2023屆四川省廣安市第二中學(xué)校高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat18頁2023屆四川省廣安市第二中學(xué)校高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合A，然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可．【詳解】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，，．故選：B．2．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（

）A． B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)在直線上C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．的虛部為【答案】C【分析】對于A，根據(jù)復(fù)數(shù)直接求其模判斷，對于B，先求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)，再判斷，對于C，由共軛復(fù)數(shù)的定義判斷，對于D，由復(fù)數(shù)的虛部的定義判斷【詳解】對于A，由，得，所以A錯(cuò)誤，對于B，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，不在直線上，所以B錯(cuò)誤，對于C，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，所以C正確，對于D，復(fù)數(shù)的虛部為1，所以D錯(cuò)誤，故選：C3．王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中最后一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（

）A．必要條件 B．充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】利用充分必要條件判斷即可得解.【詳解】由題意可知：“返回家鄉(xiāng)”則可推出“攻破樓蘭”，故“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”必要條件，故選：A.4．如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（

）A． B．8 C． D．10【答案】D【分析】多面體的直觀圖可以看成由直三棱柱與四棱錐組合而成，根據(jù)三視圖尺寸求出對應(yīng)體積即可【詳解】多面體的直觀圖如圖所示，它可以看成由直三棱柱與四棱錐組合而成，，則直三棱柱體積為，四棱錐體積為，所以多面體的體積為.故選：D5．已知數(shù)列成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的值是（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】利用已知等差等比數(shù)列中的項(xiàng)求得公差公比，再計(jì)算比值即可.【詳解】由題意可知：數(shù)列成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則4=1+3d，解得d=1，∴a1=1+1=2，a2=1+2d=3.∵數(shù)列成等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則4=q4,解得q2=2，∴b2=q2=2.則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題.6．函數(shù)的圖象大致為（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】試題分析：解:令,解得,該函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),故排除B；當(dāng)時(shí),,,,當(dāng)時(shí),,排除C、D．故選A．【解析】函數(shù)的圖象．7．設(shè)點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件可得點(diǎn)是以為圓心，2為半徑的下半圓上的點(diǎn)，而表示點(diǎn)與連線的斜率，由幾何意義可得結(jié)論【詳解】曲線表示以為圓心，2為半徑的下半圓，如圖所示，表示點(diǎn)與連線的斜率，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，設(shè)直線方程為，即，圓心到直線的距離，解得或，因?yàn)?，所以，?dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，由圖可知，所以的最小值是，故選：B8．若不等式對于一切恒成立，則的最小值是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】采用分離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為“對一切恒成立”，再利用基本不等式求解出的最小值，由此求解出的取值范圍.【詳解】因?yàn)椴坏仁綄τ谝磺泻愠闪?，所以對一切恒成立，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以，所以的最小值為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題，難度一般.不等式在給定區(qū)間上恒成立求解參數(shù)范圍的兩種方法：參變分離法、分類討論法.9．在正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)．若，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解作答.【詳解】在正方形ABCD中，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB，AD分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，令，則，，，因，于是得，解得，所以的值為.故選：B10．已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用弦中點(diǎn)坐標(biāo)由點(diǎn)差法即可計(jì)算出，利用焦點(diǎn)坐標(biāo)即可得，即得出橢圓方程.【詳解】根據(jù)題意設(shè)，代入橢圓方程可得；兩式相減可得，整理可得；又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，可得；因此過兩點(diǎn)的直線斜率為，又和的中點(diǎn)在直線上，所以，即，可得；又易知，且，計(jì)算可得；所以橢圓的方程為，代入的中點(diǎn)坐標(biāo)為，得，則其在橢圓內(nèi)部，則此時(shí)直線與橢圓相交兩點(diǎn).故選：A11．已知函數(shù)，方程，，則方程的根的個(gè)數(shù)是A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】首先根據(jù)方程解出或，，再畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定方程的實(shí)數(shù)根.【詳解】，即或，如圖，畫出函數(shù)的圖象由圖象可知時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)有3個(gè)交點(diǎn)，所以共有5個(gè)交點(diǎn)，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合求解方程實(shí)數(shù)根的問題，函數(shù)的零點(diǎn)是對應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，同時(shí)也是函數(shù)圖象和軸的交點(diǎn)，求的實(shí)數(shù)根也可轉(zhuǎn)化為求和的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).12．已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu),把變形為,構(gòu)造函數(shù),根據(jù)在上單調(diào)遞增,得到,即，令,利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,求出最小值.【詳解】因?yàn)?即,所以,所以.令,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,即,所以令.則.令,解得:;令,解得:；所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以.即的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性,求極值(最值)；（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.二、填空題13．曲線在處的切線的傾斜角為，則.【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，再結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解.【詳解】由，得，，即，又，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，，解得.故答案為：.14．展開式中的系數(shù)為.【答案】-80【解析】求出的展開式的通項(xiàng)即得解.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，令，所以的系數(shù)為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式的某一項(xiàng)的系數(shù)，一般利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求解.15．在中，角的對邊分別為，且，的面積為，則的值為.【答案】2【分析】利用正弦定理邊化角可得a，由三角形面積公式可得C，然后由勾股定理可得.【詳解】由正弦定理可得因?yàn)?，，所以又，所以又因?yàn)?，所以，所?故答案為：216．已知三棱錐的體積為2，是等腰直角三角形，其斜邊，且三棱錐的外接球的球心O恰好是AD的中點(diǎn)，則球O的體積為．【答案】【分析】通過球的性質(zhì)可以確定與中點(diǎn)的連線平面，從而得到與幾何體高的關(guān)系．求解出后，再利用勾股定理求出球的半徑，即可求得結(jié)果．【詳解】由題意可得幾何體如圖所示：為直角三角形且斜邊為

