第05講空間向量與立體幾何（原卷版）

第05講空間向量與立體幾何1．空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共面向量平行于同一個(gè)平面的向量2．空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底．3．空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念①兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.②非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律：①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(3)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夾角余弦值cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))4．空間位置關(guān)系的向量表示(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．(3)位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0一．空間向量的線性運(yùn)算例1．（1）四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，若，則等于（

）A． B．1 C． D．2（2）已知四面體O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點(diǎn)，且OG＝3GG1，若，則為（

）A．B．C．D．（3）在斜三棱柱中，的中點(diǎn)為，，則可用表示為_(kāi)______________．（4）如圖，已知空間四邊形ABCD中，，，對(duì)角線AC，BD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則＝________.(用向量表示)【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來(lái).二．共線定理的應(yīng)用例2．（1）已知空間向量，，（其中x、），如果，則（

）A．1 B．2 C．2 D．1（2）對(duì)于空間任意兩個(gè)非零向量，，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件（3）（多選）若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足=m+n，其中m+n=1，則結(jié)論正確的有（

）A．P∈直線AB B．P?直線ABC．O，A，B，P四點(diǎn)共面 D．P，A，B三點(diǎn)共線【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較三點(diǎn)(P，A，B)共線空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))且同過(guò)點(diǎn)Peq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))（4）(多選)下列各組向量中，是平行向量的是()A．a(chǎn)＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40)三．空間向量基本定理的應(yīng)用例3．（1）若空間向量共面，則實(shí)數(shù)__________.（2）已知A，B，C三點(diǎn)共線，則對(duì)空間任一點(diǎn)O，若，則μ＝________；存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ，m，n，使，那么λ＋m＋n的值為_(kāi)_______．（3）已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．(=1\*romani)判斷eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三個(gè)向量是否共面；(=2\*romanii)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：證明空間四點(diǎn)P，M，A，B共面的方法(1)eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→)))．（4）如圖所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，點(diǎn)M，N分別在AC1和BC上，且滿足eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．判斷向量eq\o(MN,\s\up6(→))是否與向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面．四．空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用例4．（1）（多選）正方體的棱長(zhǎng)為1，體對(duì)角線與，相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．（2）空間四邊形中，，，則的值是（

）A． B． C． D．（3）如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．（4）已知空間中非零向量，，且，，，則的值為（

）．A． B．97 C． D．61（54）已知，，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．（6）（多選）已知四面體的所有棱長(zhǎng)都是分別是棱的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)由向量數(shù)量積的定義知，要求a與b的數(shù)量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計(jì)算準(zhǔn)確．(2)利用向量的數(shù)量積可證明線段的垂直關(guān)系，也可以利用垂直關(guān)系，通過(guò)向量共線確定點(diǎn)在線段上的位置．(3)利用夾角公式，可以求異面直線所成的角，也可以求二面角．(4)可以通過(guò)|a|＝eq\r(a2)，將向量的長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的問(wèn)題求解．五．向量法證明平行、垂直例5．（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn)．(=1\*romani)證明：B1D⊥平面ABD；(=2\*romanii)證明：平面EGF∥平面ABD.（2）在三棱臺(tái)ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=C1C=2A1B1，O為AC的中點(diǎn)，P是C1C的中點(diǎn)．證明：平面A1BC⊥平面POB.（3）如圖，在三棱錐PABC中，，D是BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知．(=1\*romani)求證：AP⊥BC；(=2\*romanii)若點(diǎn)M是線段AP是一點(diǎn)，且．試證明平面AMC⊥平面BMC．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)利用向量證明平行問(wèn)題①線線平行：方向向量平行．②線面平行：平面外的直線方向向量與平面法向量垂直．③面面平行：兩平面的法向量平行．(2)利用向量法證垂直問(wèn)題的類型及常用方法線線垂直問(wèn)題證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零線面垂直問(wèn)題直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直面面垂直問(wèn)題兩個(gè)平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直1．如圖，在中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．2．下列命題中正確的是（

