第1章 數(shù)字系統(tǒng)與編碼

第一章數(shù)字系統(tǒng)與編碼

1.1數(shù)字系統(tǒng)中的進(jìn)位制

1.2數(shù)字系統(tǒng)中編碼

返回1.1數(shù)字系統(tǒng)中的進(jìn)位制

1.1.1數(shù)制

1.1.2數(shù)制轉(zhuǎn)換

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1.1.1數(shù)制

數(shù)制是人們對數(shù)量計(jì)數(shù)的一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律，也就是按進(jìn)位方式實(shí)現(xiàn)計(jì)數(shù)的一種規(guī)則。在日常生活中常用的數(shù)制是十進(jìn)制、十二進(jìn)制、六十進(jìn)制等等。

返回1.術(shù)語1）基數(shù)：表示某種進(jìn)位制所具有的數(shù)字符號的個數(shù)。

例如：

十進(jìn)制（基數(shù)為“10”，數(shù)碼包括0-9）二進(jìn)制（基數(shù)為“2”，數(shù)碼包括0、1）十六進(jìn)制（基數(shù)為“16”，數(shù)碼包括0-9、A-F）

2）權(quán)：也叫位權(quán)，表示某種進(jìn)位制的數(shù)中不同位置上數(shù)字的單位數(shù)值。

例如：

十進(jìn)制數(shù)234.56(234.56)

百位十位個位十分位百分位權(quán)：10210110010-110-2

2.數(shù)的表示方法對于一個一般的十進(jìn)制數(shù)N，它可表示成：(N)10=(dn-1dn-2…d1d0·d-1d-2…d-m)10

（并列表示法）

或(N)10=dn-1

(10)n-1+dn-2(10)n-2+…d1(10)1+d0(10)0+d-1(10)-1+d-2(10)-2+…d-m(10)-m=

（按權(quán)展開式）一般地，對于任意進(jìn)制數(shù)可表示為：(N)R=(rn-1rn-2…r1r0·r-1r-2…r-m)R

=rn-1Rn-1+rn-2Rn-2+…+r1R1+r0R0+r-2R-2+…+r-mR-m

=

在數(shù)字系統(tǒng)中，常用二進(jìn)制數(shù)來表示數(shù)和進(jìn)行運(yùn)算。這時R寫成“2”，ri∈｛0,1｝。二進(jìn)制算術(shù)運(yùn)算十分簡單，規(guī)則如下：加法規(guī)則0+0=0，0+1=1+0=1，1+1=10乘法規(guī)則0×0=0，0×1=1×0=0，1×1=1

例1.1兩個二進(jìn)制數(shù)相加，采用“逢二進(jìn)一”的法則解:1101+)1001________________10110

例1.2兩個二進(jìn)制數(shù)相減，采用“借一當(dāng)二”的法則解1101-)0110_______________

0111

例1.3兩個二進(jìn)制數(shù)相乘，其方法與十進(jìn)制乘法運(yùn)算相似，但采用二進(jìn)制運(yùn)算規(guī)則。解

1011×)1101__________________

1011

0000

1011

1011__________________________

10001111

例1.4兩個二進(jìn)制數(shù)相除，其方法與十進(jìn)制除法運(yùn)算相似，但采用二進(jìn)制運(yùn)算規(guī)則。解1010……商____________________1101）100010011101__________________100001101________________________111……余數(shù)

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1.1.2數(shù)制轉(zhuǎn)換二進(jìn)制與八進(jìn)制的轉(zhuǎn)換二進(jìn)制與十六進(jìn)制的轉(zhuǎn)換二進(jìn)制與十進(jìn)制的轉(zhuǎn)換任意進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換

返回1.二進(jìn)制與八進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換由二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制的方法是：以小數(shù)為界，將二進(jìn)制數(shù)的整數(shù)部分從低位開始，小數(shù)部分從高位開始，每三位分成一組、頭尾不足三位的補(bǔ)0；然后將每組的三位二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為一位八進(jìn)制數(shù)。例如將二進(jìn)制數(shù)11010.1101轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)。011010.11010032.64

所以(11010.1101)2=(32.64)8

例如將八進(jìn)制數(shù)357.6轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。357.6↓↓↓.↓011101111.110所以(357.6)8=(11101111.11)2

