)值無(wú)關(guān)．因此，比較兩實(shí)數(shù)a，b的大小，其關(guān)鍵在于經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形，能夠確認(rèn)差a－b的符號(hào)，變形的常用方法有配方、分解因式等．6、用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的四步曲注意：上述步驟可概括為“三步一結(jié)論”，這里的“判斷符號(hào)”是目的，“變形”是關(guān)鍵．7、不等式性質(zhì)的應(yīng)用(1)首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．(2)解決有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿(mǎn)足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算．8、利用不等式性質(zhì)求范圍的一般思路(1)借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答；(2)借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；(3)結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解．9、證明不等式的解題策略(1)簡(jiǎn)單不等式的證明可直接由已知條件并利用不等式的性質(zhì)，通過(guò)對(duì)不等式變形得證．(2)對(duì)于不等號(hào)兩邊都比較復(fù)雜的式子，直接利用不等式的性質(zhì)不易得證，可考慮將不等式的兩邊作差，然后進(jìn)行變形，根據(jù)條件確定每一個(gè)因式(式子)的符號(hào)，利用符號(hào)法則判斷最終的符號(hào)，完成證明．10、不等式的證明方法(1)作差法：通過(guò)比較兩式之差的符號(hào)來(lái)判斷兩式的大??；(2)綜合法：從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過(guò)逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法(3)反證法：首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立；(4)分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至所需的條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)，從而得出要證的命題成立。考點(diǎn)一比較大小考點(diǎn)二不等式的性質(zhì)應(yīng)用考點(diǎn)三利用不等式性質(zhì)求范圍考點(diǎn)四證明不等式考點(diǎn)一比較大小1．（2023春·青海西寧·高二統(tǒng)考期末）已知，，則a，b的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．無(wú)法確定【答案】A【分析】利用作差法并結(jié)合不等式的性質(zhì)，可得答案.【詳解】因?yàn)樗?，所以，?故選：A.2．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知c＞1，且x＝－，y＝－，則x，y之間的大小關(guān)系是（

）A．x＞y B．x＝y(tǒng)C．x＜y D．x，y的關(guān)系隨c而定【答案】C【分析】應(yīng)用作商法比較的大小關(guān)系即可.【詳解】由題設(shè)，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故選：C.3．（2023秋·湖北武漢·高一華中師大一附中期中）已知a為實(shí)數(shù)，，，則M，N的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】用作差法結(jié)合配方法比較大小．【詳解】，所以．故選：A．4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，比較與的大小【答案】【分析】先判斷兩個(gè)式子的符號(hào)，然后利用作商法與1進(jìn)行比較即可.【詳解】，，，.5．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知，試比較和的大小.【答案】【分析】方法1：采用作商比較法，結(jié)合分母有理化即可求解；方法2：先計(jì)算，從而可得，進(jìn)而可求解.【詳解】（方法1）因?yàn)?，所?所以.因?yàn)?，所以，即；（方?）所以，又，所以,所以.6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知a>0，b>0，M＝，N＝，則M與N的大小關(guān)系為（）A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小關(guān)系不確定【答案】B【分析】平方后作差比較大小即可.【詳解】，∴M<N.故選：B.7．（2023秋·高一單元測(cè)試）設(shè)，，則有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)作差法判斷兩式大小.【詳解】，∴.故選：A.8．（2023秋·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）比較與的大小，其中.【答案】【分析】?jī)墒阶鞑?，因式分解變形，根?jù)已知確定差的符號(hào)，即可判斷兩式大小.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?9．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）比較大小：(1)和；(2)和，其中．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用做差法比較大小即可；（2）利用做差法比較大小即可．【詳解】（1）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以，所?10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知a克糖水中含有b克糖（a>b>0），再添加m克糖（m>0）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式成立.【答案】，證明見(jiàn)解析【分析】將不等關(guān)系表示為不等式，進(jìn)而由作差法證明即可.【詳解】解：.證明:，，，.考點(diǎn)二不等式的性質(zhì)應(yīng)用11．【多選】（2023春·貴州貴陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AD【分析】舉反例排除BC，利用不等式的性質(zhì)判斷AD，從而得解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由不等式的同向可加性可知，該不等式成立，所以A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，例如：，，但是，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，又，所以，所以D正確.故選：AD．12．（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知，則下列不等式一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷C、D，利用特殊值判斷A、B.【詳解】因?yàn)?，所以，故D正確；對(duì)于A：若，，滿(mǎn)足，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，，滿(mǎn)足，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；故選：D13．（2023秋·高一校考課時(shí)練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，有下列說(shuō)法①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的是(填序號(hào))【答案】②③④【分析】利用不等式的性質(zhì)可逐一判定.【詳解】當(dāng)時(shí)，可以判定①錯(cuò)誤；因?yàn)椋怨什坏仁絻蛇吙赏瑫r(shí)除以，不變號(hào)，故②正確；因?yàn)?，所以?duì)于不等式兩邊同時(shí)乘以，不等式變號(hào)，故，不等式兩邊同時(shí)乘以，不等式變號(hào)，故，所以成立，故③正確；因?yàn)椋?，所以，故，故④正確.故答案為：②③④.14．