圓的基礎(chǔ)知識梳理

中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家PAGEPAGE5精銳教育網(wǎng)站：精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義（1）講義編號學(xué)員編號：年級：初三課時數(shù)：學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：歐陽思順課題圓專題復(fù)習(xí)（1）授課日期及時段教學(xué)目的理解圓的圓心、半徑、直徑、點與圓的位置關(guān)系，掌握圓的確定條件，理解圓的旋轉(zhuǎn)不變形，能夠根據(jù)條件畫圓；2、復(fù)習(xí)鞏固弧、圓心角、圓周角的概念，弧長公式、圓的周長和面積公式；3、理解圓心角、弧、弦、弦心距的概念及四組量之間的關(guān)系；4、理解垂徑定理，并掌握如何使用垂徑定理及其推論。教學(xué)內(nèi)容<一>圓的確定一、知識要點1、圓的定義（可以從軌跡的角度定義圓）2、點與圓的位置關(guān)系（注意點在直線內(nèi)時；其中表示所研究的點到圓心的距離，表示圓的半徑）。3、過不在同一直線上的三點確定一個圓（注意前提條件：不在同一直線上三點）結(jié)論：不在同一直線上的三點→確定一個三角形→確定一個圓4、多邊形的外接圓，圓的內(nèi)接多邊形的概念（重點：外心的概念及其外心的確定方式）問題1：三角形的外心一定在三角形內(nèi)嗎？問題2：四點能確定一個圓應(yīng)滿足什么條件？二、知識應(yīng)用題型一：點與圓的位置關(guān)系（1）在中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以A為圓心、R為半徑畫⊙A，使點C在⊙A的內(nèi)部、點B在⊙A的外部，那么半徑R應(yīng)滿足的條件是（2）在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以A為圓心畫圓，若B，C，D三點中至少有一個在圓內(nèi)，且至少有一個在圓外，則⊙A的半徑的取值范圍是。題型二：圓的確定（1）經(jīng)過一點作圓可以作個圓；經(jīng)過兩點作圓可以作個圓，這些圓的圓心在這兩點的上；經(jīng)過不在同一直線上的三點可以作個圓，并且只能作個圓。（2）已知AB=7cm,則過點A，B，且半徑為3cm的圓有（）A.0個B.1個C.2個D.無數(shù)個（3）下列命題正確的是（）A.三點確定一個圓B.圓有且只有一個內(nèi)接三角形C.三角形的外心是三角形三個角的平分線的交點D.三角形的外心是三角形任意兩邊的垂直平分線的交點（4）下列命題中，錯誤的個數(shù)為（）=1\*GB3①平行四邊形必有外接圓=2\*GB3②等腰三角形的外心一定在底邊上的中線上；=3\*GB3③等邊三角形的外心也是三角形的三條中線、高、角平分線的交點；=4\*GB3④直角三角形的外心是斜邊的中點。A.0個 B.1個 C.2個 D.3個（5）在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，那么四邊形ABCD有外接圓（填“一定”或“不一定”）<二>圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系一、知識要點1、圓的有關(guān)概念（圓心角、弧、優(yōu)弧、劣弧、等弧、弦、弦心距等）2、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系（注意前提條件——在同圓或等圓中）注意：相等的弧與等弧之間的區(qū)別與聯(lián)系二、知識應(yīng)用題型：圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系（1）下列說法中，正確的是（）（A）如果圓心角相等，那么圓心角所對的弧和弦也相等（B）如果兩條弧的長度相等，那么這兩條弧是等?。–）如果兩條弧所對的圓心角相等，那么這兩條弧是等?。―）在同圓或等圓中，弦相等所對的弧也相等（2）在兩個圓中，如果有兩條弦相等，那么這兩條弦的弦心距的關(guān)系是（）（A）一定相等（B）一定不相等（C）不一定相等（D）一定互相平行（3）在⊙O，如果＝，那么弦與弦之間的長度關(guān)系是（）（A）弦等于弦的2倍（B）弦大于弦的2倍（C）弦小于弦的2倍（D）弦和弦的關(guān)系不定（4）過⊙O內(nèi)一點M最長的弦為10，最短的弦長為8，則OM＝（5）已知點P到⊙O上所有點的距離中，最大距離是8，最小距離是2，那么⊙O的半徑長等于（6）在⊙O中，P為其內(nèi)一點，過點P的最長的弦為8cm，最短的弦長為4cm，則OP＝_____。（7）在⊙O中，弦AB、CD相交于點P，OM⊥CD，ON⊥AB，M、N是垂足，聯(lián)結(jié)MN.