三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)市公開課一等獎省課獲獎?wù)n件

三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)第1頁三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)一、三角函數(shù)圖像作法幾何法五點法圖像變換法二、三角函數(shù)圖像性質(zhì)三、解三角不等式（數(shù)形結(jié)合）四、f(x)=Asin(

x+

)性質(zhì)五、課后練習(xí)第2頁---11---1--作法:(1)等分(2)作正弦線(3)平移(4)連線一、三角函數(shù)圖像作法1.幾何法y=sinx

作圖步驟:o11PAM正弦線MP余弦線OM正切線ATT0相位相位相位相位相位返回目錄第3頁---------1-1由于終邊相同角三角函數(shù)值相同，因此y=sinx圖象在……，……與y=sinx,x∈[0,2π]圖象相同正弦函數(shù)圖像正弦曲線余弦函數(shù)y=cosx=sin(x+)由y=sinx左移y=cosxy=sinxy=cosx余弦曲線正,余弦函數(shù)對稱軸為過最高點或最低點且垂直于

x軸直線,對稱中心為圖象與x軸交點返回目錄第4頁正弦函數(shù).余弦函數(shù)圖像和性質(zhì)作函數(shù)簡圖解:列表描點作圖---2.五點法作函數(shù)

y=Asin(

x+

)

圖像步驟:(1)令相位

x+

=0,,

,,2

,解出對應(yīng)

x

值;23

2

(2)求(1)中

x

對應(yīng)

y

值,并描出對應(yīng)五點;1

2110(3)用光滑曲線連結(jié)(2)中五點.返回目錄第5頁步驟1步驟2步驟3步驟4步驟5沿x軸平行移動橫坐標伸長或縮短縱坐標伸長或縮短沿x軸擴展橫坐標向左(

>0)或向右(

<0)平移|

|個單位

要尤其注意,若由

y=sin(

x)

得到

y=sin(

x+

)

圖象,則向左或向右平移應(yīng)平移

|

|

個單位.

將各點橫坐標變?yōu)楸緛?/ω倍(縱坐標不變).各點縱坐標變?yōu)楸緛鞟倍(橫坐標不變)；3.返回目錄第6頁例1：如何由函數(shù)f(x)=sinx圖象得到下列函數(shù)圖象？(1)y=2sinx(2)y=sinx21(3)y=sin2x(4)y=sinxy=2sinx圖象由y=sinx圖象（橫標不變），縱標伸長2倍而得。21y=sinx圖象由y=sinx圖象（橫標不變），縱標縮短而得。2121返回目錄第7頁例1：如何由函數(shù)f(x)=sinx圖象得到下列函數(shù)圖象？(1)y=2sinx(2)y=sinx(3)y=sin2x(4)y=sinx2121y=sin2x圖象由y=sinx圖象（縱標不變），橫標縮短而得。21y=sinx圖象由y=sinx圖象（縱標不變），橫標伸長2倍而得。21返回目錄第8頁O辦法1：y=sinx縱向伸長3倍y=3sinx－)－例2：如何由y=sinx圖象得到y(tǒng)=3sin(2x+

)3π左移3πy=3sin(x+)3π橫向縮短21y=3sin(2x+)3π返回目錄第9頁O辦法2：y=sinx縱向伸長3倍y=3sinxy=3sin2x)－左移6πy=3sin(2x+)3π橫向縮短21例2：如何由y=sinx圖象得到y(tǒng)=3sin(2x+

)3π辦法1：y=sinx縱向伸長3倍y=3sinx左移3πy=3sin(x+)3π橫向縮短21y=3sin(2x+)3π返回目錄第10頁3.P97例3已知函數(shù)

y=

cos2x+

sinxcosx+1,xR.

(1)求當

y

取得最大值時自變量

x

集合;(2)該函數(shù)可由y=sinx(xR)

圖象通過如何平移和伸縮變換得到?1232解:(1)y=

cos2x+

sinxcosx+1=

cos2x+

sin2x+12321434546

=

sin(2x+)+.5412當且僅當

2x+=2k+(kZ),即

x=k+(kZ)

時,6

2

6

函數(shù)

y

取得最大值.故當

y

取得最大值時,自變量

x

集合是:{x

|

x=k+

,kZ}.6

返回目錄第11頁(2)將函數(shù)

y=sinx

依次進行如下變換:

①將

y=sinx

圖象向左平移,得

y=sin(x+

)

圖象;6

6

②將所得圖象上各點橫坐標縮短到本來倍(縱坐標不變),得到

y=sin(2x+

)

圖象;126

③將所得圖象上各點縱坐標縮短到本來倍(橫坐標不變),得到

y=

sin(2x+

)

圖象;126

1254④將所得圖象向上平移個單位長度,得到

y=

sin(2x+

)