【多選】（2023春·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BC【分析】根絕不等式的基本性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷，要注意不等式性質(zhì)成立的條件.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，若，則，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，若，故，則，正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若則，所以，正確；對(duì)于選項(xiàng)D,，當(dāng)時(shí)，，但是的符號(hào)與的符號(hào)不確定，所以與大小關(guān)系不確定，錯(cuò)誤.故選：BC.15．【多選】（2023春·河北保定·高二校聯(lián)考期末）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合作差比較法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由，可得，所以，所以A正確；對(duì)于B中，若，，則，所以，所以B不正確；對(duì)于C中，若，則，所以C正確；對(duì)于D中，若，則，所以D正確．故選：ACD.16．（2023春·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合舉反例的方法，可得答案.【詳解】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，可得，故C正確；對(duì)于D，若，，，則，故D錯(cuò)誤.故選：C．17．（2023春·廣西玉林·高二統(tǒng)考期末）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】BC【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合作差法即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A,由,若時(shí)，不一定，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若，所以故，所以，故B正確，對(duì)于C,由得，又，所以，故C正確，對(duì)于D，由于，無(wú)法確定的正負(fù)，所以的正負(fù)無(wú)法確定，故與的大小無(wú)法確定，故D錯(cuò)誤，故選：BC18．【多選】（2023春·福建三明·高二統(tǒng)考期末）已知，，則下列四個(gè)不等式中，一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì),結(jié)合作差法逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．【詳解】對(duì)于A，，，，，，即，故A正確；對(duì)于B，，，，故B正確；對(duì)于C，取，，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，，即，故D正確．故選：ABD．19．【多選】（2023秋·山東東營(yíng)·高一利津縣高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，c，若，則下列不等式不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】舉特例即可否定選項(xiàng)A，B，D，利用不等式的性質(zhì)判斷C，從而得解.【詳解】當(dāng)，時(shí)，滿(mǎn)足，但，故A錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，滿(mǎn)足，但，故B錯(cuò)誤；因，，由不等式性質(zhì)得，故C正確；當(dāng)時(shí)，不成立，故D錯(cuò)誤.故選：ABD.20．【多選】（2023秋·福建廈門(mén)·高一廈門(mén)市海滄中學(xué)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】AB【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)及特值法即可作出判斷【詳解】對(duì)于，因?yàn)?，，所以，故正確；對(duì)于，因?yàn)?，所以，又，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，又，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，但，此時(shí)，故D錯(cuò)誤，故選：AB21．【多選】（2023春·江西九江·高二統(tǒng)考期末）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?，所以正確；由不等式的倒數(shù)法則可知，兩邊同乘以，得，C錯(cuò)誤；由，得，D正確，故選：ABD.考點(diǎn)三利用不等式性質(zhì)求范圍22．（2023春·陜西咸陽(yáng)·高二武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知,則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用不等式的基本性質(zhì)即可求得答案【詳解】因?yàn)?所以,由,得,故選：A23．（2023秋·寧夏中衛(wèi)·高二中寧一中?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x﹐y滿(mǎn)足，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，解得，根據(jù)不等式性質(zhì)求出.【詳解】設(shè)，則，解得，因?yàn)椋?，所以，所以，?故選：B24．（2023秋·上海黃浦·高一上海市光明中學(xué)校考期中）已知，，則的取值范圍是．【答案】【分析】由不等式的基本性質(zhì)求解即可【詳解】解：，，則，，故由不等式的可加性可知，，故的取值范圍是．故答案為：．25．（2023春·河北保定·高二校聯(lián)考期末）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由待定系數(shù)法確定其系數(shù)，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，故．故選：A26．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，分別求，，，的取值范圍．【答案】詳見(jiàn)解析.【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)和反比例函數(shù)特點(diǎn)即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，即的取值范圍是．由，，得，所以的取值范圍是．由，，得，所以的取值范圍是．易知，而則，所以的取值范圍是．27．【多選】（2023秋·四川成都·高一石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍是C．的取值范圍是 D．的取值范圍是【答案】ABC【分析】利用不等式的性質(zhì)判斷AB；求得，然后利用不等式的性質(zhì)判斷CD；【詳解】由，兩式相加得，即，故A正確；由，得，又，兩式相加得，即，故B正確；設(shè)，所以，解得，則，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以，即，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC.考點(diǎn)四證明不等式28．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高一?？茧A段練習(xí)）若，，，求證：.【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】因?yàn)?，所以，又，先得出，再得出，由不等式的同?hào)可乘性即可證明.【詳解】證明：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加得，所以，所以，因?yàn)椋?，所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加?又，所以，所以由不等式的同號(hào)可乘性可得.29．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用綜合法證明:如果，那么【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)綜合法的要求執(zhí)因索果，逐步推導(dǎo)證明即可.【詳解】證明:，即顯然，即.3