2018-2020年中考圓形題目

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)第=page22頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2018年圓第20題20．（8分）如圖，在△ABC中，O為AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑做圓，與BC相切于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BO交BO的廷長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且∠AOD=∠BAD．（1）求證：AB為⊙O的切線；（2）若BC=6，tan∠ABC=，求AD的長(zhǎng)．【考點(diǎn)要求】切線的判定與性質(zhì)；解直角三角形．【解題技巧】證明AB為⊙O的切線，我們首先應(yīng)該想到證明切線的常見(jiàn)兩條思路，連半徑證垂直和作垂直證半徑，所以我們會(huì)想到作OE⊥AB，再去轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)邊，先由∠AOD=∠BAD求得∠ABD=∠OAD，再由∠BOC=∠D=90°及∠BOC=∠AOD求得∠OBC=∠OAD=∠ABD，最后證△BOC≌△BOE得OE=OC，依據(jù)切線的判定可得；第二問(wèn)同學(xué)們一定要先分析已知來(lái)路，不要忘記第一問(wèn)我們是可以在第二問(wèn)直接用哦，同學(xué)們是不是很容易想到切線長(zhǎng)定理妮？由先求得∠EOA=∠ABC，在Rt△ABC中求得AC=8、AB=10，由切線長(zhǎng)定理知BE=BC=6、AE=4、OE=3，繼而得BO=，再證△ABD∽△OBC得=，據(jù)此可得答案．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，∵AD⊥BO于點(diǎn)D∴∠D=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD+∠OAD=90°，∵∠AOD=∠BAD，∴∠ABD=∠OAD，又∵BC為⊙O的切線，∴AC⊥BC，∴∠BOC=∠D=90°，∵∠BOC=∠AOD，∴∠OBC=∠OAD=∠ABD，在△BOC和△BOE中，∵，∴△BOC≌△BOE（AAS），∴OE=OC，∵OE⊥AB，∴AB是⊙O的切線；（2）∵∠ABC+∠BAC=90°，∠EOA+∠BAC=90°，∴∠EOA=∠ABC，∵tan∠ABC=、BC=6，∴AC=BC?tan∠ABC=8，則AB=10，由（1）知BE=BC=6，∴AE=4，∵tan∠EOA=tan∠ABC=，∴=，∴OE=3，OB==，∵∠ABD=∠OBC，∠D=∠ACB=90°，∴△ABD∽△OBC，∴=，即=，∴AD=．【模擬訓(xùn)練】模擬題1.已知如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點(diǎn)E，連接EO并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接EF．

(1)求證：EF是⊙O的切線；

(2)若⊙O的半徑為3，∠EAC=60°，求AD的長(zhǎng)．

模擬題2.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，∠AED=∠ABC，

(1)求證：DE與⊙O相切；

(2)若BF=2，DF=10，求⊙O的半徑．

模擬題3.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在圓上，且四邊形AOCD是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，分別交OA的延長(zhǎng)線與OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BF．

(1)求證：BF是⊙O的切線；(2)已知⊙O的半徑為1，求EF的長(zhǎng)．

模擬題4.如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC，直線BE⊥AC于點(diǎn)E，線段AB的中垂線交AB、BE、BC延長(zhǎng)線分別于D、O、F三點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作FG//AB交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓．

(1)求證：GF是圓O的切線；

(2)若AE：EC=4：1，BC=210，求CF的長(zhǎng)．

1.【答案】證明：(1)如圖1，連接FO，

∵F為BC的中點(diǎn)，AO=CO，∴OF//AB，∵AC是⊙O的直徑，∴CE⊥AE，∵OF//AB，

∴OF⊥CE，∴OF所在直線垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠OEC=∠OCE，

∵∠ACB=90°，即：∠OCE+∠FCE=90°，∴∠OEC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE為⊙O的切線；

(2)如圖2，∵⊙O的半徑為3，

∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=33，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=33，AC=6，∴AD=37．