返回2.二進(jìn)制與十六進(jìn)制的轉(zhuǎn)換由二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制的方法是：以小數(shù)為界，將二進(jìn)制數(shù)的整數(shù)部分從低位開始，小數(shù)部分從高位開始，每四位分成一組、頭尾不足四位的補(bǔ)0；然后將每組的四位二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為一位十六進(jìn)制數(shù)。

例如將二進(jìn)制數(shù)1010110110.110111轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。001010110110.110111002B6.DC

所以(1010110110.110111)2=(2B6.DC)16

例如將十六進(jìn)制數(shù)5D.6E轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。5D.6E↓↓↓↓01011101.01101110所以(5D.6E)16=(1011101.0110111)2

返回3.二進(jìn)制與十進(jìn)制的轉(zhuǎn)換將二進(jìn)制數(shù)寫成按權(quán)展開式，并將式中各乘積項(xiàng)的積算出來，然后各項(xiàng)相加，即可得到與該二進(jìn)制數(shù)相對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。例如

(11010.101)2=1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3

=16+8+2+0.5+0.125=(26.625)10

十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)時，需將待轉(zhuǎn)換的數(shù)分成整數(shù)部分和小數(shù)部分，并分別加以轉(zhuǎn)換。將一個十進(jìn)制數(shù)寫成:(N)10=<整數(shù)部分>10<小數(shù)部分>10

轉(zhuǎn)換時，首先將<整數(shù)部分>10轉(zhuǎn)換成<整數(shù)部分>2，然后再將<小數(shù)部分>10轉(zhuǎn)換成<小數(shù)部分>2。待整數(shù)部分和小數(shù)部分確定后，就可寫成(N)2=<整數(shù)部分>2.<小數(shù)部分>2

（1）整數(shù)轉(zhuǎn)換整數(shù)部分采用“除2取余”法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即把十進(jìn)位制整數(shù)除以2，取出余數(shù)1或0作為相應(yīng)二進(jìn)制數(shù)的最低位，把得到的商再除以2，再取余數(shù)1或0作為二進(jìn)制數(shù)的次低位，依次類推，繼續(xù)上述過程，直至商為0，所得余數(shù)為最高位。

例如

(58)10=（?）22｜582｜29余數(shù)0(a0)最低位2｜14余數(shù)1(a1)2｜7

余數(shù)0(a2)2｜3

余數(shù)1(a3)2｜1

余數(shù)1(a4)0余數(shù)1(a5)最高位因此，(5８)10=(111010)2

（2）純小數(shù)轉(zhuǎn)換采用“乘2取整”法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即先將十進(jìn)制小數(shù)乘以2，取其整數(shù)1或0，作為二進(jìn)制小數(shù)的最高位；然后將乘積的小數(shù)部分再乘以2，并再取整數(shù)，作為次高位。重復(fù)上述過程，直到小數(shù)部分為0或達(dá)到所要求的精度。

例1.(0.625)10=(?)2

0.625×)2-----------------[1].250整數(shù)1(a-1)最高小數(shù)位×)2------------------0.500整數(shù)0(a-2)×)2------------------[1].000整數(shù)1(a-3)最低小數(shù)位故(0.625)10=(0.101)2

注意：式中的整數(shù)不參加連乘

例2.將十進(jìn)制數(shù)0.18轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，精確到小數(shù)點(diǎn)后5位。

0.18[1].44整數(shù)1(a-3)

×)2×)2---------------------------------[0].36整數(shù)0(a-1)[0].88整數(shù)0(a-4)

×)2×)2---------------------------------[0].72整數(shù)0(a-2)[1].76整數(shù)1(a-5)

×)2---------------故(0.18)10≈(0.00101)2

返回4.任意進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換α進(jìn)制數(shù)

β進(jìn)制數(shù)

十進(jìn)制數(shù)

按權(quán)展開整數(shù)部分：除β取余小數(shù)部分：乘β取整

返回1.2數(shù)字系統(tǒng)中編碼1.2.1帶符號數(shù)的代碼表示1.2.2十進(jìn)制數(shù)的二進(jìn)制編碼1.2.3可靠性編碼1.2.4字符編碼

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1.2.1帶符號數(shù)的代碼表示1.真值與機(jī)器數(shù)2.原碼3.反碼4.補(bǔ)碼