）A．空間任意兩個(gè)向量共面B．向量、、共面即它們所在直線共面C．若，，則與所在直線平行D．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使3．已知向量，不共線，，，，則（

）A．與共線 B．與共線C．，，，四點(diǎn)不共面 D．，，，四點(diǎn)共面4．如圖，在四棱錐中，平面BCDE，四邊形BCDE為直角梯形，，，，，為等腰直角三角形，點(diǎn)F在棱上，若點(diǎn)P為DB的中點(diǎn)，且平面，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．在正四面體中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則與的夾角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°6．已知三點(diǎn)不共線，是平面外任意一點(diǎn)，若由確定的一點(diǎn)與三點(diǎn)共面，則等于（

）A． B． C． D．7．平面α內(nèi)有五點(diǎn)A，B，C，D，E，其中無(wú)三點(diǎn)共線，O為空間一點(diǎn)，滿足，，則x＋3y等于（

）A． B． C． D．8．下面關(guān)于空間向量的說(shuō)法正確的是（

）A．若向量平行，則所在直線平行B．若向量所在直線是異面直線，則不共面C．若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量，不共面D．若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量，，不共面9．如圖所示，在平行六面體中，M為與，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．10．如圖，已知四棱柱的體積為，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，則三棱錐與三棱錐的公共部分的體積為（

）A． B． C． D．11．如圖，三棱錐中，和都是等邊三角形，，，為棱上一點(diǎn)，則的值為（

）A． B．1 C． D．12．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)，則的值為（

）A．1 B．0 C．1 D．213．在三棱錐中，，，，則（

）A． B． C．1 D．14．如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點(diǎn)，則的值為（

）A．1 B． C． D．15．若，，則等于（

）A．5 B． C．7 D．16．已知，，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．17．如圖，在平行六面體中，，，，則（

）A．12 B．8 C．6 D．418．已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，且，則（

）A． B． C． D．19．四面體中，，則（

）A． B． C． D．20．已知長(zhǎng)方體，下列向量的數(shù)量積一定不為0的是（

）A． B． C． D．21．如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，圓錐PO的軸截面PAE是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是底面圓的內(nèi)接正三角形．則（

）A． B． C． D．22．已知為標(biāo)準(zhǔn)正交基底，，則在方向上的投影數(shù)量為（

）A．1B．－1C．D．－23．已知正四面體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．24．如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．//B．C．//平面D．平面25．（多選）已知向量與共線，則實(shí)數(shù)λ的值可能是（

）A．－3B．2C．D．026．（多選）下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（

）A．B．C．D．27．（多選）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的是（

）A．若非零向量，，滿足，，則有B．任意向量，，滿足C．若，，是空間的一組基底，且，則四點(diǎn)共面D．已知向量，，若，則為銳角28．（多選）已知空間向量，則（

）A． B．是共面向量C． D．29．（多選）下列說(shuō)法正確的是（

）A．設(shè)是兩個(gè)空間向量，則一定共面B．設(shè)是三個(gè)空間向量，則一定不共面C．設(shè)是兩個(gè)空間向量，則D．設(shè)是三個(gè)空間向量，則30．（多選）設(shè)，為空間中的任意兩個(gè)非零向量，下列各式中正確的有（

）A． B．C． D．31．在四面體中，已知為線段上的點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，且，若，則的值為_(kāi)__________.32．已知、分別是四面體的棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，設(shè)向量，，，則______(用表示)33．正四面體ABCD中，若M是棱CD的中點(diǎn)，，，則______.34．空間四邊形ABCD中，AC與BD是四邊形的兩條對(duì)角線，M，N分別為線段AB，CD上的兩點(diǎn)，且滿足，，若點(diǎn)G在線段MN上，且滿足，若向量滿足，則______．35．在四面體中，棱，，兩兩垂直，且，，，為的重心，則______．36．已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則的值為_(kāi)________.37．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則向量在向量方向上的投影數(shù)量的取值范圍為_(kāi)_____．38．已知O(0,0,0)，A(1,2,1)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是________．39．如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且．(1