對合矩陣的判定及幾何意義

莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系高等代數(shù)選講”課程論文題目：對合矩陣的判定及幾何意義姓名：莊凱麗學(xué)號：21041126數(shù)學(xué)系2002級本科（1）班2005年6月23日［摘要］對合矩陣的定義、對合矩陣的判定、對合矩陣的幾何意義［關(guān)鍵字］對合矩陣、初等變換、秩、相似、特征值、對合變換一、對合矩陣的定義矩陣A滿足條件A2=E，則稱A是對合矩陣。二、對合矩陣的判定設(shè)A為nxn矩陣，則下列條件都是A為對合矩陣的充要條件：（1）A=AT(2)Aj為對合矩陣。3)A*為對合矩陣。⑷秩(A+E)+秩(A—E)=n([1]P2083)(5)矩陣A相似于形如（En(5)矩陣A相似于形如（En—秩（E-A）00)-的方陣。n-秩(E+A)丿下面我們分別對上述幾個(gè)命題進(jìn)行證明：證明(1)：由對合矩陣的定義，顯然成立。證明(2)：A為對合矩陣OA=A-1OA—1為對合矩陣。證明3）：證明3）：=A為對合矩陣，即A2=EA2=A2=E=1A*=IAIA-1=IAIA（由（1））a*）=（A|A>=|A|2A2=A2=e即A*為對合矩陣。uA*為對合矩陣，即(A*^=E(*)=A*2=E=1,又A*=An-1得A2n-1=1有A2=1(*)式兩端同時(shí)式乘以A，右乘以A，得右邊=AEA=A*A為對合矩陣。*)證明(4*)由初等變換不改變矩陣的秩V+由初等變換不改變矩陣的秩V+E0A2-E(A+E0、(A+E0、(A+E0、Tj0A—E丿jA+EA—E丿j2EA—E?式作分塊矩陣的初等變換對(*)r0—(A+E)(A—E)「((r0(A+E)(A—E)、(TrT2Trj2E2j2EA—E丿0丿j0A2E秩(A+E)+秩(A—E)=秩(A2-E)+秩E=秩(A2-E)+n所以A2=E,即A2—E=0o秩(A2—E)=0O秩(A+E)+秩(A-E)=n在證明命題(5)之前，我們先來證明幾個(gè)命題：命題1、矩陣A2的特征值等于(考慮它們的重?cái)?shù))矩陣A的特征值的平方。([3]P1821126)證明：設(shè)A的所以特征值為k九12s有円E—A|=(九一九)(九一九2)(k—k)kE+Al=(k+k)(k+k)(k+k)I1?2?s

=G,2—九2)62—九2)(X2—Z2)可知XE—A2二s證畢。6—九2)n—九2)(x—可知XE—A2二s證畢。命題2、若A為對合矩陣，則A的特征值為+1或—?1?.([2]P2167(2))證明：設(shè)九是A的一個(gè)特征值則九2是A2=E的一個(gè)特征值有X2=1，因而X=士1反之A的特征值為+1或-1不能推出A為對合矩陣反例：A的特征多項(xiàng)式為XA的特征多項(xiàng)式為XE—A機(jī)-1.0X—1卜(X-1)2=0入—1丿則A的特征值為1（2重）1丿但A2=1丿r—1—1）同理，有B=10—1I的特征值為-1（2重），但B2豐Er100、C=110的特征值為-1（2重），但C2豐E〔00-1丿命題3、若矩陣A適合A2=E，則A必可對角化。（[2]P22110（1）））n證明：A2=E，則A的特征值為+1或-1。n它們相應(yīng)的特征子空間為匕和V1o1—100考察齊次線性方程組（E-A）X=0和（E+A）=0,它們的解空間分別為V和匕。1—1則纟隹V=n—（E—A）,纟隹V=n—（E+A）1-1由⑷秩（A+E）+秩（A—E）=n知維V+維J=n特征子空間的非零向量均為特征向量，知A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。則A可對角化。另證：A2=E，則A2—E=0令g（九）=九2—1=（X+1）（九—1）有g(shù)（A）=0A的最小多項(xiàng)式mC）有m（九）Ig（九）進(jìn)而A的初等因子都是一次的,說明A可對角化。由以上兩個(gè)命題，可得，任一對合矩陣必相似于形如（En—秩（E-A）0En由以上兩個(gè)命題，可得，任一對合矩陣必相似于形如（En—秩（E-A）0En—秩（E+A）的方陣證明（5）：=已證。（En—秩（E-A）0U矩陣A相似于即m可逆矩陣P，使得A=P—1（En—秩（E-A）0En—秩（E+A）丿n—秩（E+A）=P-1(E=P-1(En—秩(E-A)0En—秩(E+A)En—秩(E-A)0n-秩(E+A)丿(E0、(E0、A2=P-1n-秩(E-A)PP-1n-秩(E-A)\0E丿\0E丿n-秩(E+A)丿Vn-秩(E+A)丿=P-iEP=P-iP=EA為對合矩陣。命題4、設(shè)A,B都是對合矩陣，則積AB是對合矩陣的充件條件是A與B可交換。([4]P508508)證明：=設(shè)AB是對合矩陣即有E=(AB)2=(AB)(AB)=A(BA)B兩端左乘以A，右乘B，由A2=B2=E,得AB=A2(BA)B2=BAuAB=BA等式兩端同時(shí)乘以AB，(AB)2=BA-AB=B(A2)b=BEB=B2=E即AB為對合矩陣。命題5、與對合矩陣相似的矩陣均為對合矩陣證明：對合矩陣A，設(shè)矩陣B與A相似，即3可逆矩陣T，使得B=T-1AT則B2則B2-1AT)(T-1AT)=T-1A2T=T-1ET=E即B為對合矩陣。命題6：如果B是冪等矩陣(B2=B)，則A=2B-E是對合矩陣證明：B是冪等矩陣，即B2=B。