返回真值：直接用正號“+”和負(fù)號“-”來表示符號的二進(jìn)制數(shù)，叫做符號數(shù)的真值。如：+0.1011-0.1011

機(jī)器數(shù)：將符號用數(shù)值表示的數(shù)，習(xí)慣上“+”用0表示，“-”用1表示。如：0101111101

符號

數(shù)值

符號

數(shù)值

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1.真值與機(jī)器數(shù)2.原碼又稱為“符號-數(shù)值表示”。在以原碼形式表示的正數(shù)和負(fù)數(shù)中，第1位表示符號位，對于正數(shù)，符號位記作0，對于負(fù)數(shù)，符號位記作1，其余各位表示數(shù)值部分。

1）定義

一個n位的整數(shù)N(包括一位符號位)的原碼一般表示式為：

N0≤N＜2n-1［N］原=

2n-1-N-2n-1＜N≤0

對于定點(diǎn)小數(shù)，通常小數(shù)點(diǎn)定在最高位的左邊，這時，數(shù)值小于1。定點(diǎn)小數(shù)原碼一般表示式為:

N0＜N＜1

［N］原=

1-N-1＜N≤0

2)性質(zhì)當(dāng)N為正數(shù)時，［N］原和N的區(qū)別只是增加一位用0表示的符號位。當(dāng)N為負(fù)數(shù)時，［N］原和N的區(qū)別是增加一位用1表示的符號位。

在原碼表示中，有兩種不同形式的0，即

［+0］原=0.00…0［-0］原=1.00…0

3）舉例如果N1=+0.1101N2=-0.1101

則［N1］原=0.1101［N2］原=1.1101

返回3.反碼反碼又稱為“對1的補(bǔ)數(shù)”。用反碼表示時，左邊第1位也為符號位，符號位為0代表正數(shù)，符號位為1代表負(fù)數(shù)。對于負(fù)數(shù)，反碼的數(shù)值是將原碼數(shù)值按位求反，而對于正數(shù)，反碼和原碼相同。

1）定義一個n位的整數(shù)N(包括一位符號位)的反碼一般表示式為：

N0≤N＜2n-1

［N］反=

(2n-1)+N-1＜N≤0

同樣，對定點(diǎn)小數(shù)，若小數(shù)部分的位數(shù)為m，則它的反碼一般表示為：

N0≤N＜1

［N］反=

(2-2-m)+N-1＜N≤0

2）性質(zhì)(1)正數(shù)N的反碼［N］反與原碼［N］原相同。(2)對于負(fù)數(shù)N，其反碼［N］反的符號位為1，數(shù)值部分是將原碼數(shù)值按位變反。(3)在反碼表示中，0的表示有兩種不同的形式，即［+0］反=0.00…0［-0］反=1.11…1

3）反碼運(yùn)算及示例在進(jìn)行反碼運(yùn)算時，兩數(shù)反碼的和等于兩數(shù)和的反碼。即：［N1］反+［N2］反=［N1+N2］反

符號位也參加運(yùn)算，當(dāng)符號位產(chǎn)生進(jìn)位時，需要循環(huán)進(jìn)位(即把符號位的進(jìn)位加到和的最低位上去)。

例如：

已知N1=+1001，N2=-1011，求N1+N2解［N1］反=01001+)［N2］反=10100---------------------------------［N1]反+［N2］反=11101即［N1+N2］反=11101，所以N1+N2=-0010例：已知N1=+1001N2=-0101，求N1+N2解［N1］反=01001+)［N2］反=11010--------------------------------

［N1］反+［N2］反=[1]00011

+)1

--------------------------------

00100

即［N1+N2］反=00100，所以N1+N2=+0100

返回4.補(bǔ)碼又稱為“對2的補(bǔ)數(shù)”。在補(bǔ)碼表示法中，正數(shù)的表示同原碼和反碼的表示是一樣的，而負(fù)數(shù)的表示卻不同。對于負(fù)數(shù)，其符號位為1，而數(shù)值位是將原碼按位變反加1，即按位變反，再在最低位加1。

