第7章 典型的代數(shù)系統(tǒng)

重慶文理學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院

離散數(shù)學(xué)第七章典型的代數(shù)系統(tǒng)AnIntroductiontoDatabaseSystenm第七章典型的代數(shù)系統(tǒng)7.1半群與群7.2環(huán)和域7.3格與布爾代數(shù)AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1半群與群7.1.1半群與獨(dú)異點(diǎn)7.1.2群的定義與性質(zhì)7.1.3子群7.1.4陪集與拉格朗日定理7.1.5正規(guī)子群與商群7.1.6群的同態(tài)與同構(gòu)AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.1半群與獨(dú)異點(diǎn)定義7.1.1（1）設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)，為二元運(yùn)算，如果是可結(jié)合的，則稱V為半群。（2）設(shè)是半群，若是關(guān)于運(yùn)算的幺元，則稱V是幺半群，也叫做獨(dú)異點(diǎn)。有時(shí)也將獨(dú)異點(diǎn)V記作。例7.1.1

（1）、、、、都是半群，+是普通加法。且這些半群中除外都是獨(dú)異點(diǎn)。（2）為半群，也是獨(dú)異點(diǎn)，其中為集合的對(duì)稱差運(yùn)算。（3）設(shè)n是大于1的正整數(shù)，和都是半群，也都是獨(dú)異點(diǎn)，其中+和分別表示矩陣加法和矩陣乘法。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.1半群與獨(dú)異點(diǎn)因?yàn)榘肴褐械倪\(yùn)算是可結(jié)合的，可以定義運(yùn)算的冪。對(duì)任意，規(guī)定是

用數(shù)學(xué)歸納法不難證明x的冪遵從以下運(yùn)算規(guī)則：普通乘法的冪、關(guān)系的冪、矩陣乘法的冪等都遵從這個(gè)冪運(yùn)算規(guī)則。如果半群中的二元運(yùn)算是可交換的，則稱V為可交換半群。例7.1.1中（1）,（2）都是可交換的半群，而（3）不是，因?yàn)榫仃嚨某朔ㄟ\(yùn)算不適合交換律。獨(dú)異點(diǎn)是特殊的半群，可以把半群的冪運(yùn)算推廣到獨(dú)異點(diǎn)中去。由于獨(dú)異點(diǎn)V中含有幺元e，對(duì)任意的，可以定義x的零次冪，即AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.1半群與獨(dú)異點(diǎn)半群的子代數(shù)叫做子半群，獨(dú)異點(diǎn)的子代數(shù)叫做子獨(dú)異點(diǎn)。根據(jù)子代數(shù)的定義可知，若V=<S,?>是半群，T?S，只要T對(duì)V中的運(yùn)算封閉，那么<T,?>就是V的子半群。對(duì)獨(dú)異點(diǎn)<S,?,e>來說，T?S，不僅T要對(duì)V中的運(yùn)算?封閉，而且e∈T，此時(shí)<T,?,e>才構(gòu)成V的子獨(dú)異點(diǎn)。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.1半群與獨(dú)異點(diǎn)定義7.1.2設(shè)，為半群，則也是半群，且對(duì)任意的有稱為和的積半群。定義7.1.3設(shè)，為半群，，且對(duì)任意的有

則稱為半群到的同態(tài)。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1半群與群7.1.1半群與獨(dú)異點(diǎn)7.1.2群的定義與性質(zhì)7.1.3子群7.1.4陪集與拉格朗日定理7.1.5正規(guī)子群與商群7.1.6群的同態(tài)與同構(gòu)AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.2群的定義與性質(zhì)定義7.1.4設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)，為二元運(yùn)算，如果是可結(jié)合的，存在幺元，且對(duì)G中的所有元素x都有，則稱G為群。若群G中的二元運(yùn)算是可交換的，則稱群G為交換群，也叫阿貝爾群。若群G中有無限多個(gè)元素，則稱群G為無限群；否則稱為有限群。對(duì)于有限群G，G中的元素個(gè)數(shù)也叫做G的階，記作。只包含一個(gè)元素的群，即G={e}，稱為平凡群。例7.1.6（1）是阿貝爾群，幺元是0，每個(gè)的逆元是。（2）是阿貝爾群，幺元是1，每個(gè)的逆元是。（3）和都是無限群，是有限群，其階是n，Klein四元群也是有限群，其階是4。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.2群的定義與性質(zhì)定理7.1.2設(shè)為半群，若（1）有左幺元，即，使，；（2）每個(gè)元素有左逆元，即，，使，則是群。例7.1.7