+圖象;126

54綜上得到

y=

cos2x+

sinxcosx+1

圖象.32126

sin(2x+)+.5412由y=sinx返回目錄第12頁函數(shù)圖象單調(diào)性

遞減遞增遞增遞減遞增最值時，時，時，時，奇偶性對稱性對稱中心:對稱中心:對稱中心:對稱軸：

對稱軸：00知識梳理無最值奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)無對稱軸二、三角函數(shù)圖象性質(zhì)返回目錄第13頁-1三、解三角不等式（數(shù)形結(jié)合）返回目錄第14頁oxy4解不等式

|sinx|>cosx.{x|+2k

<x<+2k

,k

Z}47

4

返回目錄第15頁四.返回目錄第16頁1.周期性:①y=sinx、y=cosx

最小正周期都是

2

;②

f(x)=Asin(

x+

)

和

f(x)=Acos(

x+

)最小正周期都是

T=.

f(x)=Atan(

x+

)最小正周期都是T=④f(x)=|Asin(

x+

)|,f(x)=|Acos(

x+

)|最小正周期都是T=（即取絕對值后周期減半），f(x)=|Atan(

x+

)|最小正周期是T=（即取絕對值后周期不變）。|

|2

f(x)=Asin(

x+

),f(x)=Acos(

x+

)和f(x)=Atan(

x+

)性質(zhì)|

|

五.|

|

|

|

注：較復(fù)雜三角函數(shù)要先化簡，再利用公式求周期；有時可用數(shù)形結(jié)合或定義法求周期P93,1下列函數(shù)中周期為是（）2

2x4xA.y=sin,B.y=sin2xC.y=cosD.y=cos4xD2.f(x)=sin2x-?周期是（）π3.P95T9B2.研究f(x)=

Asin(

x+

)性質(zhì)辦法：類比研究y=sinx性質(zhì)，只需將ωx+φ當作x，但在求f(x)=Asin(

x+

)單調(diào)區(qū)間時，要尤其注意A和ω符號，通過誘導(dǎo)公式先將ω化正。如1：；單調(diào)增區(qū)間。返回目錄第17頁2.求函數(shù)

y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x

最小正周期和最小值,并寫出該函數(shù)在

[0,

]

上單調(diào)增區(qū)間.解:

∵

y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x

=(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+

3

sin2x

=

3

sin2x-cos2x

6

=2sin(2x-)故該函數(shù)最小正周期是

,最小值是

-2.3

在

[0,

]

上單調(diào)增區(qū)間是

[0,]

和

[,

].65

由

2k-≤2x-

≤2k+

(kZ)

得:2

2

6

k-≤x≤k+(kZ).3

6

令

k=0,

1

即得函數(shù)

y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x

返回目錄第18頁3.奇偶性：再如f(x)=Asin(

x+

)為奇函數(shù)=k(kZ)解法一：解法二：f(x)=Asin(

x+

)為偶函數(shù)=k+(kZ)2

f(x)=Acos(

x+

)為奇函數(shù)=k+(kZ)2

=k(kZ)f(x)=Acos(

x+

)為偶函數(shù)P94例4.已知函數(shù)

f(x)=sin(x+

)(

>0,0≤

≤

)

是

R

上偶函數(shù),其圖象有關(guān)點

M(

,0)

對稱,且在區(qū)間

[0,]

上是單調(diào)函數(shù),求

和

值.43

2

答案返回目錄觀測得到：可類比正弦曲線和余弦曲線奇偶性，奇變偶不變第19頁解:

∵f(x)=sin(x+

)(

>0,0≤

≤

)

是

R

上偶函數(shù),∴f(0)=±1∴cos

=0.又∵0≤

≤

,∴

=.2

∵f(x)

圖象有關(guān)點

M

對稱,∴f(x)=cosx.∴=k+(kZ).43

2

∴

=(kZ).4k+23∴f(x)=cosx

在區(qū)間

[0,

]

上是減函數(shù).

∵

>0,∴

f()

=0.43

2

必有≤,即0<

≤2.23∴

=2

或.解得

k=0

或

1.2

23綜上所述,

=,

=2

或.

2

返回目錄第20頁2.假如函數(shù)

y=sin2x+acos2x

圖象有關(guān)直線

x=-對稱,求

a

值.8

解:

y=sin2x+acos2x=

a2+1

sin(2x+

),其中,tan

=a.

法1

∵函數(shù)

y=sin2x+acos2x

圖象有關(guān)直線

x=-對稱,8

∴當

x=-

時,y

取最大值或最小值.8

∴2(-

)+

=k+,kZ.2

8

∴

=k+

,kZ.43

∴a=tan

=tan(k

+)=-1.

43

法2

∵函數(shù)

y=sin2x+acos2x

圖象有關(guān)直線

x=-對稱,8

∴當

x=-

時,y

取最大值或最小值.8

|sin2(-)+acos2(-)|2=a2+18

8

解得

a=-1.

返回目錄第21頁法3

∵函數(shù)

y=sin2x+acos2x

圖象有關(guān)直線

x=-對稱,8

∴當自變量取

0,-

時函數(shù)值相同.4

即

0+a=-1+0.∴sin0+acos0=sin2(-)+acos2(-).4

4

∴a=-1.

