余弦定理高一數(shù)學(xué)系列

人教A版2019高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第6章平面向量及其應(yīng)用?CBcbA﹚a6.4.2

余弦定理創(chuàng)設(shè)情境

武廣高鐵的路線規(guī)劃要經(jīng)過(guò)一座小山丘，就需要挖隧道，從而涉及到一個(gè)問(wèn)題，就是要測(cè)量出山腳的長(zhǎng)度.而兩山腳之間的距離是沒(méi)有辦法直接測(cè)量的，那要怎樣才能知道山腳的長(zhǎng)度呢？ABC500m120°實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題在△ABC中，已知AC=500m，BC=300m，C=120°，求AB.300mbac=？從特殊到一般：已知三角形的兩邊及其夾角,求第三邊.即：已知a、b及C,求c.設(shè)，

那么

所以

①把幾何元素用向量表示：②進(jìn)行恰當(dāng)?shù)南蛄窟\(yùn)算：③向量式化成幾何式：cba探究1：如右圖，在△ABC中，三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，怎樣用a，b和C表示c？請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍淖円阎倪吅徒牵桓淖冞吔俏恢藐P(guān)系，看又能得出什么結(jié)果？1、余弦定理余弦定理三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.即已知兩邊和夾角，求第三邊(SAS型)對(duì)余弦定理，還有其他證明方法嗎?1、余弦定理bAacCB

以CB所在的直線為x軸，過(guò)C點(diǎn)垂直于CB的直線為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：xy解析法幾何法在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,

作CD⊥AB，則CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba同理有：

當(dāng)然，對(duì)于鈍角三角形來(lái)說(shuō)，證明類似，課后自己完成。D

余弦定理及其推論把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法從數(shù)量化的角度進(jìn)行了刻畫.2、余弦定理的推論余弦定理的應(yīng)用已知三角形的三邊，求三角形的三個(gè)內(nèi)角——考什么已知三角形的兩邊及夾角，求其他邊和角AaBCbcAcbAbc><=由此可以猜想：余弦定理可以判斷三角形的類型.探究：當(dāng)角C為直角時(shí)，有c2=a2+b2，當(dāng)角C為銳角時(shí)，這三者的關(guān)系是什么？鈍角呢？推論：當(dāng)C為銳角時(shí)，c2

a2+b2當(dāng)C為鈍角時(shí)，c2

a2+b2當(dāng)C為直角時(shí)，c2

a2+b22、余弦定理的推論典例分析題型1已知三邊解三角形解：由余弦定理得例1在△ABC中，a=，b=2，c=，解這個(gè)三角形.1典例分析題型2已知兩邊及其夾角解三角形例2

在△ABC中，已知b＝3，c＝

，A＝30°，解這個(gè)三角形.解：由余弦定理，得由余弦定理的推論，得所以C=180°－(A+B)=180°－(30°+60°)=90°．a(chǎn)2=b2+c2－2bccosA

=32+()2－2×3××cos30°=3所以

a=所以B=60°．典例分析等腰三角形題型3判斷三角形形狀C課堂檢測(cè)B3、解三角形的定義

一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形．探究：在三角形的三條邊和三個(gè)角中，已知哪些元素，可以求出哪些元素？1、已知兩邊和夾角求第三邊。2、已知三邊求三角。3、判斷三角形的形狀。典例分析例1

在△ABC中，已知b＝3，c＝

，A＝30°，解這個(gè)三角形.解：由余弦定理，得由余弦定理的推論，得所以C=180°－(A+B)=180°－(30°+60°)=90°．a(chǎn)2=b2+c2－2b