1）定義一個n位的整數(shù)N(包括一位符號位)的補(bǔ)碼一般表示式為：

N0≤N＜2n-1

［N］補(bǔ)=

2n+N-2n-1≤N＜0

同樣，對于定點(diǎn)小數(shù)，補(bǔ)碼一般表示式可寫成：

N0≤N＜1

［N］補(bǔ)=

2+N-1≤N＜0

2）性質(zhì)(1)正數(shù)N的補(bǔ)碼［N］補(bǔ)與原碼［N］原和反碼［N］反相同。(2)對于負(fù)數(shù)，補(bǔ)碼［N］補(bǔ)的符號位為1，其數(shù)值部分為反碼數(shù)值加1。(3)在補(bǔ)碼表示中，0的表示式是唯一的，即［+0］補(bǔ)=0.00…0［-0］補(bǔ)=0.00…03）補(bǔ)碼運(yùn)算及示例補(bǔ)碼運(yùn)算規(guī)則：［N1］補(bǔ)+［N2］補(bǔ)=［N1+N2］補(bǔ)運(yùn)算時，符號位和數(shù)值位統(tǒng)一樣參加運(yùn)算，如果符號位產(chǎn)生進(jìn)位，則需將此進(jìn)位“丟掉”。

例：已知N1=-0.1100，N2=-0.0010，求［N1+N2］補(bǔ)和［N1-N2］補(bǔ)以及N1+N2、N1-N2解對于［N1+N2］補(bǔ)

［N1］補(bǔ)=1.0100+)［N2］補(bǔ)=1.1110丟掉←11.0010即［N1+N2］補(bǔ)=1.0010

N1+N2=-0.1110因?yàn)椋跱1-N2］補(bǔ)=［N1］補(bǔ)+［-N2］補(bǔ)，則

［N1］補(bǔ)=1.0100+)［N2］補(bǔ)=0.00101.0110即［N1-N2］補(bǔ)=1.0110N1-N2=-0.10104）原碼，補(bǔ)碼轉(zhuǎn)換的更簡便方法

對于負(fù)數(shù)，原碼、補(bǔ)碼之間的轉(zhuǎn)換可直接按位寫出來：符號位不變，數(shù)值位從右邊起往左寫，遇到“0”或第一個“1”照寫，以后則按位求反即可。

例如

：［N］原=100110100

從右往左［N］補(bǔ)=1110011005）特殊補(bǔ)碼的求法(1)當(dāng)N=-2n-1(n為代碼長度)時，求［N］補(bǔ)。根據(jù)補(bǔ)碼的一般表達(dá)式［N］補(bǔ)=2n+N=2n+(-2n-1)=2·2n-1-2n-1=2n-1

例如

n=5時N=-10000則［N］補(bǔ)=10000(2)已知［N］補(bǔ)，求［-N］補(bǔ)。這時只要將［N］補(bǔ)連同符號位一起求反加1即可，這個過程稱為求補(bǔ)，即［-N］補(bǔ)=［(N)補(bǔ)］求補(bǔ)

例如［N］補(bǔ)=11011，［-N］補(bǔ)=［11011］求補(bǔ)=00101

(3)已知［N］補(bǔ)，求［1/2N］補(bǔ)、［1/4N］補(bǔ)。求［1/2N］補(bǔ)只需將［N］補(bǔ)右移一位，并保持符號位不變，求［1/4N］補(bǔ)只需將［N］補(bǔ)右移兩位，保持符號位不變。而移位后的最右邊位略去。例如已知［N］補(bǔ)=11010

則［1/2N］補(bǔ)=11101，［1/4N］補(bǔ)=11110

返回1.2.2十進(jìn)制數(shù)的二進(jìn)制編碼

在計(jì)算機(jī)或其它數(shù)字系統(tǒng)中，常用二進(jìn)制代碼來表示十進(jìn)制數(shù)，并進(jìn)行運(yùn)算。這種方法就是將十進(jìn)制的十個數(shù)字符號分別用若干位二進(jìn)制代碼來表示，通常稱為二--十進(jìn)制編碼。這種編碼既具有二進(jìn)制的形式又具有十進(jìn)制數(shù)的特點(diǎn)。

1）8421(BCD)碼

將十進(jìn)制的每個數(shù)字符號用四位二進(jìn)制數(shù)表示。編碼方式

十進(jìn)制BCD碼十進(jìn)制BCD碼00000501011000160110200107011130011810004010091001特點(diǎn)：（1）有權(quán)碼：設(shè)8421(