2.【答案】(1)證明：連接OD，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，

∵∠BOD=2∠BCD，∠A=2∠BCD，∴∠BOD=∠A，∵∠AED=∠ABC，

∴∠BOD+∠AED=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE與⊙O相切；

(2)解：連接BD，AD，過(guò)D作DH⊥BF于H，

由圓周角定理，∠ADB=90°，∠DAB+∠ABD=90°，∠DAB=∠DCB，∠ADC=∠ABC，

∵∠ODE=90°=∠ADB，∴∠BDE=∠ODA=∠DAB=∠BCD，

而∠AED=∠ABC，∠DFB=∠BCD+∠ABC，∠DBF=∠BDE+∠AED，∴∠DFB=∠DBF，

∴DF=DB，即△DFB都等腰三角形，

∴FH=BH=12BF=1，則FH=1，∴HD=DF2?FH2=3，在Rt△ODH中，OH2+D

3.【答案】(1)證明：連結(jié)OD，如圖，∵四邊形AOCD是平行四邊形，

而OA=OC，

∴四邊形AOCD是菱形，

∴△OAD和△OCD都是等邊三角形，

∴∠AOD=∠COD=60°，

∴∠FOB=60°，

∵EF為切線，

∴OD⊥EF，

∴∠FDO=90°，

在△FDO和△FBO中

OD=OB∠FOD=∠FOBFO=FO，

∴△FDO≌△FBO，

∴∠ODF=∠OBF=90°，

∴OB⊥BF，

∴BF是⊙O的切線；

(2)解：在Rt△OBF∵∠FOB=60°，

而tan∠FOB=BFOB，

∴BF=1×tan60°=3．

∵∠E=30°，

4.【答案】(1)證明：∵BE⊥AC，DF⊥AB，

∴∠BEC=90°，∠BDF=90°，

∴∠1+∠3=∠2+∠ABC=90°，

∵AB=AC，

∴∠3=∠ABC，

∴∠1=∠2，

∴OB=OF，

∴點(diǎn)F在⊙O上，

∵FG//AB，

∴∠GFC=∠ABC，

∴∠2+∠GFC=90°，

即∠OFG=90°，

∴GF⊥OF，

∴GF是圓O的切線；

(2)解：∵AE：EC=4：1，

∴設(shè)AE=4x，EC=x，

∴AC=AE+EC=5x=AB，

在Rt△ABE中，BE=AB2?AE2=3x，

在Rt△BEC中，(3x)2+x2=(210)2，

解得：x=2(負(fù)值舍去)，

∴AB=5×2=10，

∴BD=12AB=5，

2019年圓第19題19．（8分）如圖1，AB為半圓的直徑，點(diǎn)O為圓心，AF為半圓的切線，過(guò)半圓上的點(diǎn)C作CD∥AB交AF于點(diǎn)D，連接BC．（1）連接DO，若BC∥OD，求證：CD是半圓的切線；（2）如圖2，當(dāng)線段CD與半圓交于點(diǎn)E時(shí)，連接AE，AC，判斷∠AED和∠ACD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【考點(diǎn)要求】切線的判定與性質(zhì)．【解題技巧】同學(xué)們第一問(wèn)用到了證明切線的常規(guī)方法，連半徑證垂直，然后利用圓中的性質(zhì)去轉(zhuǎn)角吧，轉(zhuǎn)角是學(xué)習(xí)幾何的一項(xiàng)重要本領(lǐng)，連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB⊥AD，推出四邊形BODC是平行四邊形，得到OB＝CD，等量代換得到CD＝OA，推出四邊形ADCO是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OC∥AD，于是得到結(jié)論；如圖2，連接BE，根據(jù)圓周角定理得到∠AEB＝90°，求得∠EBA+∠BAE＝90°，證得∠ABE＝∠DAE，等量代換即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OC，∵AF為半圓的切線，AB為半圓的直徑，∴AB⊥AD，∵CD∥AB，BC∥OD，∴四邊形BODC是平行四邊形，∴OB＝CD，∵OA＝OB，∴CD＝OA，∴四邊形ADCO是平行四邊形，∴OC∥AD，∵CD∥BA，∴CD⊥AD，∵OC∥AD，∴OC⊥CD，∴CD是半圓的切線；（2）解：∠AED+∠ACD＝90°，理由：如圖2，連接BE，∵AB為半圓的直徑，∴∠AEB＝90°，∴∠EBA+∠BAE＝90°，∵∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠DAE，∵∠ACE＝∠ABE，∴∠ACE＝∠DAE，∵∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝∠AED+∠ACD＝90°．【模擬訓(xùn)練】模擬題1.如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，∠ABC的角平分線交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE//AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