如果AD弧等于BC弧，求證：△PMN是等腰三角形（8）如圖，⊙O1和⊙O2是等圓，P是O1O2的中點，過點P作直線AD交⊙O1于A、B，交⊙O2于C、D，求證：AB＝CD<三>垂徑定理一、知識要點1、圓的對稱性（=1\*GB3①圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是圓的對稱軸；=2\*GB3②圓既是是旋轉(zhuǎn)對稱圖形又是中心圖形）注：對稱軸是直線2、垂徑定理（垂直于弦的直徑平行這條弦，并且平分弦所對的弧）總結(jié)：垂徑定理及其推論是指一條弦①在“過圓心”②“垂直于另一條弦”③“平分另一條弦”④“平分另一條弦所對的劣弧”⑤“平分這另一條弦所對的優(yōu)弧”的五個條件中任意具有兩個條件，則必具有另外三個結(jié)論注：當(dāng)①③為條件時要對另一條弦增加它不是直徑的限制二、知識應(yīng)用題型：垂徑定理的應(yīng)用dr（1）下列判斷中，正確的是（）（A）垂直于弦的直線必平分這條弦（B）平分弦的直徑必垂直于這條弦（C）一個圓的圓心必在一條弦的垂直平分線上（D）垂直平分一條弦的線段必是直徑（2）下列說法中，錯誤的是（）（A）圓的半徑垂直于弦，必平分這條弦所對的弧（B）⊙O的半徑OA，CD是過OA的中點的弦，則CD⊥OA（C）⊙O的半徑OC平分圓心角∠AOB，則OC⊥AB（D）⊙O的直徑AB平分弦CD所對的弧，則AB⊥CD（3）已知圓內(nèi)接△ABC中，AB＝AC，圓心O到BC的距離為3cm，半徑r＝7cm，則腰長AB為_________。（4）⊙O的半徑OA＝1，弦AB、AC的長分別是，則∠BAC的度數(shù)為______。（5）在半徑為5cm的圓內(nèi)有兩條互相平行的弦，一條弦長為8cm，另一條弦長為6cm，則這兩條弦之間的距離為______。（6）如圖，在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，AB⊥CD于點M，CD＝15，OM：OC＝3：5，求弦AB的長（7）已知：如圖，⊙O的直徑AB和CD相交于點E。已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，求CD的長。EE（8）已知以O(shè)為圓心兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點。求證：AC＝BD.OOABCD（9）一跨河橋，橋拱是圓弧形，跨度(AB)為16米，拱高(CD)為4ABEFMCDOABEFMCDO<四>直線與圓的位置關(guān)系一、知識要點1、直線與圓的位置關(guān)系（注意直線與圓相交時；其中表示圓心到直線的距離，表示圓的半徑）。問題：直線與圓的位置關(guān)系有幾種？每種位置關(guān)系對應(yīng)的直線與圓的交點個數(shù)如何？什么是割線？什么是切線？2、切線的判定定理（經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）說明：應(yīng)用判定定理，需同時滿足以下兩個條件：（1）過半徑外端，（2）與這條半徑垂直證明切線的方法：（1）如果已知直線過圓上某一點，則可作出這一點的半徑證明直線垂直于該半徑。即為“連半徑證垂直得切線”。（2）若已知條件中未明確給出直線和圓有公共點時，則應(yīng)過圓心作直線的垂線，證明圓心到直線的距離等于半徑，即為：“作垂直證半徑得切線”。二、知識應(yīng)用題型一：切線的判定定理（1）下列說法中，一定正確的是（）（A）切線與圓有公共點（B）與圓有公共點的直線是圓的切線（C）經(jīng)過半徑的端點且垂直于半徑的直線是圓的切線（D）如果直線與圓不相切，那么就一定相交（2）下列命題中正確的個數(shù)是（）①與圓有一個公共點的線段是切線②到圓心的距離等于半徑的直線是切線③垂直于圓的半徑的直線是圓的切線④過圓直徑的端點，垂直此直徑的直線是切線（A）4個（B）3個（C）2個（D）1個題型二：直線與圓的位置關(guān)系（1）已知直線，在直線上取一點P且與相切的圓有個（2）已知直線上一點P到⊙O的圓心的距離大于⊙O的半徑，那么直線與⊙O的位置關(guān)系是（3）⊙O的直徑是8，直線與⊙O相交，圓心O到直線的距離是，那么應(yīng)滿足的條件是（4）圓中最長的弦的弦長為10，如果直線與圓相交，設(shè)直線與圓心的距離為，那么的取值范圍是（5）兩個同心圓的半徑分別為3、6，大圓的一條弦AB＝10，那么小圓和AB的位置關(guān)系是（6）等邊△ABC的邊長為2，以A為圓心，為半徑作⊙A與邊BC有兩個公共點，那么的取值范圍是（7）已知⊙O的半徑長為10，直線上有一點到圓心O的距離正好等于10，那么直線與⊙O的位置關(guān)系是（8）在半徑為5的⊙O中，點A與圓心O的距離為2，直線與點A的距離為3，那么直線與⊙O的位置關(guān)系是（9）⊙O的半徑長為R，⊙O的一條弦AB的長也等于R，那么以O(shè)為圓心、為半徑的圓與AB的位置關(guān)系是（10）在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，以C為圓心、為半徑作⊙C，當(dāng)時，⊙C與直線AB相離；當(dāng)時，⊙C與直線AB相切；當(dāng)時，⊙C與直線AB相交（11）已知邊長為10的正方形的兩條對角線相交于點O，那么以O(shè)為圓心、6為半徑的⊙O與正方形各邊共有個公共點，要使⊙O與正方形各邊僅有4個公共點，那么⊙O的半徑長應(yīng)為；要使⊙O與正方形各邊都沒有公共點，那么⊙O的半徑的取值范圍是；（12）如圖，已知∠AOB＝30°，M為OB邊上的一點，以M為圓心、2為半徑作⊙M.