A2=（2B-E）2=（2B-E）（2B-E）=4B2-4B+E2=4（B2-B）+E=E即A為對合矩陣。命題7、一方陣如果有下列三個(gè)性質(zhì)中的任何兩個(gè)性質(zhì)，則必有第三個(gè)性質(zhì)：([6])①對稱陣；②正交陣；③對合陣。證明：僅證由①，②推出③，即對稱的正交矩陣為對合矩陣。A滿足條件①，即A'=AA滿足條件②，即AA'=A'A=E則AA=AA=A2=EA為對合矩陣。三、對合矩陣的幾何意義定義：數(shù)域P上線性空間V的線性變換&稱為對合變換，如2=8，其中8是恒等變換。n維線性空間V中，取定一組基之后，就建立了由數(shù)域P上的n維線性空間V的線性變換到數(shù)域P上的nXn矩陣的一個(gè)1—1對應(yīng)，可知n維對合矩陣對應(yīng)著n維線性空間中的對合變換。這里，我們只講對合變換的幾何意義而不考慮線性空間的維數(shù)。對合變換的幾何意義：&是線性空間V關(guān)于某子空間￡平行于某補(bǔ)子空間匕的反射。換句話說：V=匕十V2，并且如果g；agV,&(a)=-a2證明：[3]）證明：[3]）P2431537）（[6]P238例19）分別取使得&（a）=a和&（a）=-a的所有x的集合作成的匕和V2，易證V2，易證V，V2>V的子空間。VaeV；取巴=2(a+&(a))；a=2（a+&（a））。則(a)=(a)=g〔[((a+g(a)))]=1G(a)+￡g2(a)一2212丿(G)+￡(a+g(a))=a-i(a—G(a))]=￡g(a)-1G2(a)22=￡G(a)-￡a=￡(a-g(a))22211

=G2g(a)=g2=-a2故aeV,aeV1122可知V二V+匕V卩eVV由卩eV121n由卩e匕，有g(shù)(卩)二一卩則卩二一卩得卩二0。即VV二{0}12所以V=V十V。例、設(shè)卩為數(shù)域P上nXn矩陣，關(guān)于矩陣的加法和數(shù)乘作成的線性空間。定義變換G(A)=A'，VAeV。則G為上的線性變換，求G的特征值，特征向量及Jardon標(biāo)準(zhǔn)形。(⑹P28827)解：VAeV，G(A)=A'由G2(A)=G(G(A))=(A')=A，知G2=s即G為對合變換。E(i,j=12，n)為空間的一組基。空ij間的維數(shù)為n2。對合變換G在這組基下的矩陣為對合矩陣。...則G的特征值為1或-1。G的屬于1的特征向量，由G(A)=1-A=A=A'

n(n+1)知特征向量為對稱矩陣，特征子空間有維數(shù)為一2—b的屬于-1的特征向量，由&(A)=—1-A=一A=A'知特征向量為反對稱矩陣，特征子間空的維數(shù)為n(n—1)—2知特征向量為反對稱矩陣，特征子間空的維數(shù)為n(n—1)—2因而b的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為J-(En(n+1)20—En(n—1)2n2xn2由于全體對合矩陣所構(gòu)成的集合，對加法和數(shù)乘都不封閉，因而我們不能在環(huán)、群的意義下討論對合矩陣；但我們可以由與對合矩陣相似的矩陣均為對合矩陣，通過所有的可逆矩陣，求出所有同階的對合矩陣；另外，對合矩陣具有十分良好的幾何意義，利用對合矩陣，我們可以考慮空間中的一些保形運(yùn)動(dòng)。此外，對合矩陣的多項(xiàng)式具有十分簡單的形式，其最高次數(shù)只能為1，這給我們的計(jì)算帶來很大的方便。參考文獻(xiàn)：北京大