(1)求證：DE為⊙O的切線；

(2)若DE=12AC，求∠ACB的大?。?/p>

模擬題2.已知⊙O是△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線，與CO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，CP與⊙O交于點(diǎn)D．

(I)如圖①，若△ABC為等邊三角形，求∠P的大??；

(II)如圖②，連接AD，若PD=AD，求∠ABC的大?。?/p>

模擬題3.在⊙O中，AB為直徑，C為⊙O上一點(diǎn)．

(Ⅰ)如圖①，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，若∠CAB=27°，求∠P的大??；

(Ⅱ)如圖②，D為AC上一點(diǎn)，連接DC并延長(zhǎng)，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，連接AD，若AD=CD，∠P=30°，求∠CAP的大?。?/p>

模擬題4.如圖，已知AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)作CD⊥AF交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．

(1)試說(shuō)明CD是⊙O的切線；

(2)若AD=5，⊙O的半徑為4，求AE的長(zhǎng)．

1.【答案】解：(1)如圖，連接OD交AC于H，

∵∠ABC的角平分線交⊙O于點(diǎn)D，

∴∠ABD=∠CBD，

∴AD=CD，

∴OD⊥AC，

∵DE//AC，

∴OD⊥DE，

∴DE為⊙O的切線；

(2)∵OD⊥AC，

∴CH=12AC，

∵DE=12AC，

∴CH=DE，

∵DE//AC，

∴四邊形CHDE為平行四邊形，

∵∠ODE=90°，

2.【答案】解：(Ⅰ)如圖①，連接AO，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ABC=60°，