若點M在OB邊上運動，則當(dāng)OM＝時，⊙M與OA相切（13）如圖：AB是⊙O的弦，AB=12，PA切⊙O于A，PO⊥AB于C，PO=13。求PA的長。（14）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，點D在邊BC上，過點A、D的圓的圓心O在邊AB上=1\*GB3①求證：BC是⊙O的切線=2\*GB3②如果AC＝3，AB＝8，求⊙O半徑的長（15）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝BO，D是AB的中點，聯(lián)結(jié)OD.又在BA上取點C，使BC＝BO.=1\*GB3①說明以O(shè)為圓心、OD為半徑的⊙O與直線AB的位置關(guān)系；=2\*GB3②第=1\*GB3①題中⊙O與邊AO交于點E，聯(lián)結(jié)CE.求證：直線CE是⊙O的切線（16）已知：如圖⊙O的直徑AB=4，以O(shè)A為直徑作⊙O1，BD切⊙O1于點C，交⊙O于點D，連結(jié)AC、OC。=1\*GB3①求tan∠CAO的值，=2\*GB3②求BD的長。<五>圓與圓的位置關(guān)系一、知識要點1、圓與圓的位置關(guān)系注意：圓與圓內(nèi)切時；圓與圓內(nèi)含時；其中表示圓心距，表示圓的半徑問題：圓與圓的位置關(guān)系有幾種？每種位置關(guān)系對應(yīng)的圓與圓的交點個數(shù)如何？什么是圓心距？什么是連心線？2、相交兩圓的連心線的性質(zhì)定理注意：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦，而非兩圓公共弦垂直平分連心線3、相切兩圓的連心線的性質(zhì)定理（相切兩圓的連心線經(jīng)過切點）二、知識應(yīng)用題型一：已知半徑及其圓心距，判定位置關(guān)系（1）已知兩圓的半徑分別為3和5，圓心距為4，則這兩圓的位置關(guān)系是()A．內(nèi)切B．外切C．相交D．相離（2）已知一個圓的半徑為4，另一個圓的直徑為6，而圓心距是5，那么這兩個圓的位置關(guān)系是題型二：已知位置關(guān)系及其圓心距，求半徑（1）兩圓內(nèi)切，其中一個圓的半徑是5，兩圓的圓心距為2，則另外一個圓的半徑是（2）已知⊙O1與⊙O2相切，⊙O1的半徑是3，O1O2＝5，那么⊙O2的半徑等于（3）已知兩圓外離，圓心距為10，且小圓的半徑為3，那么大圓的半徑的取值范圍是（4）如果兩圓的圓心距為3，其中一個圓的半徑為4，當(dāng)兩圓相交時，另一個圓的半徑應(yīng)滿足的條件是，當(dāng)兩圓內(nèi)含時，另一個圓的半徑應(yīng)滿足的條件是.題型三：已知位置關(guān)系及其半徑，求圓心距（1）直徑分別為8與6的兩個圓相切，這兩個圓的圓心距是（2）已知兩個相交圓的半徑分別為8cm和5cm，公共弦長為6變式訓(xùn)練：已知⊙O1與⊙O2相交于點A、B，⊙O1的半徑為15cm，⊙O2的半徑為13cm，公共弦AB的長為求△AO1O2的面積題型四：確定符合條件的圓的個數(shù)（1）已知半徑均為1cm的兩圓外切，半徑為2cm且和這兩個圓都相切的圓共有（2）已知半徑分別為1cm、3cm的兩圓相外切，與這兩個圓都相切的圓共有（3）已知半徑分別為2、3的兩個圓外切，如果半徑為7的圓與這兩個圓都相切，那么這樣半徑為7的圓共有個（4）已知半徑為1的⊙O的圓心O到直線的距離為2，那么半徑為3，既與⊙O相切，又與直線相切的圓共有個題型五：兩圓連心線的性質(zhì)定理（1）兩個圓的圓心都在軸上，交點為A、B，已知點A的坐標(biāo)為（-2，3），則點B的坐標(biāo)為______。（2）如圖,建筑工地的地面上有三根外徑都是1米到地面的距離為______m.變式訓(xùn)練：如圖是某城市一個主題雕塑的平面示意圖，它由置放于地面l上兩個半徑均為2米的半圓與半徑為4米的⊙A構(gòu)成．點B、C分別是兩個半圓的圓心，⊙A分別與兩個半圓相切于點E、F，BC長為8米=AAEFlBC變式訓(xùn)練：如圖，⊙A與⊙B的半徑都是1，AB＝8，⊙A、⊙B都和⊙O外切，且這三個圓都和直線相切，求⊙O的半徑<六>正多邊形與圓一、知識要點1、正多邊形及其有關(guān)概念：（正多邊