考慮代數(shù)系統(tǒng)，其中

是G上的矩陣乘法運(yùn)算。則是半群，且（1）是的左幺元；

（2），；但無右幺元，故不是群。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.2群的定義與性質(zhì)定理7.1.3設(shè)G為半群，對(duì)，若方程和在G中都有解，則是群。定理7.1.4設(shè)G為群，則G中的冪運(yùn)算滿足：（1），。（2），。（3），。（4），。（5）若G為交換群，則。定理7.1.5群中不可能有零元。定理7.1.6設(shè)G為群，則（1），方程和在G中都有唯一解；（2）G中消去律成立，即對(duì)，有若，則若，則AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.2群的定義與性質(zhì)元素的階的概念：設(shè)<G,?>是群，若a∈G，使得成立的最小正整數(shù)r，稱為a的階，記為|a|。

定理7.1.6設(shè)G為群，a∈G，且。設(shè)k是整數(shù)，則（1）當(dāng)且僅當(dāng)（r整除k）。（2）。定理7.1.7設(shè)G為有限群，，則，。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1半群與群7.1.1半群與獨(dú)異點(diǎn)7.1.2群的定義與性質(zhì)7.1.3子群7.1.4陪集與拉格朗日定理7.1.5正規(guī)子群與商群7.1.6群的同態(tài)與同構(gòu)AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.3子群群的子代數(shù)叫做子群，定義如下：定義7.1.5設(shè)G為群，H是G的非空子集，如果H關(guān)于G中的運(yùn)算構(gòu)成群，則稱H是G的子群，記作H≤G。若H是G的子群且則稱H是G的真子群，記作。對(duì)任何群G都存在子群。G和{e}都是G的子群，它們稱為G的平凡子群。定理7.1.8設(shè)G為群，H≤G，則（1）H的幺元就是G的幺元。（2），a在H中的逆元就是a在G中的逆元。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.3子群子群的判定定理。定理7.1.9（判定定理1）設(shè)G為群，H是G的非空子集。H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)下面的條件成立：（1），有。（2），有。定理7.1.10（判定定理2）設(shè)G為群，H是G的非空子集。H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)有。定理7.1.11（判定定理3）設(shè)G為群，H是G的非空子集。如果H是有窮集，則H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)有。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1半群與群7.1.1半群與獨(dú)異點(diǎn)7.1.2群的定義與性質(zhì)7.1.3子群7.1.4陪集與拉格朗日定理7.1.5正規(guī)子群與商群7.1.6群的同態(tài)與同構(gòu)AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.4陪集與拉格朗日定理定義7.1.6設(shè)H是G的子群，。集合稱為由a確定的子群H在群G中的左陪集，稱a為aH的代表元素。集合稱為由a確定的子群H在群G中的右陪集，稱a為Ha的代表元素。例7.1.17（1）設(shè)是Klein群，是G的子群。那么H的所有的右陪集是：不同的右陪集只有兩個(gè)，即和H。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.4陪集與拉格朗日定理（2）設(shè)，是A上的雙射函數(shù)。其中令，則G關(guān)于函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成群。考慮G的子群做出H的全體右陪集如下：易見，，，不同的右陪集只有三個(gè)，每個(gè)右陪集都是G的子集。做出H的全體左陪集如下：易見，，，不同的左陪集只有三個(gè)，每個(gè)左陪集都是G的子集。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.4陪集與拉格朗日定理定理7.1.12設(shè)H是G的子群，則（1）（2）有定理7.1.13設(shè)H是G的子群，則有定理7.1.14設(shè)H是G的子群，在G上定義二元關(guān)系

則R是G上的等價(jià)關(guān)系，且。推論設(shè)H是G的子群，則（1），或（2）

AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.4陪集與拉格朗日定理

以上是對(duì)子群H的右陪集及其性質(zhì)的討論。類似地，也可以得到H的左陪集的性質(zhì)：（1）。（2），有。（3），有。（4）若G上定義二元關(guān)系，有則R是G上的等價(jià)關(guān)系，且。值得注意的是，盡管子群的右陪集和左陪集是不相等的，但右陪集的個(gè)數(shù)與左陪集的個(gè)數(shù)卻是相等的。因此以后不加區(qū)分地統(tǒng)稱為H在G中的陪集數(shù)，也叫做H在G中的指數(shù)，記作[G:H]。

AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.4陪集與拉格朗日定理定理7.1.15（拉格朗日定理）設(shè)G是有限群，H是G的子群，則即，有限群的子群的階必能整除該群的階。推論1對(duì)n階有限群G中的任何元素a，必有，其中e是群G中的幺元。推論2素?cái)?shù)階的群只有平凡子群。拉格朗日定理對(duì)分析有限群中元素的階很有用，但值得注意的是，這個(gè)定理的逆命題并不為真。

AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1半群與群7.1.1半群與獨(dú)異點(diǎn)7.1.2群的定義與性質(zhì)7.1.3子群7.1.4陪集與拉格朗日定理7.1.5正規(guī)子群與商群7.1.6群的同態(tài)與同構(gòu)AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.5正規(guī)子群與商群

定義7.1.7設(shè)H是G的子群，如果?a∈G都有aH=Ha，則稱H為G的正規(guī)子群，記作。對(duì)于正規(guī)子群，不必區(qū)分左陪集或右陪集，而簡(jiǎn)稱為陪集。值得注意的是，aH=Ha并不意味著?h∈H，ah=ha，而是指?h1∈H，?h2∈H，使得ah1=h2a。任何群G都有正規(guī)子群，因?yàn)镚的兩個(gè)平凡子群G和{e}都是G的正規(guī)子群。如果G是阿貝爾群，則G的所有子群都是正規(guī)子群。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.5正規(guī)子群與商群

定理7.1.16設(shè)H是G的子群，則下列條件等價(jià)：（1）（2），（3），（4），，

AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.5正規(guī)子群與商群由群G和G的正規(guī)子群H可以定義一個(gè)新的群，就是G的商群G/H。設(shè)G是群，H是G的正規(guī)子群，令G/H是H在G中的全體右陪集（或左陪集）構(gòu)成的集合，即G/H={Ha|a∈G}在G/H上定義二元運(yùn)算?如下：?Ha,Hb∈G/H，Ha?Hb=Hab可以證明G/H關(guān)于運(yùn)算?構(gòu)成一個(gè)群<G/H,?>，稱為G的商群。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1半群與群7.1.1半群與獨(dú)異點(diǎn)7.1.2群的定義與性質(zhì)7.1.3子群7.1.4陪集與拉格朗日定理7.1.5正規(guī)子群與商群7.1.6群的同態(tài)與同構(gòu)AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.6群的同態(tài)與同構(gòu)

定義7.1.8設(shè)、是群，，若都有則稱是群到群的同態(tài)映射，簡(jiǎn)稱同態(tài)。例7.1.25（1）設(shè)是整數(shù)加群，是模n的整數(shù)加群。令則是群到群的同態(tài)。因?yàn)?，有?）設(shè)是實(shí)數(shù)加群，是非零實(shí)數(shù)關(guān)于普通乘法構(gòu)成的群。令則是群到群的同態(tài)。因?yàn)?，有AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.6群的同態(tài)與同構(gòu)定義7.1.9設(shè)，是群到群的同態(tài)，（1）若是滿射的，則稱為滿同態(tài)，這時(shí)也稱是的同態(tài)像，記作。（2）若是單射的，則稱為單同態(tài)。（3）若是雙射的，則稱為同構(gòu)，記作。（4）若，則稱是群G的自同態(tài)。定理7.1.17設(shè)是群到群的同態(tài)映射，和分別為和的幺元，則（1）（2）AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.1.6群的同態(tài)與同構(gòu)例7.1.26設(shè)是有理數(shù)加群，是非零有理數(shù)乘法群。證明不存在G2到G1的同構(gòu)。證明：假設(shè)是G2到G1的同構(gòu)，那么有于是有從而有，這與的單射性矛盾。因此不存在G2到G1的同構(gòu)。定義7.1.10設(shè)是群G1到群G2的同態(tài)，令其中e2為G2的幺元，稱為同態(tài)的核。定理7.1.18設(shè)是群G1到群G2的同態(tài)映射，（1）；（2）是單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)，其中為G1的幺元。AnIntroductiontoDatabaseSystenm第七章典型的代數(shù)系統(tǒng)7.1半群與群7.2環(huán)和域7.3格與布爾代數(shù)AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2環(huán)和域7.2.1環(huán)的定義7.2.2整環(huán)與域7.2.3環(huán)與域的性質(zhì)7.2.4子環(huán)、理想與商環(huán)AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2.1環(huán)的定義