中點(diǎn)為的外接圓圓心由外接球性質(zhì)可知：平面又為中點(diǎn)，所以到底面的距離為，又

即球的半徑為本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題主要考查了三棱錐外接球問題．關(guān)鍵在于利用外接球球心與三角形外接圓圓心連線與三角形所在平面垂直的關(guān)系，推導(dǎo)出球心到底面的距離，將問題轉(zhuǎn)化為求解三棱錐的高的問題．三、解答題17．年月日，在《英雄聯(lián)盟》的總決賽中，中國電子競技俱樂部完成逆轉(zhuǎn)，斬獲冠軍，在中國掀起了新一波電子競技的熱潮為了調(diào)查A地歲以下的年輕人的性別與對電子競技的愛好程度是否具有相關(guān)性，研究人員隨機(jī)抽取了人進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示：熱愛電子競技對電子競技無感男性

女性

(1)判斷是否有的把握認(rèn)為A地歲以下的年輕人的性別與對電子競技的愛好程度有關(guān)(2)若按照性別進(jìn)行分層抽樣的方法，從被調(diào)查的熱愛電子競技的年輕人中隨機(jī)抽取人，再從這人中任取人，記抽到的男性人數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望．附：，其中．【答案】(1)有(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為2【分析】（1）完成聯(lián)表，計(jì)算，進(jìn)而可判斷；（2）根據(jù)分層抽樣判斷人數(shù)，再根據(jù)超幾何分布計(jì)算概率及分布列，進(jìn)而得期望.【詳解】（1）完善列聯(lián)表如下所示：熱愛電子競技對電子競技無感總計(jì)男性女性總計(jì)則，有的把握認(rèn)為A地25歲以下的年輕人的性別與對電子競技的愛好程度有關(guān).（2）由題意可知：這人中男生有人，女生有人，則的可能取值為，，，則有：，，，故的分布列為：則．18．已知函數(shù)，，圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為．(1)求在區(qū)間上的值域；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，化簡函數(shù)為，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得，，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）解：由，因?yàn)閳D象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，可得，即，所以，可得，因?yàn)?，可得，則，即的值域?yàn)?（2）解：由，可得，因?yàn)?，可得，所以，所?19．已知數(shù)列滿足.等比數(shù)列的公比為3，且.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式和等比數(shù)列的定義即可求出數(shù)列通項(xiàng)；（2）根據(jù)分組求和與裂項(xiàng)求和法以及等比數(shù)列的求和公式即可求出【詳解】（1）數(shù)列滿足，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，，等比數(shù)列的公比為3，且，，（2），20．如圖，在四棱錐中，AC交BD于點(diǎn)O，，，，點(diǎn)P在平面ABCD上的投影恰好是的重心E，點(diǎn)M滿足．(1)求證平面BDM；(2)若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為，求平面BDM與平面PAD夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接MO，跟據(jù)平行線分線段成比例證明，再根據(jù)線面平行的判定定理使命題得證.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求兩個(gè)平面的法向量，求出兩個(gè)法向量夾角的余弦值就可以得到兩個(gè)平面夾角的余弦值.【詳解】（1）

證明：連接MO，由題易得，，又，所以，所以，又平面BDM，平面BDM，所以平面BDM.（2）因?yàn)镻在平面ABCD上的投影恰好是的重心E，且為正三角形，所以，，又直線PA與平面ABCD所成角為，而，所以，根據(jù)（1）及題意，建系如圖，

則:，，，，，所以，，，又由（1）易得，設(shè)平面BDM與平面PAD的法向量分別為，，則，，取，.所以，所以平面BDM與平面PAD夾角的余弦值為.21．已知函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底）(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若，是的極值點(diǎn)且.若，且.證明：.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）在上單調(diào)遞增即在恒成立，令，分類討論的單調(diào)性，證明即可.（2）求出，要證明，即證明，即證明.令，對求導(dǎo)，得出的單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在恒成立，所以在恒成立，令，，①當(dāng)時(shí)，在恒成立，在上單調(diào)遞增，所以，所以滿足題意.②當(dāng)時(shí)，令，則.(i)，所以，在單調(diào)遞增，所以，所以滿足題意.（ii），在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，令，，所以在恒成立，所以在上單調(diào)遞減，而，所以不成立.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為：.（2），，因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以滿足，令，則若，解得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，所以是唯一負(fù)極值點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要證明，即證明，化簡得，由于在上單調(diào)遞增，且由，，可知.故，從而可推得，而，因此.令，則，，而，所以，故單調(diào)遞增，從而，即，從而，即證得.22．在直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)求直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線與曲線相交于A，兩點(diǎn)，求的值．【答案】(1)，（t為參數(shù)）；(2)【分析】（1）由直線經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為，可直接寫出其參數(shù)方程；利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中,利用參數(shù)的幾何意義可求得的值.【詳解】（1）因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為，故直線的參數(shù)方程為,（t為參數(shù)），即，