法4

∵函數(shù)

y=sin2x+acos2x

圖象有關(guān)直線

x=-對稱,8

而函數(shù)

y=sin2x+acos2x

周期為

,∴當

x=-+=時,函數(shù)值為

0.8

4

8

∴sin+acos=0.4

4

∴a=-1.

2.假如函數(shù)

y=sin2x+acos2x

圖象有關(guān)直線

x=-對稱,求

a

值.8

返回目錄第22頁課后練習(xí)

1.P95T14已知函數(shù)

f(x)=log

(sinx-cosx),(1)求它定義域和值域;(2)判斷它單調(diào)區(qū)間;(3)判斷它奇偶性;(4)判斷它周期性,假如是周期函數(shù),求出它一種周期.12解:(1)由

sinx-cosx>0,即2sin(x-)>0

得:4

2k+

<x<2k+

,kZ4

45

{x

|

2k+<x<2k+

,kZ}.4

45

∴f(x)

定義域為∵sinx-cosx=

2sin(x-)≤

2

,

4

∴f(x)=log

(sinx-cosx)≥log

2=-.121212∴f(x)

值域為[-,+∞).12(2)∵y=sinx-cosx

在

f(x)

定義域上單調(diào)遞增區(qū)間是(2k

+

,2k

+

](k

Z);4

43

[2k

+

,2k

+

)(k

Z),45

43

單調(diào)遞減區(qū)間是返回目錄第23頁[2k

+

,

2k

+

)(k

Z).45

43

單調(diào)遞增區(qū)間是(2k

+

,

2k

+

](k

Z);4

43

∴f(x)

單調(diào)遞減區(qū)間是(3)∵f(x)

定義域在數(shù)軸上對應(yīng)點有關(guān)原點不對稱,∴函數(shù)

f(x)

是非奇非偶函數(shù).=log(sinx-cosx)12(4)∵f(x+2

)=log[sin(x+2

)-cos(x+2

)]12=f(x),∴函數(shù)

f(x)

是周期函數(shù),它一種周期是

2

.返回目錄第24頁

2.已知函數(shù)

f(x)=Asin(x+

)(A>0,

>0,xR)在一種周期內(nèi)圖象如圖所示:23

2

-25

27

2

oxy2求直線

y=3

與函數(shù)

f(x)

圖象所有交點坐標.27

解:

根據(jù)圖象得

A=2,T=

-(-)=4

,2

∴

=

.12∴y=2sin(

x+

).1212由(-

)+

=

2k

得

=

.2

4

∴y=2sin(

x+

).124

由

3=2sin(

x+

)

得124

32sin(

x+)=

.124

∴

x+=2k+

或

2k+

(kZ).124

32

3

∴x=4k+或4k+

(kZ).65

6

6

65

故所有交點坐標為

(4k+,

3

)或

(4k+

,

3

)

(kZ).返回目錄第25頁

3.設(shè)函數(shù)

f(x)=a

b,其中向量

a=(2cosx,1),b=(cosx,3

sin2x),xR.

(1)若

f(x)=1-3

且

x[-,],求

x

;(2)若函數(shù)

y=2sin2x

圖象按向量

c=(m,n)(|m|<

)

平移后得到函數(shù)

y=f(x)

圖象,求實數(shù)

m,n

值.3

3

2

解:(1)依題意f(x)=2cos2x+3

sin2x=1+2sin(2x+

).

6

由

1+2sin(2x+

)=1-3

得:6

sin(2x+

)=-.6

32∵x[-,],∴2x+

[-,].

3

3

2

6

65

∴2x+

=-.6

3

∴x=-.4

由(1)知f(x)=2sin2(x+)+1.12

12

∴m=-,n=1.∵|m|<,2

(2)函數(shù)

y=2sin2x

圖象按向量

c=(m,n)

平移后得到函數(shù)

y=2sin2(x-m)+n

即

y=f(x)

圖象.返回目錄第26頁4.P97T6,某地一天從

6

時到

14

時溫度變化曲線近似滿足函數(shù)

y=Asin(x+

)+b

解析式,其中,A>0,

>0,0<

<

.xyo61014102030溫度/℃時間/h(1)求這段時間最大溫差;(2)寫出這段曲線函數(shù)解析式.解:(1)由圖示,這段時間最大溫差是:

30℃-10℃=20℃.(2)圖中從

6

時到

14

時圖象是函數(shù)

y=Asin(x+

)+b

半個周期圖象.12∴=14-6.

2

解得

=.8

12又由圖示A=

(30-10)=10,b=

(30+10)=20,128

∴y=10sin(

x+

)+20.將

x=6,y=10

代入可取

=.43

故所求解析式為:

y=10sin(

x+)+20,x[6,14].8

43

返回目錄第27頁

5.已知函數(shù)

f(x)=

,求

f(x)

定義域,判斷它奇偶性,并求其值域.6cos4x+5sin2x-4cos2x

解:

由

cos2x

0

得2

2x

k

+

(kZ).解得x+(kZ).2k

4

故

f(x)

定義域為{xR

|

x+,kZ}.2k

4

∵

f(x)

定義域有關(guān)原點對稱,且f(-x)=