定義7.2.1設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)，R為集合，+，為二元運(yùn)算，如果（1）為阿貝爾群；（2）為半群；（3）乘法對(duì)加法+滿足分配律，則稱是環(huán)。例7.2.1（1），，，都是環(huán)，其中+和分別為數(shù)的普通加法和乘法。（2）是環(huán)，其中是n階實(shí)矩陣的集合，+和分別為矩陣的加法和乘法。（3）是模n的整數(shù)環(huán)，其中，和分別表示模n的加法和乘法。即，有在中，的幺元稱為零元，記作0。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2.1環(huán)的定義對(duì)，a關(guān)于+的逆元稱為a的負(fù)元，記作-a。，簡(jiǎn)記為。對(duì)，記作。對(duì)，，a關(guān)于+的n次冪稱為a的n倍，記為na。

定理設(shè)<R,+,·>是環(huán)，則，，有其中，0是加法幺元。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2環(huán)和域7.2.1環(huán)的定義7.2.2整環(huán)與域7.2.3環(huán)與域的性質(zhì)7.2.4子環(huán)、理想與商環(huán)AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2.2整環(huán)與域定義7.2.2設(shè)<R,+,·>是環(huán)，（1）若半群<R,·>是可交換的，則稱<R,+,·>為可交換環(huán)。（2）若<R,·>是獨(dú)異點(diǎn)，則稱<R,+,·>為含幺環(huán)，并把<R,·>的幺元記為1。（3）若?a,b∈R-{0}，使得a·b=0，則稱<R,+,·>為有零因子環(huán)，并稱a和b為<R,+,·>的零因子。若?a,b∈R,a·b=0，必有a=0或b=0，則稱<R,+,·>為無零因子環(huán)。（4）若<R,+,·>是交換環(huán)、含幺環(huán)和無零因子環(huán)，則稱<R,+,·>為整環(huán)。定義7.2.3設(shè)代數(shù)系統(tǒng)<F,+,·>滿足：(1).<F,+>是阿貝爾群；(2).<F-{0},·>為阿貝爾群；(3).運(yùn)算·對(duì)運(yùn)算+滿足分配律，則稱代數(shù)系統(tǒng)<F,+,·>為域。

AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2環(huán)和域7.2.1環(huán)的定義7.2.2整環(huán)與域7.2.3環(huán)與域的性質(zhì)7.2.4子環(huán)、理想與商環(huán)AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2.3環(huán)與域的性質(zhì)定理7.2.1設(shè)<R,+,·>是環(huán)，則，有（1）（2）（3）（4）

（5）

（6）若，則，即二項(xiàng)式定理成立。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2.3環(huán)與域的性質(zhì)例7.2.5

在環(huán)中計(jì)算和。解：

定理7.2.2設(shè)<R,+,·>是環(huán)，則<R,+,·>是無零因子環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)在R中乘法滿足消去律。定理7.2.3兩個(gè)域的積代數(shù)不是域。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2環(huán)和域7.2.1環(huán)的定義7.2.2整環(huán)與域7.2.3環(huán)與域的性質(zhì)7.2.4子環(huán)、理想與商環(huán)AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2.4子環(huán)、理想與商環(huán)

定義7.2.3設(shè)<R,+,·>是環(huán)，S是R的非空子集。若<S,+,·>也是環(huán)，則稱<S,+,·>為<R,+,·>的子環(huán)。定義7.2.4設(shè)<R,+,·>是環(huán)，S是R的非空子集。若對(duì)S中任意元素a和b，有(1)a+b∈S(2)-a∈S(3)0∈S(4)ab∈S則稱<S,+,·>為<R,+,·>的子環(huán)。

上述定義中的(1),(2)和(3)說明<S,+>為<R,+>的子群，而(4)說明<S,·>為<R,·>的子半群。子環(huán)必是環(huán)，且其零元與原環(huán)零元一致。顯然，任意環(huán)都有兩個(gè)平凡子環(huán)，即它自身和<{0},+,·>。定理7.2.5設(shè)<R,+,·>是環(huán)，S是R的非空子集。如果（1）?a,b∈S，有a-b∈S（2）?a,b∈S，有a·b∈S則<S,+,·>是<R,+,·>的子環(huán)。AnIntroductiontoDatabaseSystenm7.2.4子環(huán)、理想與商環(huán)

定義7.2.4

設(shè)<R,+,·>是環(huán)，<D,+,·>是其子環(huán)。若?a∈D和?x∈R有a·x∈D(或x·a∈D)，則稱<D,+,·>是<R,+,·>的右(左)理想子環(huán)，簡(jiǎn)稱右(左)理想。若?a∈D和?x∈R