∴∠AOC=2∠ABC=120°，

∵∠AOC+∠AOF=180°，

∴∠AOP=60°，

∵PA是⊙O的切線，

∴PA⊥AO，

∴∠PAO=90°，

∴∠P+∠AOP=90°，

∴∠P=90°?∠AOP=90°?60°=30°；

(Ⅱ)如圖②，

∵PD=AD，

∴∠P=∠PAD，

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠OAD，

∵∠ADO=∠P+∠PAD=2∠PAD，

∴∠OAD=2∠PAD，

∵PA是⊙O的切線，

∴PA⊥AO，

∴∠PAO=90°，

∴∠PAD+∠OAD=90°，

∴∠PAD+2∠PAD=90°，

∴∠PAD=30°，

∴∠ADO=2∠PAD=60°，

∴∠ADC=60°，

∴∠ABC=∠ADC=60°．

3.【答案】解：(Ⅰ)如圖①，連接OC，

∵⊙O與PC相切于點(diǎn)C，

∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，

∵∠CAB=27°，

∴∠COB=2∠CAB=54°，

在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，

∴∠P=90°?∠COP=36°；

(Ⅱ)連接OC，OD，

∵AD=CD，

∴∠AOD=∠COD，

∵OA=OD=OC，

∴∠OAD=∠ADO=∠ODC=∠DCO，

∵∠P=30°，

∴∠PAD+∠ADP=150°，

∴∠COP=∠DCO?∠P=20°，

∵∠CAP=12∠COP，

∴∠CAP=10°．

4.【答案】解：(1)連接OE，

∵AE平分∠BAF，

∴∠OAE=∠DAE，

∵OE=OA，

∴∠OAE=∠OEA，

∴∠OEA=∠DAE，

∴OE//AD，

∵AD⊥CD，

∴OE⊥CD，

∵OE過(guò)O，

∴CD是⊙O的切線；

(2)連接BE，

∵AB是⊙O的直徑，AD⊥CD，

∴∠BEA=∠ADE=90°，

∵∠BAE=∠DAE，

∴△AEB∽△ADE，

∴AEAD=ABAE，

∵AD=5，⊙O的半徑為4，

∴AE5=2020江西中考圓第21題21．（9分）已知∠MPN的兩邊分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，⊙O的半徑為r．（1）如圖1，點(diǎn)C在點(diǎn)A，B之間的優(yōu)弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度數(shù)；（2）如圖2，點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PC最大時(shí)，要使四邊形APBC為菱形，∠APB的度數(shù)應(yīng)為多少？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若PC交⊙O于點(diǎn)D，求第（2）問(wèn)中對(duì)應(yīng)的陰影部分的周長(zhǎng)（用含r的式子表示）．【考點(diǎn)要求】圓的綜合題．圖形的全等；矩形菱形正方形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；【解題技巧】同學(xué)們拿到這道題首先不要急著去動(dòng)手，應(yīng)該從題目所給的已知條件出發(fā)，在對(duì)應(yīng)圖當(dāng)中用鉛筆做好標(biāo)記，根據(jù)已知線索聯(lián)想圓中的相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)，這道題大家是不是發(fā)現(xiàn)了和我們平時(shí)練的的切線長(zhǎng)定理模型類似呢？所以會(huì)想到連接OA，OB，由切線的性質(zhì)可求∠PAO＝∠PBO＝90°，由四邊形內(nèi)角和可求解；當(dāng)∠APB＝60°時(shí)，四邊形APBC是菱形，連接OA，OB，由切線長(zhǎng)定理可得PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，由“SAS”可證△APC≌△BPC，可得∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，可證AP＝AC＝PB＝BC，可得四邊形APBC是菱形；分別求出AP，PD的長(zhǎng)，由弧長(zhǎng)公式可求，即可求解．本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，全等三角形的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，菱形的判定等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．【解答】解：（1）如圖1，連接OA，OB，∵PA，PB為⊙O的切線，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360°，∴∠APB+∠AOB＝180°，∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°；（2）如圖2，當(dāng)∠APB＝60°時(shí)，四邊形APBC是菱形，連接OA，OB，由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝60°＝∠APB，∵點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到PC距離最大，∴PC經(jīng)過(guò)圓心，∵PA，PB為⊙O的切線，∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°， 又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC（SAS），∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴AP＝AC，∴AP＝AC＝PB＝BC，∴四邊形APBC是菱形；（3）∵⊙O的半徑為r，∴OA＝r，OP＝2r，∴AP＝，PD＝r，∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°，∴的長(zhǎng)度＝＝，∴陰影部分的周長(zhǎng)＝PA+PD+＝＝．【模擬訓(xùn)練】模擬題1.如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC、AC分別交于D、E兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．

(1)判斷DF與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)求證：點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)；

(3)若⊙O的半徑為2，∠C=67.5°，求陰影部分的面積．

模擬題2.如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，BC交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)．(1)試判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;(2)若⊙O的半徑為2，∠B=50°，AC=4.8，求圖中陰影部分的面積．

模擬題3.如圖，AB是半圓O的直徑，C是半徑OA上一點(diǎn)，PC⊥AB，點(diǎn)D是半圓上位于PC右側(cè)的一點(diǎn)，連接AD交線段PC于點(diǎn)E，且PD=PE．

(1)求證：PD是⊙O的切線；

(2)若⊙O的半徑為4，PC=8，設(shè)OC=x，PD2=y．

①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)x=1時(shí)，求tan∠BAD的值．

模擬題4.如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC=90°，四邊形EBOC是平行四邊形，EB交⊙O于點(diǎn)D，連接CD并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)(1)求證：CF是⊙O的切線;(2)若∠F=30°，EB=8，求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留根號(hào)和π)

1.【答案】(1)解：DF與⊙O相切，理由如下：

連接OD，如圖1所示：

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠B，

又∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴∠ODB=∠C，

∴OD//AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∵點(diǎn)D在⊙O上，

∴DF是⊙O的切線；

(2)證明：連接DE，如圖2所示：

∵∠DEC+∠AED=180°，∠B+∠AED=180°，

∴∠DEC=∠B，

又∵∠B=∠C，

∴∠C=∠DEC，

∴DE=DC，

又∵DF⊥AC，

∴EF=FC，

即點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)；

(3)解：連接OE，如圖3所示：

∵∠C=67.5°，A